0 引 言
步进电机在控制方式上采用脉冲信号控制步距角的方式。不同于直流电机和交流电机，步进电机可以直接将数字脉冲信号转化为角位移。由于步进电机脉冲信号控制角位移的特点，广泛应用于精度和稳定性要求不高的位置或速度开环的控制系统中[1]。但是在步进电机存在失步或超步的情况下，开环系统无法保证其较高的控制精度。
在工业控制中，为了解决这个问题往往采用PID闭环控制的方法[2]，但是普通PID控制方法主要是针对具有确切模型的线性过程，其控制效果的好坏取决于辨识模型的精确度，这对于像步进电机这种参数时变的非线性被控对象，是非常困难的，而且控制效果往往不好。
模糊控制，是把规则的条件、操作用模糊集表示，并把这些模糊控制规则以及有关信息作为知识存入计算机知识库中，然后计算机根据控制系统的实际相应情况，运用模糊推理，即可自动实现对PID参数的最佳调整。所以，对于步进电机控制，模糊理论是解决这一问题的有效途径[3]。
本文设计了一种模糊PID控制步进电机的方法，并与普通PID控制方式做了比较，实验结果表明，模糊PID闭环控制方案，系统反应快速性可以得到较大提高。
1 二相混合式步进电机数学模型
对于二相混合式步进电机，在不计永磁体回路的漏磁、不计定子极间和端部的漏磁、忽略饱和的影响、忽略磁滞和涡流的影响、忽略定子线圈自感的谐波分量时，步进电机电压平衡方程为式[4]：
[ua=Ria+Ldiadt-Kmωsin（Nrθ）] （1）
[ub=Rib+Ldibdt+Kmωcos（Nrθ）] （2）
式中：[ua，][ub]和[ia，][ib]分别为二相步进电机二相的电压和电流；[R]为绕组电阻；[L]为绕组电感；[Km]为反电势系数；[ω]为电机转速；[Nr]为转子齿数；[θ]为旋转角度。
电机转矩方程及转速和角度关系方程分别为：
[Te=Jdωdt+Bω+TL=-Kmia（sinNrθ）+Kmibcos（Nrθ）] （3）
[dθdt=ω] （4）
式中：[Te]为电磁转矩；[J]为转动惯量；[TL]为负载转矩；[B]为粘滞摩擦系数。 式（1）～（4）组成了二相混合式步进电机的数学模型，它的微分方程形式为：
[dθdt=ωdθdt=[-Kmiasin（Nrθ）+Kmibcos（Nrθ）-Bω]Jdiadt=[ua-Ria+Kmωsin（Nrθ）]Ldibdt=[ub-Rib-Kmωcos（Nrθ）]L] （5）
从公式可以看出，步进电机是高度非线性的。
式中各参数选取为：[L=]1.5 mH，[R=]0.55 Ω，[J=]4.5×10-5 kg·m2，[Km=]0.19 N·m/A，[Nr=]50，[B=]8.0×10-4 N·m·s/rad。
由Simulink建立二相混合式步进电机数学仿真模型，如图1所示。
2 步进电机PID控制及细分模块
模拟PID控制器的控制规律为：
[u=Kpe+1Tiedt+Tddedt] （6）
计算机控制是一种对于数字量的控制，连续PID控制算法不能在计算机算法中直接使用，需要对式（6）采用离散化方法，而增量式PID算法在实际中多被采用，因其可克服在计算机故障下[u（k）]的突变，其算法如下：
[Δu（k）=Kp[e（k）-e（k-1）]+Kie（k）+Kd[e（k）-2e（k-1）+e（k-2）]] （7）
根据此算法建立PID子模块如图2所示。
步进电机在运动时输出转矩惯性偏大可以引起电机的振荡以及步进电机在控制频率过高、转动角度过大的情况下会引起电机失步的问题。为消除这些问题，最好的办法是减小电机每一步前进的角度，即减小步距角，它有利于提高系统的精度。而受到步进电机制作工艺和成本的约束，步进电机转子齿数不可能无限增大，所以只能利用细分驱动控制来减小步进角的度数。
目前最常用的细分控制方法为“正弦阶梯波”[6]法，如图3所示。图3（a）为未细分时绕组电流仿真图，图3（b）为细分下的正弦阶梯波。图3（b）中绕组电流近似成为正弦波的形式，可以很好地降低电机低频振荡现象。但相反，在很高的细分量控制下，失步的现象也较为严重。这是由于电机在同样时间和转动角度的要求下，控制脉冲频率提高，电机的定子反电势增大，再加上脉冲周期减小对定子电流的影响，电机输出电磁转矩将减小，从而造成失步现象。所以，在仿真中采用16细分控制[7]，仿真结果如图4所示。从图中可以明显看出，16细分后角位移输出更加平稳，并且每步输出较小的步距角可以提高系统运动位置精度。
