在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边中点，如图1，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？观察图形，很显然是平行四边形.可是，怎么证明呢？我发现图中有很多的中点，联想到刚学习的三角形中位线的知识，所以，第一反应肯定是连接四边形的对角线BD（只需连接一条就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，所以EH∥FG，EH=FG，从而四边形EFGH是平行四边形.
如果是像菱形、矩形、正方形这些特殊的四边形，那连接其各边中点所得的中点四边形是不是也会变得特殊呢？于是，我们画了一个矩形ABCD，顺次连接各边中点得到了四边形EFGH，如图2.观察图形，可见四边形EFGH为菱形. 根据上面的思路，还是连接对角线.若只连接一条明显不能解决这个问题.试试连接两条对角线，谜底解开了.
由矩形的对角线相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，从而HE=HG，所以EFGH为菱形.
反思解决这个问题的关键时，发现说明平行四边形为菱形可以是邻边相等，从而想到矩形的对角线相等，再利用三角形中位线的性质就可证明.
既然非特殊四边形的中点四边形是一般平行四边形，而矩形的中点四边形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反过来说，比如，连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是矩形呢？
如果仔细研究图2，就会发现是通过证明邻边相等来说明平行四边形是菱形的，也就是只要使原四边形的对角线相等即可. 于是，我们画了一个不规则的但对角线相等的四边形并连接各边中点，确实可得到菱形，也就是说中点四边形为菱形的四边形一定是矩形是错误的. 同时，我们也举出了反例，比如等腰梯形的中点四边形也是菱形.
在这个过程中，我们发现对角线是决定中点四边形的形状的关键，中位线是联系中点四边形的边与原四边形的对角线之间关系的重要桥梁.同时，真命题的逆命题不一定是真命题.
研究了凸四边形的中点四边形，那么凹四边形的情况又如何呢？由于有了凸四边形的研究基础，我们就直接从一般情况入手，首先判定形状. 如图3，同样可以利用三角形中位线的性质得到四边形EFGH是平行四边形.进一步研究发现：当AC=BD时，四边形EFGH是菱形；当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形.
那么，如何说明凹四边形的中点四边形与它的面积关系呢？我们可以用类似于凸四边形的分割法，如图4，取AC的中点O，连接OE、OH.
由三角形中位线的性质，可得△OEH
≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四边形EFGH的面积是原四边形面积的一半.其实，上述面积的计算方法还有很多，例如把一条对角线做底，再作高计算，也可得到同样的关系.
在研究面积关系的过程中，三角形的中位线所构成的如图5这个基本图形很重要，它为我们提供了线段的相等、平行关系，以及四个全等三角形，为我们整体转化图形的面积提供了基础. 所以说，在数学的学习中，我们还要注重基本图形的提炼和积累，形成一些重要的数学活动经验.
在中点四边形的研究过程中，不仅让我们认识到了对角线是决定中点四边形形状的关键，而且锻炼了我们的思维能力，形成了一些独特的思维方式，也感受到了数学真的很有趣.在解决数学问题时要敢想、敢做，你才会有新的发现，也让我明白了基础知识和经验是数学学习的基础，要注重方法的类比和迁移，但方法要不断创新. 总之，只要认真探索，就一定能勇攀数学高峰.
教师点评：两名小作者确实对中点四边形做了很深入的研究，不仅彻底解决了中点四边形与原四边形的关系，而且学会了联想、模仿、类比等基本的解决问题的方法.作为学生，学习的最高境界是什么？我想用日本著名的数学教育家米山国藏的经典思想来回答：作为知识的数学，出校门后不到一两年，很快就忘掉了.但，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终身.这篇短文未加任何修改，很朴素地反映了两位小作者在研究过程中的收获，他们不仅收获了作为知识的数学，更多的是学会了作为精神、方法和思想的数学.
