论文摘要：指数化投资是以复制和追踪某一市场指数为手段，通过分散化投资和被动管理来降低投资成本，并试图取得市场平均收益率的一种证券投资模式。由于指数化投资具有收益稳定和交易成本较低等特点，受到投资者的欢迎。因此本文从跟踪误差的计量方式和影响因素以及指数化投资组合构建方法两个层面对指数化研究的最新进展进行系统综述，对于我国资本市场的发展提供有价值的借鉴。
论文关键词：指数化投资,跟踪误差,完全复制策略,非完全复制策略
基于被动投资理念的指数化投资是以复制和追踪某一市场指数为手段，通过分散化投资和被动管理来降低投资成本，并试图取得市场平均收益率的一种证券投资模式。由于指数化投资具有高度分散风险、投资收益稳定、运营成本和交易成本较低、资金利用率高、操作和投资监管透明化以及节税等特点，受到投资者，尤其是机构投资者的欢迎。自1973年世界上第一支指数基金（美国的Samsonite养老基金）诞生以来，在随后的20多年的时间里，美国指数化投资规模达到5000亿美元左右。因此指数化投资技术与方法的研究的最新进展进行系统综述，对于投资者准确理解指数化投资的内涵有指导作用，同时对于我国资本市场的发展也能提供有价值的借鉴。
一、对跟踪误差的计量研究
指数化投资为了获得与证券市场目标指数一致的收益和风险的投资目标，主要以复制和追踪目标指数为手段，因此证券投资组合的投资绩效主要通过跟踪误差这一关键性的技术指标来衡量。跟踪误差作为指数化投资中一种重要的控制风险的工具，主要度量指数化证券投资组合拟合基准指数的精确程度。跟踪误差的计量模型的科学性与准确性对于指数投资过程中的风险控制有着重要的影响，因此下文首先对跟踪误差的度量方式以及影响因素的最新研究进展进行综述。
1、对跟踪误差的度量方式的研究
TreynorandBlack(1973)最早提出组合收益率的跟踪误差的计量方法。他们将跟踪误差定义为投资组合构造的指数收益率序列与基准指数收益率序列的线性回归方程中残差的标准差。他们认为跟踪误差主要受两个收益率序列间的相关系数的影响。只要满足两收益率序列间的相关系数为1，由该度量方法计算的跟踪误差应为零。然而实际上通过投资组合构造的指数收益率序列应与基准指数收益率序列之间存在着显著的误差。因此，之后的学者对跟踪误差的定义进行不断的优化，其中以PopeandYaday（1994）提出的度量方式最为著名，并得到了最广泛的应用。他们将投资组合与基准指数的收益率的差值序列的标准差定义为跟踪误差，可以有效的度量投资组合偏离基准指数的程度，在PopeandYaday（1994）之后，大量的学者致力于跟踪误差的度量方式的优化研究。KonnoandWatanabe(1996)运用简单高效的单纯形方法计算指数化的债券投资组合的跟踪误差。MarkusRudolf等(1999)认为由于基线性偏差相对于二次偏差而言，能够更准确地度量投资者的风险偏好。因此他们将跟踪误差定义为指数化的投资组合与基准指数收益率之间的绝对差额作为跟踪误差，并在此基础之上对跟踪误差的度量方式更进一步的衍生，构造出最大绝对偏差（Maximumabsolutedeviation）、绝对平均下方偏差（Meanabsolutelydownsidedeviation）以及最大绝对下方偏差（Downsidemaximumabsolutedeviation）。并将这四种跟踪误差的度量模型分别运用于对六个国家（美国，日本，英国，德国，法国，瑞士）的股市主要市场指数与全球基准指数（MorganStanleyCapitalInternationalIndex，摩根士丹利资本国际指数）之间跟踪误差的度量，理论证明和实证结果均显示跟踪误差的线性模型均优于二次规划模型。GilliandKellezi(2001)认为运用相对较少数量的股票组合来复制基准指数，交易费用是组合指数指数化时必须要考虑的因素；他们还提出一种启发式（heuristic）优化算法，即阈值接受法（thresholdaccepting）。该方法能够灵活的处理包含多种约束条件的多目标优化问题，因此对于处理多资产的投资组合指数化等这类复杂的多目标优化（如交易费用最小化、跟踪误差最小等）问题，因此具有较强的适用性和广泛的应用性。MaringerandOyewumi(2007)也运用上述算法，在交易成本和财政约束下，对道琼斯工业指数进行跟踪优化。KonnoandWijayanayake(2001)指出忽略交易成本或者交易成本为凸函数时指数跟踪组合可以运用凸最小二乘法进行管理；然而当交易成本为非凸函数或者不可忽略时，可以采用分支定界算法（branchandboundalgorithm）。随着风险价值（valueatrisk,VaR）在金融风险管理领域的广泛运用，将风险价值作为跟踪误差的度量形式也成为指数化投资领域的研究热点。如AlexeiA.Gaivoronski等(2005)在存在交易成本和市场信息的约束下，通过VaR方法获得一个动态的最优投资组合重组策略，从而使得投资组合的收益最大。
