勾股定理是几何中最重要的定理之一，也是直角三角形的一条重要性质. 方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程是沟通已知量和未知量的桥梁. 利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题. 下面举例说明利用勾股定理列方程解决问题常见的两个数学模型.
模型一：找到一个联系已知和未知的直角三角形，利用a2+b2=c2建立方程
例1 （2006·厦门）有古诗《葭生池中》——今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何（1丈=10尺）？
【解析】这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题. 在如图1所示的Rt△ABC中，可设水深BC=x尺，则葭长=（x+1）尺，AB=5尺，根据勾股定理可列出方程x2+52=（x+1）2，解得x=12尺，故水深、葭长各为12尺、13尺.
例2 （2002·南通）如图2，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，求CD的长.
【解析】结合题意易知BE=4 cm，CD=DE，在Rt△BDE中，可设DE=x cm，则DB=（8-x） cm，根据勾股定理可列方程x2+42=（8-x）2，解得x=3，故CD的长为3 cm.
例3 （2012·菏泽）如图3，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.
【解析】要求D、E两点的坐标，只需求出OD、CE的长即可，根据题意依次可知AE=10，BE=6，CE=4，可得E（4，8），在Rt△CDE中，可设DE=x，则OD=x，CD=8-x，根据勾股定理可列方程（8-x）2+42=x2，解得x=5，故D（0，5）.
例4 （2006·凉山州）如图4，直线y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处.
求：（1） 点B′的坐标：________.
（2） 直线AM所对应的函数关系式.
【解析】易得OA=6，OB=8，AB=AB′=10，因此，OB′=4，所以B′（-4，0），要求直线AM的解析式，只需再求出点M的坐标，也就是OM的长度，由题意可知BM=B′M，在Rt△OB′M中，设OM=x，则B′M=BM=8-x，根据勾股定理可列方程42+x2=（8-x）2，解得x=3，所以M（0，3），再由A（6，0）可求得直线AM的解析式为y=-0.5x+3.
例5 （2012·鄂尔多斯）如图5，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形. 旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，求菱形周长的最大值.
【解析】当两纸条如图乙重叠时，得到的菱形的周长最大，在Rt△ABC中，设AC=AD=x，则AB=4-x，根据勾股定理可列方程12+（4-x）2=x2，解得x=，所以该菱形周长的最大值为8.5.
例6 （2013·随州）如图6，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE. 将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF. 求CG的长.
【解析】根据条件可以用HL证明△ABG
≌△AFG，得到BG=FG，在Rt△GCE中，设CG=x，则BG=FG=3-x，EF=1，CE=2，根据勾股定理可列方程22+x2=（4-x）2，解得x=1.5，所以CG=1.5. 本题若是要证明点G是BC的中点，难度就会显著增加了.
【点评】以上几例都是通过找到一个能联系已知条件和未知问题的直角三角形，然后利用勾股定理解决问题的实例，希望同学们能够将这个方法作为算术思维方法的很好补充.
模型二：找到两个联系已知和未知的有相等边或有公共边的直角三角形，利用a2 1+b2 1=a2 2+b2 2或者c2 1-a2 1=c2 2-a2 2建立方程
例7 如图7，△ABC是小新家的门口的一块空地，三边的长分别是AB
=13米，BC=14米，AC=15米，现准备以每平方米50元的单价请承包商种植草皮，问共需要多少费用？
【解析】求费用，就得求面积，要求面积，就得求高，不妨过点A作AD⊥BC，垂足为D，这样就得到了两个有公共直角边的直角三角形，设BD=x，则CD=14-x，根据勾股定理可列方程132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，再根据勾股定理求得AD=12米，这样种植草皮的费用为0.5×14×12×50=4 200（元）. 同学们可以试一试其他作高的方法.
例8 （2000·海南）铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如图8），已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多远处？
【解析】根据题目要求CE=DE，图中有两个斜边相等的直角三角形，可设AE=x km，则BE=（25-x） km，根据勾股定理可列方程152+x2=102+（25-x）2，解得x=10，所以E站应建在距A站10 km处.
方程思想是初中阶段非常重要的数学思想方法，它在小学算术思维基础上发展和提高，它让数学思维变得简单，勾股定理是一个建立方程相等关系的重要途径，希望同学们能很好地掌握上述方法.
（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）
