旅游业中模糊综合评判的数学模型

摘　要　旅游业在中国发展迅猛，旅游学、旅游教育的发展却相对滞后，文章用模糊数学中的综合评判法为旅游学提供一种评价模式，使其不仅更具科学性，而且更具操作性，从而使旅游业的发展更具合理性。
　　关键词　旅游　模糊数学　集合　综合评价

　　现实生活中充满了模糊事物、模糊概念，比如暖、胖、亮、老等。我们的想法是怎样利用模糊数学中的模糊集合概念来描述诸如此类的模糊事物。可以设定若集合用大写字母A、B……来表示，则A、B……表示模糊集合，用?滋（ｘ）表示元素X属于模糊集合A的程度。?滋可在［0,1］内连续取值，所以能合适的表示元素，X属于某一个模糊集合的种种暧昧状态。例如，导游小姐为了使57岁的女士不至于为年龄大而伤心，告诉她其实女士的年龄只有66%属“老年人”，而基本上可以说还不是老年人，因为：
　　?滋老年人（Ｘ）＝≈６６％
　　也就是说这位女士属于老年人集合的资格只有0.66，按这个公式就连70岁的人也只有94%（而不是100%）的资格属于老年人，女士有什么理由认为自己老的不能活下去呢？！
　　成功的用模糊数学公式劝导游客当然不是导游小姐的独创，只是这位导游小姐能自如的把模糊数学运用到自己的工作中罢了。模糊数学自1965年问世以来，发展的异常迅速，目前世界上已有多种专著、论文集以及杂志。从这些出版物中可以看到，国内外许多学者在这一重要和迅速发展的领域中作出了有价值的贡献。今天我们也试图在旅游行业中发现模糊数学的痕迹。模糊数学中的模糊综合评判法，应该可以在旅游业中找到用武之地。
1　单因素评判
　　拿一个新开辟的景点为例。为了考察该景点的优劣，可以找来各界人士若干，规定每个人在集合V={很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢｝给出的答案中挑一种，若挑选的结果是20%的人“很喜欢”，40%的人“喜欢”，20%的人“不太喜欢”，20%的人“不喜欢”，这一评判结果就可用模糊集。
　　B=0.2／很喜欢+0.4／喜欢+０.2／不太喜欢+0.2／不太喜欢来表示，B还可以简单记为B=［0.2，0.4，0.2，0.2］。一个单因素模糊评判问题的评价结果是评价集V这一论域上的一个模糊子集。为了清晰起见，可根据最佳隶属原则得出一个清晰评判。上例中由于“喜欢”对B的隶属度?滋Ｂ（喜欢）＝０．４最大，所以可以认为对该景点的评判是游客喜欢。但一般没必要这么做，保持模糊评判的结果B往往能更好的反映游客对景点的看法。
2　模糊综合评判
　　实用中，单因素评判似乎太单一。因为一般一个问题往往涉及多个因素。还是以一个景点为例，“游客喜欢”涉及的因素应该有６个：食、住、行、游、购、娱。如何评判一个景点，应该是个综合问题，可给出的评价集为：
　　V={很喜欢，喜欢，不太喜欢，不喜欢}
　　首先考虑各个单独因素，用前面的方法可以对上述６个因素进行模糊评判。假设得到如下的单因素评判结果。它们分别为以下六个模糊集：
　 　　 很喜欢　　 喜欢 不太喜欢 不喜欢
食　 R=（0.0　　　0.4　　　0.5　　　 0.1)
住 　R=（0.0　　　0.2　　　0.6　　　 0.2)
行 　R=（0.1　　　0.3　　　0.2　　　 0.3)
游 　R=（0.0　　　0.2　　　0.6　　　 0.2)
购 　R=（0.0　　　0.3　　　0.6　　　 0.1)
娱 　R=（0.1　　　0.5　　　0.3　　　 0.1)
　　R=
　　可称R为对该景点的单因素评判矩阵。
　　由于评判人在评判时对各个因素的着眼点不尽相同，也就是说对诸因素有不同的侧重，因而得出的评判结果也可能是不同的。例如：年龄稍大的游客可能侧重“行”，即偏重交通方便。而年轻游客则可能侧重“游”，即偏重玩得快乐。所以事先确定好各个因素侧重程度，即相应的“权”重，才能保证综合评判的信度。假定我们选定某类年轻游客，且事先估计了这类游客对各因素的相应权重。
　　它可以表示成模糊集
　　=0.15／食+0.15／住+0.1／行+0.1／游+0.15／购+0.35／娱
　　或简记为：=（0.15 0.15 0.1 0.1 0.15 0.35）
　　对某评判对象，若已知单因素评判矩阵及权（记为模糊集），则对此评判对象的模糊综合评判结果是模糊集B=A·B


