正弦定理和余弦定理的承载背景是三角形。正弦定理和余弦定理架起了沟通三角形的边和角的桥梁。下面结合具体的例题谈谈正弦定理和余弦定理在三角形中的应用。
1利用正弦、余弦定理解斜三角形
例1.在△ABC中,已知a=2,b=3,A=45°,求B、C及c。
思路:已知a, b, A,由正弦定理可求B,从而可求C, c。
点评归纳:(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sinB=basinA=3>1, 问题就无解。如果有解,是一解,还是二解。
(2)正、余弦定理可将三角形边角关系互相转化。
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定。
2面积问题
例2.△ABC中角A、B、C的对边分别为a, b, c,且b2+c2-a2+bc=0
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求SΔABC的最大值;
(3)求asin(30°-c)b-c的值。
思路:(1)由b2+c2-a2+bc=0的结构形式,可联想余弦定理,求出cosA,从而求出A的值。
(2)由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b, c的关系式,利用不等式,即可求出bc的最大值,进而求出SΔABC的最大值。
(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能。从而达到化简求值的目的。
解析:(1)因为cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,所以A=120°
(2)由a=3,得b2+c2=3-bc,又因为b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号),所以3-bc2bc,当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1,
所以SΔABC=12bcsinA34,所以SΔABC的最大值为34
点评归纳:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用。 (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理。 (3)在求三角形面积时,通过正、余弦定理求一个角,两边乘积,是一种常见思路。
3判断三角形形状
例3.在△ABC中,a, b, c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),该判断三角形的形状。
思路:利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系。
解析:已www.dylw.net 第一论文网知即a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]
所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正弦定理,即sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
所以sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,所以sin2A=sin2B,
由,0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A=π-2B
即△ABC是等腰三角形或直角三角形。
点评归纳:三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosc等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sinA=sinBA=B;sin(A-B)=0A=B;sin2A=sin2BA=B或A+B=π2等。
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sinA=a2R,cosA=b2+c2-a22bc等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断。
(3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不要约掉,否则会有漏掉一种形状的可能。
