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设G为群, ,定义G中元 ,称为a和b的换位子,所有这样的换位子生成的子群 称为G的换位子群 当G为交换群时,任意两个元的换位子 都是单位元,故 , ,故 是G的正规子群 , ,故 ,故 是交换群 引理：设 ,则 为交换群 证明：记 可得G的一个子群链, 其中每个 都是 的正规子群,且 为交换群 定理：G为可解群 使 证明：定理：若G为可解群,则G的子群和商群都是可解群 证明：定理：设 ,则G为可解群 N和 都是可解群 证明：对称群 为交换群,显然 是可解群 对称群 ,令 是偶置换群(交错群),为3阶循环群 又子群链 , 为2阶群,故 , 都是交换群,故 是可解群 对称群 中包含交错群 , 是2阶群, 中包含一个4阶子群 (Klein四元群)是交换群,易证 是 的正规子群,且 是3阶循环群,故 有子群链 ,故 是可解群 引理：当 时,全体长为3的轮换(循环置换)组成 的一个生成元系 证明：注： 1.任一置换 一定可唯一表成相互独立的轮换之积,若长为r( )的轮换有 个,则 称为 的型 2.任一置换可表成若干对换之积,即全体对换组成 的一个生成元系 引理：对称群 中两个置换共轭 它们有相同的型 证明：定理：当 时,交错群 是单群 证明：定理：当 时,对称群 不是可解群 证明：
什么专业？？
封闭性、结合律、有单位元、有逆元
对称性是对某个参考物而言的。在空间中呈现大小相同但位置不同的特点即几何性质相同
实对称矩阵一定满秩吗 实对称矩阵在数学中扮演着重要的角色。它们具有很多有用的特性，例如对角化、正交对角化等。但是，一个常见的问题是，实对称矩阵一定满秩吗? 实对称矩阵的定义 在开始讨论这个问题之前，我们先来回顾一下实对称矩阵的定义。一个实矩阵是对称的，如果它等于它的转置，即满足$A=A^T$。如果矩阵的元素都是实数，则称它是实对称矩阵。 实对称矩阵的性质 实对称矩阵具有很多重要的性质： 所有实对称矩阵都可以对角化。 对于任何两个不同特征值所对应的特征向量，它们是正交的。 对于实对称矩阵而言，对角化的过程可以通过正交变换来完成。 实对称矩阵的秩 现在，我们回到本文的主题，即实对称矩阵的秩。 结论是，实对称矩阵一定是满秩的，除非它是一个零矩阵。 为什么呢？首先，我们回忆一下矩阵的秩的定义。一个矩阵的秩是它的行向量或列向量的极大线性无关组的元素个数。 对于实对称矩阵，因为它可以对角化，并且对角矩阵的对角线上是特征值，所以这个矩阵的秩等于它的特征值个数。如果存在零特征值，那么这些特征值对应的特征向量会构成一个线性相关的集合，因此矩阵不是满秩的。 但是，对于实对称矩阵而言，所有的特征值都是实数，因此不存在虚特征值。而且，因为特征向量构成一个线性无关的集合，所以这个矩阵的秩等于它的特征值个数，也就是它的阶数。 实例分析 下面，我们通过一个例子来验证这个结论。考虑下面这个实对称矩阵： $$ A = \\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & 5 \\\\ 3 & 5 & 6 \\\\ \\end{bmatrix} $$ 它的特征值为$0,1,10$，对应的特征向量为： $$ v_1 = \\begin{bmatrix} \\\\ \\\\ \\\\ \\end{bmatrix}, v_2 = \\begin{bmatrix} \\\\ \\\\ \\\\ \\end{bmatrix}, v_3 = \\begin{bmatrix} \\\\ \\\\ \\\\ \\end{bmatrix} $$ 可以看到，这些特征向量是线性无关的，因此矩阵是满秩的。 总结 通过本文的分析，我们得出了一个非常有用的结论：实对称矩阵一定是满秩的，除非它是一个零矩阵。这个结论对于理解实对称矩阵的性质以及解决相关问题都是非常有帮助的。
实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。
主要性质：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
扩展资料：
对称矩阵性质：
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
5.用<,>表示 上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈ ， 。
6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：
7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
