基于正交有限脊波变换的图像压缩

关键词 图像压缩；脊波变换；稀疏表示；算术编码

小波的出现在许多领域取得了广泛的应用，并迅速成为诸多学科的重要分析工具之一。小波变换以其良好的时频局域特性以及多分辨分析能力在数字信号处理和数字图像压缩方面取得了巨大的成功[1]。在新的静止图像压缩标准ISO 15444（即JPEG2000）中就是把小波变换作为其核心技术。但是小波变换只能反映信号的零维奇异性，对于具有二维分段光滑的信号或一维直线奇异性的图像，小波变换却不是最“稀疏”的表示方法。自然图像中包含有大量的纹理特征，线奇异性表现比较突出，小波变换不能达到最优的逼近。为了克服小波的这种不足，Candès等人提出了一种新的多尺度变换—脊波变换（Ridgelet transform），它特别适合于具有直线或超平面奇性的高维信号的描述，能够有效地处理二维图像的线奇异性，较好的对此类信号进行“逼近”，是比小波更好的稀疏表示图像的工具。

本文利用正交有限脊波变换对图像进行分解，然后对变换后的系数进行量化和熵编码，以达到图像压缩的目的。实验表明,同基于小波变换的压缩算法相比,该算法能提高图像的压缩比,同时保持较低的失真度。

给定一个双变量可积的函数f(x) ，它在R2 空间（二维实空间）上的二维连续脊波变换（2D continuous ridgelet transform）定义为：

（1）

其中 是二维的脊波函数，它的定义为：

(2)

式（2）中， 是小波类的一维函数，参数 满足如下的条件：a0 ，b∈R ， 。脊波逆变换可以通过如下的公式完成：

(3)

考虑到在 R2 空间上小波变换可以写成如下式子：

（4）

式中二维小波函数是由一维小波所长成的，即满足：

（5）

其中一维小波 。

可以看出脊波变换和二维小波变换非常类似，只是脊波用线参数来代替小波中的点参数。小波在处理具有孤立的点奇异性图像时非常有效，而脊波变换在表示线奇异性图像时表现更优。实际上，我们可以把脊波变换看成是在直线上的一维小波变换。而在二维空间点和直线是通过Radon变换联系在一起的。

Radon变换可以写作为：

(6)

由(6)式可见，f(x) 的Radon变换是f(x) 沿不同θ方向的投影；而 f(x) 的脊波变换看作是先对 f(x) 进行Radon变换，然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果，即：

(7)

正因为脊波变换在Radon域上对各个方向进行一维小波变换，将图像的线奇异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀疏表示。脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换，然后进行Radon逆变换得到。

脊波变换离散化是通过离散Randon变换外加离散小波变换得到。然而Randon变换的离散化是一个比较复杂的问题，在众多的离散化算法中，有些存在大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又比较困难。其中有限Radon变换FRAT（Finite Radon Transform）是其中比较好的离散化算法之一。有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon变换的离散化方法。

一个N×N（N要求是一个素数）大小的图像 f(i,j)，其中 ｛0,1,2…,N－1｝。它的有限Radon变换FRAT定义为：

(8)

其中， 是满足斜率 k和截距 l 的直线上的所有象素点的集合，定义

,当 k∈｛0,1,2…,N－1｝

, 当(9)

由式（8）(9)可知，有限Radon变换是满足要求的直线上的图像象素点灰度值的累加和。一个N×N大小的图像经有限Radon变换后，将得到(N＋1)×N大小的矩阵，它有N＋1个斜率方向，每个方向上有N个系数。

有限Radon变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBP（Finite Back Projection）来得到：

(10)

其中Pij指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k 和截距 l 的集合，即：

…

… (11)

为了获得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定义的有限Radon变换（FRAT）和反变换FBP要求变换的图像均值为零，对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像。

可逆的脊波变换可以通过在FRAT每个方向上进行一维离散小波变换得到，这种过程称作为有限脊波变换（FRIT）。考虑到FRAT系数的周期特性，所以小波变换也要选择周期性的小波。有限脊波变换的示意图如 图 1所示。

FRAT变换本身具有一定的冗余，这种冗余可以通过采用一维小波变换来去除，由此可以获得正交有限脊波变换。当小波变换采用正交树结构滤波器组，所有小波基函数具有零均值时，可以得到正交FRIT变换。Minh N. Do等在文献中已经证明只要满足Z条件（Condition Z） 的基函数 ，就可以定义正交有限脊波变换

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