之后的学者侧重于从多元变量的角度来度量和优化跟踪误差。DoseandCincotti(2005)采用时间聚类分析对指数和增强型指数的跟踪误差进行度量。KonnoandHatagi(2005)在考虑交易成本的线性化约束下，运用alpha方法将投资组合的指数化收益率锁定在不低于某一预定收益率的水平。
CanakgozandBeasley(2009)将含有交易成本、每种股票持有数量限制等约束条件下的投资组合指数化问题转化成混合整数线性规划问题，并且使用标准的求解器（Cplex）对八个主要市场数据进行实证研究。StoyanandKwon(2009)将投资假设条件放宽为现实投资环境中的一切随机变化的投资要素，运用两阶段的随机混合整数规划（stochasticmixed-integerprogramming，SMIP）框架对指数跟踪的结果进行优化，实证研究显示SMIP方法具有较好的拟合性和动态跟踪性能。HuandZhang(2009)将追踪误差定义为证券投资组合收益率与所追踪的指数基准收益率之差的均值平方和的平方根，建立了基数约束(即总资产数不超过某个特定整数K)下的跟踪误差最小化模型。由于引入显示的基数约束使得该模型成为一个非线性混合整数规划问题，传统算法难以有效求解，为此他们设计了一个粒子群算法求解基数约束下的指数跟踪模型。
2、对跟踪误差的影响因素的研究
Pope&Yadav(1994)发现如何跟踪误差时间序列存在自相关将会影响跟踪误差计算结果的准确性，数据的时间频率是跟踪误差的重要影响因素。在Pope和Yadav之后，跟踪误差的影响因素问题收到了受到了学术界和理论界的广泛重视。WalshandEvans(1998)也发现数据的频率是产生不同跟踪误差结果的重要因素。他们通过对比同一指数的日数据、周数据以及月数据，发现周数据的指数跟踪组合具有最小的跟踪误差。TseandErenburg(2003)通过对纳斯达克100指数的跟踪研究发现，影响指数化投资组合的收益的因素主要为市场的质量、电子通讯网络导致价格发现的速度等。而Vardharaj等(2004)通过对跟踪误差及其产生的因素进行定量化的回归建模，发现跟踪误差主要受到投资组合的投资风格的差异、投资组合持有的股票的数量、交易成本的大小以及目标指数的波动率等因素的影响。
二、对指数化投资组合构建方法的研究
1、基于完全复制策略的指数化投资组合构建方法的研究
完全复制策略即通过购买与基准指数中成分股的数目和权重相同的证券进行组合投资。
Blume(2002)对各种指数化投资组合构建方法进行比较实证，发现采用完全复制策略时S&P500指数基金具有更低的跟踪误差。但实际操作中，由于交易成本以及交易机制（如涨、跌停板等）等约束，即使采用完全复制策略也不可避免存在着跟踪误差。Dorfleitner(1999)
发现当基准指数中成分股的成交量较小或者缺乏流动性时，采用完全复制法将使得投资者支付高昂的交易成本。鉴于上述缺陷，完全复制策略的研究文献并不多，多数学者倾向于对非完全复制策略的指数组合构建方法进行研究。
二、基于非完全复制优化策略的指数投资组合构建方法的研究
该方法由于具有较好的应用性，成为指数化投资策略的研究重点。其主要思路是将考虑各种因素的跟踪投资组合转化成基于跟踪组合与基准指数间的跟踪误差最小化的目标规划问题，然后运用各种数值求解来求解满足条件的最优指数跟踪组合。
早期的研究主要集中在如何将Markowitz的均值-方差（E-V）模型应用到指数跟踪模型中。Hodges(1976)是最早进行该项研究的学者。他的主要贡献是将超过基准指数收益的有效曲线与标准的Markowitz模型的有效曲线进行了比较研究。而该项研究中最具影响力的研究时Roll（1992）。他通过将指数化投资组合中的跟踪误差最小化模型与E-V模型进行比较，发现只有当基准指数是EV有效的，跟踪误差最小化模型的有效投资组合（均值-跟踪误差TEV）才是EV有效的；他进一步发现基准指数通常并不是EV有效的，因此E-V模型和TEV模型并不能得到一致的最优投资策略。但Roll并没有更进一步指出TEV模型和E-V模型谁更具有操作性的问题。后来的实践证明：以历史数据为样本，根据跟踪误差最小化模型得到的最优投资组合在将来也具有较高的跟踪概率，因此跟踪误差最小化模型也成为指数化投资策略求解的重要工具。
Roll之后也有大量学者将均值方差准则运用于跟踪误差的最小化的可行性问题的研究上。如I.R.C.Buckley,andR.Korn(1998)在均值方差框架下，以及减少固定和比例交易成本和最大限度地减少指数投资组合的跟踪误差的多重目标下，采用脉冲控制技术(impulsecontroltechnique)给出了跟踪组合的最优策略。