10.如果A是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵。
阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
参考资料:百度百科----实对称矩阵
在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。
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多项式的对称假设 是未知数， 是 的二次方程， ,它的两个根 有如下关系： ， 和 都有这样的性质：把 和 对换，结果仍然不变，因为 ， 凡是有这样性质的 和 的多项式叫做对称多项式。例如， , 也是对称多项式，但是 就不是对称多项式。并且我们习惯上把 和 叫做初等对称多项式。我们来看一般情况，设n∈Z+, a0，a1，……an∈C,a0≠0设现在有一元n次多项式方程： 著名的代数基本定理告诉我们，这样的方程有n个根，假设为 ，那么： 和二次的情形相仿，韦达定理给出： 像如上左边各式： 等这样的多项式，不论我们对 ，作怎样的排列，都是不会变的。也就是说我们把 ， 是一个n排列,那么以上的式子是不会变的。这样的式子我们称为 的对称多项式，并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式。定义6：设 是C上的一个n元多项式，如果对这n个文字 的指数集{1，2，…n}施行任一个置换后， 都不改变，那么就称 是C上一个n元对称多项式。例如: 是对称多项式，而 就不是，如果把：1→2，2→3，3→1那么 初等对称多项式的重要性在于定理（对称多项式基本定理）：每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式。现在我们用群的语言去描述n元多项式的对称性。令 ,Sn是M的变换群，即前面提到的n次对称群。如果我们略去字母 而只记下标，这时Sn中的元素可以记为： 是一个n排列。令F 记数域F上n元多项式的全体。对 ,利用 可以定义F 到F 的一个映射， 那么 是集合F 的一个一一变换。为什么？ 令 Tn中 那么（Tn，o）满足 ，称之为F 的置换群。如果把n元多项式和平面图形类比，把F 和平面类比，则F 的置换群相当于平面的运动群，（平面的所有保距变换）。即所有不变 的那些 ，那么我们 满足性质 ,称之为n 元多项式 的对称群。例1： ，那么 ，即四次对称群是 的对称群。例2： 例3： ——Klein 4元群例4： 单位元群例5： 是3阶循环解。定义 ： 的一个多项式 称为对称多项式，如果 。即对称群是整个置换群。就这样我们用群来刻划了多项式的对称。如何去构造对称多项式，可见《近世代数》P55。四、数域的对称数域的概念在大学一年级高等代数中就讲过了。一个非空数集F，至少含有一个非零的数，如果F对＋，－，×，÷封闭，那么F称为一个数域。Q，R，C都是数域，最小的数域是Q， 也是一个数域。平面图形是一个几何结构，即是把一个点集M（图形由点组成）连同此点集M中任意两点间的距离作为一个整体来考虑，而其对称群就是M的保持其任两点间的距离不变的变换的全体，这些保持M的几何结构（即距离）的变换的全体，就刻画了几何结构的对称。完全类似地，数域F是一个代数结构，也就是把一个数集F连同此数集F中加、减、乘、除的运算作为一个整体一起来考虑。所以数域F的对称也同样地可以用F的保持代数结构（即运算）的变换的全体来刻画。定义7数域F的自同构 是指：（1） 是F的一个一一变换（2） 定理1若 是F的自同构，那么 有以下系列的性质：（1） （2） ；（3） （4） .和我们前面讨论平面有限图形K的对称一样两个对称变换的乘积仍是K的一个对称变换，类似地我们有：性质1设 和 是数域F的两个自同构，那么 和 也是F的一个自同构.性质2令Aut（F）表示F的所有自同构的全体，令o表示变换的乘法，则（Aut(F),o）满足G1)—G4)。定义8 称（Aut(F),o）为数域F的自同构群。我们可以这样来类比：数域F的自同构群相当于图形K的对称群，后者刻画了图形K的对称，前者则刻画了数域的“对称”，——它是图形对称在数域上的一个类比概念。定理2有理数域 的自同构群只有一个元素——恒等自同构I。由此可知，若任意数域F，F ，且 ，那么 。即 ， 限制在 上是恒等变换。例1令 是一个数域，是把 添加到 做成的代数扩域。考察F的自同构群。设 ，由定理1知， ，故 ，变换的结果取决于 令 最多只有2个数值 和 ，故F的自同构群只有可以验证I、 确为F上的自同构。