摘 要 在马柯维茨假设的基础上探讨了证券投资组合的有效边界和无差异曲线的基本特性，进而提出了一种选择最优证券投资组合的分析方法，并对上证30指数的指标股进行了实证研究，其结果可望为证券投资实践提供某种程度的科学依据。
关键词 投资组合 有效边界 无差异曲线 实证分析
1 证券投资组合的可行域和有效边界
设有证券投资组合p，其期望收益率记为e（rp），标准差记为σp。则以e（rp）和σp为轴，可建立描述投资组合的坐标体系。在此坐标系中，所有可能的证券组合方式被定义为证券投资组合的可行域。对于只有两个证券a、b的投资情形，其组合分析见图1。
图1中由证券a和证券b建立的证券组合位于连接a、b的直线或曲线上，该直线或曲线被称为证券a与b的结合线。结合线的弯曲程度由证券a和证券b的收益率之间的联动关系所决定，而与选择的组合方式无关。证券间的联动关系采用相关系数来衡量，取值介于－1和1之间。不同组合在连线上的位置取决于该组合投资于证券a、b的比例。如果市场不存在卖空机制，则证券投资组合的可行域即是证券a、b之间的结合线。类似地，对于三个证券a、b、c之间的组合分析情形，在不允许卖空的条件下，由三条结合线（每两种证券形成）构成的所有投资组合的可行域见图2。显然，可行域内的每一点可以通过三种证券的二次组合来得到。例如，a、c的组合为d，b、d的组合为z。一般来说，当存在n种证券可供选择时，根据建立组合的限制条件（如是否存在卖空机制等），其可行域可能是有限域，也可能是无限域。wWW.133229.coM但无论如何，可行域的左边界总是向外凸的（允许线性部分），不会出现凹陷。
根据马柯维茨均值方差模型的假设，在相同期望收益的投资组合中，投资者会选择方差最小的组合方案。对于每一个可能的期望收益，均有一个方差最小的投资组合恰好构成可行域的左边界。另一方面，在方差相同的投资组合中，投资者会选择期望收益最高的组合方案。而对每一个可能的方差水平，都有一个期望收益率最高的投资组合恰好构成可行域的上边界。综上所述，投资者实际选择的证券组合应位于可行域的左边界和上边界的公共部分，该局部边界被称为可行域的有效边界（见图3）。
2 证券投资组合的无差异曲线
在投资实践中经常会见到高收益伴随高风险的情形，即：
e（ra）＞（rb），σa＞σb
此时，投资组合a比b承担更大的风险，但同时也具有更高的期望收益，这种期望收益的增量可视为对风险增量的补偿。
基于风险与收益之间的补偿作用，不同投资组合的实际效用（即满意程度）在投资者看来也许是相同的。将被投资者认为满意程度相同的投资组合曲线绘制在均值方差坐标系中，形成图4所示的无差异曲线族。显然，族中无差异曲线的位置越高，该曲线上投资组合的满意程度越高。由于不同投资者对风险的态度大不相同，故无差异曲线通常被划分为风险偏爱、风险中立和风险厌恶等三种基本类型，其曲线形状（见图4）。
3 最优证券组合的确定
统计调查的结果表明，绝大多数的投资者对风险持厌恶态度。为此，本文以风险厌恶型投资者的投资组合为代表分析最优证券组合的确定方法与过程。
如前所述，在马柯维茨假设下，给定投资环境中的每个投资者将根据证券组合的收益和方差以及自身对风险的态度确定相应的无差异曲线族，并借助于无差异曲线在投资组合的有效边界上选择一个适当的投资方案。显然，由于所选投资方案既不能离开有效边界，又希望具有尽可能高的满意程度，故该方案必然对应于某条无差异曲线与有效边界的切点。其图解过程见图5，图5中h点所代表的投资组合方案即为所求。
4 实证分析
本文选取上证30指数的指标股作为实证分析的对象。研究时段为2000年1月7日～2000年12月29日，共计48个交易周的收盘价。首先计算股票的周收益率及其方差，期间凡有送股、配股和派发现金股利的股票，均根据其配送方案分别进行复权，以保持数据的完整性和一致性。然后构建组合投资的决策模型及确定投资组合的有效边界，最终给出指标股的投资方案并进行必要的结果分析。
4．1 周平均收益率及其方差计算
样本股周收益率的计算公式为：
rit=■-1 （1）
式中i=1，2，…，30；t=1，2，…，48；
rit：第i只股票从第t－1周到第t周的收益率；pit：第i只股票在第t周的收盘价；pi，t-1：第i只股票在第t－1周的收盘价；ai：第i只股票从第t－1周到第t周的送股比例；bi：第i只股票从第t－1周到第t周的配股比例；bi：第i只股票配股价；di：第i只股票在第t－1周到第t周的每股现金红利。
各样本股在样本时限内平均收益率和方差的计算公式分别为：
e（rit）=■，σ2i=■（2）
式中e（ri）是第i只股票的周平均收益率，rit是第i只股票在第t周的收益率，n=47为计算总周数。
上证30指标股在样本时限内周平均收益率和方差的具体计算结果见表1。
4．2 决策模型与有效投资组合
因为我国证券交易市场不存在卖空机制，相应的组合投资决策模型可写成以下数学规划的形式：minσ2（rp）xt∑x
s.t.xten=1
xtr=r0（3）
xi≥0，i=1,2,…，n
式中：x=（x1，x2，…，xn）t为证券组合投资比例向量；r=（r1，r2，…，rn）t为各单个证券投资收益率向量；r=（r1，r2，…，rn）t为收益率向量的期望向量；∑（σij）n×n为收益率向量r的协方差，σij=cov（ri，rj），i，j=1，2，…n；en为元素全为1的n维列向量；e（rp）=xtr表示证券组合的预期收益率；σ2（rp）=xt∑x表示证券组合的风险。
该模型的内涵是在给定预期收益率r0的条件下，力求使证券组合投资的风险达到最小。其中，r0为投资者所要求的最低收益率水平。
借助于lingo软件平台，通过编程计算，不难求解上述数学规划，从而确定证券投资的有效组合。实际运算结果表明，上证30指数指标股的有效投资组合一共有14组，每一投资组合中各样本股所占的投资比例见表2。
5．3 投资组合的有效边界及结果分析
由表2的数据可以看出，随着组合投资方案中证券数目的增加，用方差代表的投资风险在迅速降低，最终稳定在某一固有的风险水平。该风险水平在某种意义上可视为投资环境的系统风险，必须由投资者个人承担，而无法通过投资组合的方式来化解。
根据表2的数据可以绘制出上证30指数指标股投资组合的有效边界，其界面曲线见图6。
图6中的b点表明，投资者在上证30指数指标股投资组合中可以实现的最高周收益率为1.4721%，折算成年收益率为75.71%，同时需要承担方差为45.08%的投资风险。其具体投资方案为将全部资金投资于龙腾科技，属于单一证券的投资选择模式，是高收益、高风险的集中体现。
另一方面，图6中的a点表明，如果将资金按一定比例分投于所选择的9支股票（详见表2），则投资风险降低到最低程度（σ2=5.2%），同时可实现0.249%的周平均收益率，对应年收益率为12.78%。显然，该证券组合投资的收益率仍然远高于银行同期年利率2.25%的水平。
参考文献
1 小詹姆斯l.法雷尔.齐寅峰译.投资组合管理理论及应用[m].北京：机械工业出版社，2002
2 王春峰.金融市场风险管理[m].天津：天津大学出版社，2001
3 张璞.一种确定最优组合证券的新方法[j]，系统工程，2000(2)