另外也有大量的文献主要集中于对跟踪指数优化算法的研究。J.W.Kwiatkowski(1992)较早运用线性互补算法（linearcomplementarityalgorithm）确定出指数跟踪组合中的关键指标投资组合中各资产持有的数量、各资产收益率的协方差矩阵以及组合中成分股的预期回报。J.Shapcott(1992)在综合考虑各种约束条件（如投资组合中各成分股的持有数量、交易成本、卖空限制）下，使用遗传算法在投资组合空间中快速搜索出符合条件的满意解。
Costa和Paiva(2002)认为TEV优化问题和EV优化问题都存在模型输入参数的微小变化会引起解系数的较大变化问题。为了提高鲁棒性，研究提出了将跟踪优化问题归纳为线性矩阵不等式问题求解。PhilippeJorion(2002)指出股票型基金的系统风险高于基准指数，可以运用衍生工具的杠杆效应构造增强型指数基金（Enhancedindexfunds），该指数基金可以创造出不低于基准指数的收益率，同时也能够很好的控制跟踪误差。LiuYungang,ZhangJifeng(2003)运用随机非线性系统的满意输出反馈控制（satisfacitonoutputfeedbackcontrols）方法对风险敏感型指数化的投资组合的误差进行跟踪优化。他使用二次函数表示指数的收益率，运用积分反推法（integratorbackteppingmethod）和建设性的输出反馈控制(outputfeedbackcontrol)设计，使得敏感性指数化的投资组合的收益率高于既定值。SergioM.Focardi;FrankJ.Fabozzi(2004)在JobsonandKorkie（1980）、BestandGrauer（1992）等学者的影响下，也发现相关系数主要反映收益率在短期内的变化趋势，长期的均衡关系可以通过协整理论来度量；同时他还发现运用协整理论来度量跟踪绩效，不需要重复和频繁的调整投资组合中各成分股的持有比例，因此不论是在长期还是短期都具有较好的效果。R.TyrrellRockafellar,StanislavUryasev(2002)采用CVaR作为风险度量模型，建立了跟踪误差最小化的指数组合优化模型，并同时以纽约证券交易所和香港证券交易所的股票为样本，给出了跟踪误差最小时的样本内和样本外的最优投资策略，对CVaR控制风险的有效性进行了市政检验。DunisChristianL,HoRichard(2005)进一步使用道琼斯指数实证研究发现跟踪指数组合与基准指数具有稳定的协整关系；同时采用长期或短期的市场中立策略，在不利的市场环境中也能够产生稳定的回报。ChristianDose,andSilvanoGindotti(2005)在随机优化技术的框架，运用时间序列聚类分析的方式，描述了指数跟踪和增强型指数跟踪问题。AndreasLindemann,ChristianL.Dunis,PauloLisboa(2005）运用高斯混合神经网络模型（Gaussianmixtureneuralnetwork）估计摩根士丹利技术指数追踪基金（MorganStanleyTechnologyIndexTrackingFund，MTK）的概率密度函数，同时将传统的预测模型移动平均收敛发散（movingaverageconvergencedivergence,MACD）模型、自回归移动平均模型(autoregressivemovingaveragemodel,ARMA)、逻辑回归模型（logisticregressionmodel）和多层感知器网络（Multi-layerperceptronnetwork,MLP）以及高斯混合神经网络模型对于追踪模型的收益率的预测效果进行比较实证研究，研究发现两个网络模型的预测效果均由于基准指数收益率，而高斯混合神经网络模型的预测效果最好。LianYu,ShuzhongZhang,andXunYuZhou(2006)在卖空以及下行概率的约束下使用高阶矩来度量风险，并运用库恩-塔克条件解决金融指数的最优跟踪问题。FrancescoCorielli,MassimilianoMarcellino(2006)采用动态的因子模型对影响跟踪误差的要素进行回归分析，研究了影响EuroStoxx50指数的跟踪能力和跟踪误差的影响因素。DavidD.Yao,ShuzhongZhang,XunYuZhou(2006)在随机线性二次控制的框架下，运用半定规划生成最优反馈控制矩阵来解决基于收益率的跟踪误差最小化问题的动态最优值的求解。
随着我国资本市场的不断完善和成熟，指数化投资策略必将得到广泛的研究和应用。因此如何将国外的研究成果应用于适合我国资本市场的指数化投资管理中，将是我国学者进一步研究和探讨的课题。
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