o I φI I φφ φ I这是一个2元循环群， ，同构于 ，即 的对称群。例2令 这也是一个数域。设 ，同上例， 的作用决定于 和 ，知 和 只有4种组合方式。故Aut(E)只有4个元素 o I φ1 φ2 φ12I I φ1 φ2 φ12φ1 φ1 I φ12 φ2φ2 φ2 φ12 I φ1φ12 φ12 φ2 φ1 Io (1) (12) (34) (12)(34)(1) (1) (12) (34) (12)(34)(12) (12) (1) (12)(34) (34)(34) (34) (12)(34) (1) (12)(12)(34) (12)(34) (34) (12) (1)Aut(E)与Klein 4元群同构 : ，即 的对称群。我们把上面说的推广到一般情况，定义9给定两个数域F和E，如果F E，则称F是E的子域，而称E为F的扩域。令 即 是使得F中元素不动的E的自同构，Aut(E:F)就是由所有这样的 组成。F就相当于平面图形的对称中的对称轴或是旋转中心。命题（Aut(E:F)，o）满足 ，称为数域E在F上的对称群。例3 和 都不能使到a+b 保持不变。设 ， 为n次多项式，n个根为 ， 在F上的分裂域为E， ，那么称（Aut(E:F)，o）为F上多项式 的根的对称群，也称为F上一元多项式 的Galois群。这个群在解决五次以上多项式方程不可能有根式解的问题上起了关键作用。五、关于“对称与群”的教学（1） 认识运算的广泛性，不只是数可以运算，其他的一些数学对象也可以运算，并且满足一些数的运算所具有的性质。（2） 乘法不一定是可以交换的。（3） 代数结构的概念：一个集合，加上这个集合中的运算，构成一个代数系统，其结构体现在运算关系上。（4） 群的概念：对称群是一个具体的群。满足G1)—G4)，就称为群。（5） 数学语言是刻画自然现象的一个极好工具，数学是模式的研究。数学来源于实际问题。
论题：置换群运算与证明的数学机械化目录摘要ABSTRACT' 科学计算和计算机代数系统.' 论文的主要结果及安排第二章群论知识背景' 置换群' 置换群的运算及其在集合上的作用' 小结第三章置换群运算与证明的计算机实现置换群上运算的实现 置换群证明的计算机实现小结第四章计算对称群的子群数据表示和计算方法对称群中的交换子群.例子第五章结束语杯.1群论和算法对A。为单群的计算机证明的展望.计算机代数系统的局限性致谢参考文献附录A置换群运算的Mathematics程序群论的算法是一个很有意义的问题。在实际应用中遇到的群大都十分复杂，需要借助于计算机来实现其运算。本文用计算机代数系统Mathematica实现了置换群上的运算和证明问题。针对置换群上的基木运算、子群的运算和生成以及群对集合的作用等问题，我们设计了相应的算法并用Mathematica实现了这些算法。把交代群A。的元素按共扼分类，将除单位元所在共扼类之外的其它共辘类的阶数进行所有可能的组合相加，对所得的每个数加上单位元所在共扼类的阶数1，然后用所得结果依次去除{An，如果其中存在某个数k，使得k能够整除{An I，则只有阶数相加为k的那些共扼类的并集所生成的群才有可能成为A。的非平凡的正规子群。从这个理论出发，我们设计了用计算机代数的方法判断A。是否为单群的算法，当n< 10时都能很快地得出An (n } 4)为单群的结论。Caley定理揭示了一个抽象群G和一个具体的群Sn的关系。如果能把Sn中所有不同构的n阶子群都找出来，那么也就能把所有可能存在的n阶群都找出来了。本文讨论了计算对称群的所有子群并对其进行共扼分类的算法，作为例子，我们完成了}S(n_7)的所有子群的共扼分类。论题：置换群_PSL_3_p_PSL_2_7_的次轨道结构目录摘要Abstract .1.引言2.预备知识3.主要定理证明长为7的自阮挤寸次轨道长为8的自配对次轨道长为14的自配对次轨道长为21的自配对次轨道长为24的自配对次轨道长为28的自配对次轨道长为42的自配对次轨道长为56的自瓦织寸次轨道长为84的自配对次轨道参考文献致谢摘要设群G是有限集合几上的传递置换群，对任意aES2，令G。二{9〔G}as二a}是G关于点a的稳定子群.我们称G。在几上作用的轨道为G关于a的次轨道，而次轨道的个数称为G的秩.对任一次轨道△，设as E△，则把as_，所在的次轨道△，称为与△配对的次轨道.当二者重合时，称其为自配对的.决定一个置换群的次轨道结构是置换群理论的基本间题之一，它在组合结构的研究中有着重要的应用.在文!21】中，作者决定了PSL(3,川关于极大子群 PSL(2, 7)的本原置换表示的次轨道，其中p三1(mod 168)，但未研究其次轨道的瓦妞寸情况.而在多数情况下，群在组合结构方面的应用要求决定次轨道的配对情况.本文将决定该置换表示的全体非正则自配对的次轨道.