将电流环作为位置闭环控制的一个内环，加入到步进电机PID控制系统中。此系统输入为给定的角位移，在此设为10 rad。其中PID模块为PID子模块、subsystem模块为细分控制模块、stepper motor模块为二相混合式步进电机模型。由电机出来的实际位置[θ]与给定角位移相减得到位置偏差[e，]经由PID控制、细分控制、电机输出构成闭环控制系统。步进电机PID闭环控制系统位置仿真图如图5所示，PID系统响应时间为6.9 s。
3 步进电机模糊PID闭环控制系统
在系统控制中，步进电机仍然主要是利用PID算法。PID参数的整定方法很多，但大多数都是以有确定的对象特征为基础而建立的。而模糊控制理论可以将各种不易定量表示的信号量、条件、操作用模糊集表示，并把这些模糊控制规则以及有关信息作为知识存入计算机知识库中，运用模糊推理，即可对参数实现最佳的调整。而将古典PID和模糊控制理论相结合，可自动实现对PID参数的最佳调整，这就是模糊PID控制[8]。图6为模糊PID控制系统结构框图。
在模糊PID控制中，输入为偏差[e]和偏差变化率[ec，]输出为[ΔKp，][ΔKi，][ΔKd。]输入与输出之间具有一定的模糊关系。[e]和[ec]的值在系统运行过程中不断改变，利用模糊关系实时地对[ΔKp，][ΔKi，][ΔKd]三个参数进行调整[9]。在这里，根据实际经验设定位置偏差[e]基本论域为[-3，+3]，[ec]基本论域为[-3，+3]，[ΔKp]基本论域为[-3，+3]，[ΔKi]基本论域为[-0.6，+0.6]，[ΔKd]基本论域为[-1.5，+1.5]。若实际值超过此基本论域， 都取为基本论域边界值。
模糊条件语句格式为：
if E=A & EC=B，then[ΔKp=X&ΔKi]=Y&[ΔKd=Z]
按照模糊控制规则表[10]，
得出[ΔKp，][ΔKi，][ΔKd]模糊控制规则。
通过使用加权平均模糊判决法（此处权值都设为1），得出[ΔKp，][ΔKi，][ΔKd]输出后，根据式（8）计算出PID三个控制参数[Kp，][Ki，][Kd。]其中[Kp0，][Ki0，][Kd0]为常规的PID控制率中得到的PID参数。
[Kp=ΔKp+Kp0Ki=ΔKi+Ki0Kd=ΔKd+Kd0] （8）
由以上方法建立的模糊参数自整定模块如图7所示。
根据前面建立的模糊PID参数整定模型、PID控制、细分模型、步进电机数学模型得出步进电机模糊自适应PID控制系统。
设定的定位角位移为 10 rad，进行仿真模型试验。模糊PID闭环控制系统位置仿真曲线如图8所示，模糊PID系统响应时间为4.5 s。
4 结 论
通过对两相混合式步进电机数学模型的分析得知，被控对象是高度非线性的。因此，模糊PID控制较传统PID控制有较大优势。它可以对系统输出不断变化的位置偏差和位置偏差变化率进行模糊判别，得出实时的P、I、D参数。从而模糊PID控制具有模糊控制和PID控制的双重优点。实验结果表明，模糊PID闭环控制系统对步进电机控制，系统的响应速度从6.9 s提高到4.5 s，优化了系统的控制性能。
参考文献
[1] 史敬灼.步进电动机伺服控制技术[M].北京：科学出版社，2006.
[2] 刘金琨.先进PID控制及其Matlab仿真[M].北京：电子工业出版社，2011.
[3] ZHU Cai?hong， ZHANG Hong?tao. Fuzzy control of parallel robot based on step motor drive [J]. Advanced Materials Research， 2014， 933（5）： 375?378.
[4] 刘川，刘景林.基于Simulink仿真的步进电机闭环控制系统分析[J].测控技术，2009，28（1）：44?49.