　　上设与均已知，则
　　=（0.15 0.15 0.1 0.15 0.35）·　　　　　　　　 =（0.1 0.35 0.3
　　即：=（0.1 0.35 0.3 0.10）
　　综合评判的结果最好是归一化的，其基数为0.1+0.35+0.3+0.15=0.85
　　评判结果为
　（0.1/0.85 0.35/0.85 0.3/0.85 0.15/0.85）=（0.11 0.39 0.34 0.16）
　　这一评判结果表明11%的人“很喜欢”这个景点，39%的人“喜欢”这个景点，34%的人“不喜欢”这个景点，16%的人“很不喜欢”这个景点。再综合一下，把“很喜欢”和“喜欢”归为一类，占人数的50%，“不喜欢”和“很不喜欢”归为一类，占人数的50%。
　　但如果选定某类年龄稍大的游客，且把他们对各因素的权重分配定为
　　*=（0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2）
　　则综合评判的结果为
　　= *·=（0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2）· =（0.2 0.2
　　因为0.2+0.2+0.2+0.2=0.8
　　故综合评判结果为：
　（0.2／0.8 0.2／0.8 0.2／0.8 0.2／0.8）=（0.25 0.25 0.25 0.25）
　　表明在该类游客中有25%的人“很喜欢”该景点，25%的人“喜欢”该景点，25%的人“不喜欢”该景点，25%的人“很不喜欢”该景点。
　　由此看出即使是同一被评判对象，由于对各因素的权重不同得出的评判结果也可能是不同的。这就是模糊结合评判法的使用过程。
　　此类评判的数学模型可以归纳如下：
　　已知因素集U={u1，u2 … un}和评价集V={v1，v2 …vn}
　　设定对因素的权分配，即U上的模糊子集A简记为
　　=（a1，a2…an）
式中ai为第i个因素Ui所对应的权数，且一般均规定
　　ａｉ＝１
　　对第i个因素的单因素模糊评价为V上的模糊子集
　　Ri=（r1，r2…rn）
　　于是单因素评判矩阵为
　　=
　　则对该评判对象的模糊综合评判是V上的模糊子集
　　=·
3　模糊综合评判的逆问题
　　实质上，R是集合U与集合V之间的一个模糊关系。根据矩阵的复合运算法则，确定了一个模糊映射，它把U上的一个模糊子集A映射到V上的一个模糊子集B·A是映射的原象，B是映射的象。于是模糊综合评判实际上就是已知原象（权分配行矩阵）和映射（单因素评判矩阵）去求象（综合测判结果）的问题，借助合成运算，这是不难办到的。比较困难的是求原象，即权分配如何适当的确定。因此还存在模糊逆问题：已知R及象去求原象。即已知评判结果去判别评判人在评判中所取的权分配。一般说来，已知模糊映射R的象B去求它的原象比较困难，这里可采用比较法。即：先人为的设定S个原象A1 A2 ……AS再分别求出它们的象。=·　　i=1.2,……S。
　　然后按模糊集的贴近原则，求出与B最贴近的模糊集。
　　即（，B）=max(Bj，)
　　（式中（，）是Bj与B的贴近度。
　　则所对应原象Ai即为较理想的权分配方案———原象。
　　比如：对景点交通的评判从以下三个方面来着眼，即交通线路、交通工具和服务水平，经过调查知只有80%的人评价“好”，20%的人评价“不太好”，没有人评价“很好”，也没有人评价“不好”。可以写出评价集V=（很好，好，不太好，不好）
　　单因素评价矩阵
　　R=
　　综合评判=（0 0.8 0.2 0）
　　那么游客怎样进行服务水平，交通工具，交通线路这三个因素的权分配？
　　根据对游客心理的估计，可以这样进行，先提出下述四种可能的权分配方案。（四个原象A1，A2，A3，A4）。即四个模糊集。
　　服务水平交通工具交通线路
　　A1=（0.2　0.5　0.3）
　　A2=（0.5　0.3　0.2）
　　A3=（0.2　0.3　0.5）
　　A4=（0.7　0.25　0.05）
　　算出对应的，，，
　　=·=（0.2 0.4 0.5 0.1）
　　=·=（0.2 0.5 0.3 0.1）
　　 =·=（0.2 0.3 0.4 0.1）
　　=·=（0.2 0.7 0.25 0.1）
　　再算出与的贴近度：
　　（，）=（0.4+1-0.1）/2= 0.65
　　（，）=（0.5+1-0.1）/2= 0.7
　　（，）=（0.3+1-0.1）/2= 0.6
　　（，）=（0.7+1-0.05）/2= 0.825
　　由（，）=（，）= 0.825最大
　　所以推断出=（0.7 0.25 0.05）是较符合实际的权分配方案。
　　综合评判的逆问题有普遍的实用价值。模糊综合评判法可以为旅游业的综合评判开辟有一条新路。这种数学模型的使用能使旅游学更具学科性，更能提高综合评判的信度和效度。而它的简单易行又使其颇具操作性，使学习这门古老经典的学科也为旅游学的发展又助上一臂之力。