除了求导我不知道有什么办法了比如f(x)=x^2求导以后就是f`(x)=2x当f`(x)=0即x=0时取到极值，当x<0时f`(x)<0（导数小于0时表示单调递减，就是图像一直呈向下的趋势，没有上升的时候），当x<0时，f`(x)>0，所以图像时向下凸出的，那个最低的地方就是极值点，这里为极小值。所以x=0为极小值。不知道求导的话去查查就知道了。
函数的零点等价于对应方程的根，计算方法主要是解方程。对区间上的可导函数而言，函数的极值点是导函数的变号零点，这时极值点的计算方法是先求导，再求导函数的零点，再讨论零点两侧的导数符号，最后结论。所以要经历求导运算，解方程，解不等式等。对于区间上的不可导函数而言，函数的极值可能存在，因而极值点存在。往往用初等方法。需讨论。例如y=|x|,因为y=|x|≥0，当且仅当x=0时，y min=0.所以极值点x=0.亲，以上是提供，供参考。您可以发散一下，并举些具体例子。必要时把零点和极值点的定义加进去。
1、求极大极小值步骤：
求导数f'(x)；
求方程f'(x)=0的根；
检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
2、求极值点步骤：
求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；
用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
上述所有点的集合即为极值点集合。
定义：
若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x) 同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。 极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。 如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。 百度百科--极值 我知道能函授问题明白道理 看你使用的目的了如果你是想要证明一个别的东西，但是证明的过程中需要用到别人的这个不等式的结论，那么直接用就可以，标注好引用就行了如果你的最终目的是证明这个不等式，那么你就不能直接用了，就得想一种全新的方式证明它，否则就属于抄袭了。 [1] 熊斌. Schur不等式和H�lder不等式及其应用[J]. 数学通讯, 2005,(15) [2] 段志强. 一个不等式的妙用[J]. 数学通讯, 2004,(17) [3] 赵国松, 张晓东. 一个Cordon型不等式[J]. 许昌学院学报, 2004,(05) [4] 刘宁超. of multiply from i=1 to n (ai+bi) ≥{n~1/[ multiply from i=1 to n (ai)] +n~1/[multiply from i=1 to n (bi)]}~n的证明推广及应用[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版), 1997,(03) [5] 佟成军. 一个不等式的加强及证明[J]. 数学通讯, 2006,(07) [6] 曾峰. 一个不等式的证明及应用[J]. 中学课程辅导(初二版), 2005,(02) [7] 黄长风. 联想证明不等式[J]. 数学教学研究, 2005,(03) [8] 李歆. 不等式a~2+b~2≥2ab的几个推论及应用[J]. 中学生数学, 2005,(05) [9] 方辉. 浅谈哥西不等式的应用[J]. 黄山学院学报, 1997,(01) [10] 孔小波, 孙文迪. 权方和不等式的改进及其姊妹不等式[J]. 数学通报, 2008,(11)不等式的若干证明毕业论文