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证明能用改进的欧拉方法精确求解初值问题y＇＝ax＋b，y（0）＝0：
欧拉法是常微分方程的数值解法的一种，其基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。
研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。
它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。
例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。
扩展资料
欧拉法的定义有很多，主要分为以下几类：
一种简单的显示单步法．计算公式由yn＋1＝yn＋hfn表出，式中fn＝f（xn，yn）．欧拉法是一阶显式方法，且是收敛的。其稳定函数为一次多项式R（z）＝1＋z，z为复数，绝对稳定区域为复平面上以（－1，0）为中心的单位圆内部。
是指用“流速场”这个概念来描述流体的运动，它表示流速在流场中的分布和随时间的变化。把流速u在各坐标轴上的投影ua、uy和uz表为x、y、z和t四个变量的函数，ux＝ux（x，y，z，t），uy＝uy（x，y，z，t），uz＝uz（x，y，z，t）。这样的描述方法称为欧拉法
随着计算机技术的发展和系统科学的全面开发,结合计算机技术、控制技术、图像技术、三维技术等技术的进步,衍生了一门全新的科学技术——计算机仿真技术。下面是我为大家整理的计算机仿真技术及应用本科 毕业 论文，供大家参考。
《 化工中计算机仿真技术研究 》
摘要：目前，计算机逐渐被普及到生活生产各个方面，并逐渐被拓展至化工行业内应用，计算机仿真技术化工行业内应用范围渐渐被扩大，某种特殊程度上促进化工行业可持续发展。本文由计算机仿真技术化工行业应用角度阐述该技术优势，以及对其应用必要性，希望可以对相关工作者带来一些启示。
关键词：计算机仿真技术;化工;应用
伴随科学技术逐渐发展进步，化工行业设施装置逐渐趋于大型化、复杂化发展，自动化水平逐渐提升，操作要求更加严格。需要相关操作人员与技术人员渐渐提升自身业务能力与水平，不单确保生产设备能够稳定安全与长期运行，还需要有关工作者对于发现事故做到尽快合理处理，争取避免有所损失。在化工行业里，传统培训体系偏向于师傅带领徒弟传帮带形式，而有关工作人员对于故障处理的能力，通常要靠长时间实践积累为主，还要具备资历师傅将其所掌握的原封不动传授给徒弟。该方式比较真实，但却受到授培训时间与周期限制，培训内容缺少丰富性，某种程度上有可能增加相关工作者独立上岗时间，不符合生产技术可持续发展与生产装置更新所需。
1应用计算机仿真技术重要性
化工行业常需要针对部分具体工程设备与工艺流程予以操作，才逐渐深入至岗位操作人员，然后通过培训，培训工作通常结合实物挂图与微缩器具将知识传授出去，传授过程比较枯燥。实物挂图与教具基于实用因素与经济因素，并不选择大尺寸，致使所有培训工作人员详细掌握相关操作与原理。结合3D技术绘制能够让设备形象更趋于逼真化，可做任意旋转，使培训工作人员可实现全方位观察工艺与设备[1]。结合Flash技术制作设备动画有效代替挂图，对设备动态进行演示的时候更为生动形象，帮助相关人员针对设备工作原理予以掌握，能够很好带动培训人员热情。并且，使用设备较为方便，对使用要求可以很好满足。
2基于计算机仿真技术化工数据模型
结合计算机做仿真模拟，是把化工过程数理带入计算机当中，接下来经计算机把工艺过程进行模拟与反映。所有原理基于人为因素转变，可以得到与之匹配反应过程与反应结果变化值。通常情况下它存在下述优势。其一，友好人机交互界面。当前，诸多化工业模拟软件设计规则都以微软公司为基础，使相关工作者能快速上手并投入相关操作中，让相关人员感到轻松便捷，培养浓厚实验兴趣，并充分调动起工作积极性与能动性。其二，对工程装备的性能反应较为真实[2]。要充分分析化工设备反应过程，建立同它相互匹配模型，凭借实验把所有过程全权反映出来，对操作工人熟练快速掌握操作技能非常有利。我们在下述 文章 中列举一个化工工业常会涉及到的一个模型，希望可以供相关操作人员参考。计算机仿真系统具有许多特点，如重复、复杂性和多个，20世纪50年代初，西方国家一直在计算机仿真系统的动态和静态特性进行了研究，并取得了非常重要的影响。仿真系统对我国化工行业也进行了一系列的设计和研究，但也限于静态研究范畴。
3针对电子数字方面的研究
基于计算机仿真系统的特点，可以把它看作是非线性的本质，及其相对高阶的时候，分析 方法 和经典控制理论，计算机模拟在化工系统动态性能研究是非常困难的[3]。本文通过计算机在电子数字计算机系统微积分方程，计算，介绍了结合时域动态性能指标体系，这将最终调整方案出来。第一，系统是稳定的;第二，在数值计算时，系统的输入值等于;第三，在排除干扰因素，把化学工作在正常状态;第四，干扰因素考虑在内的情况下，各种干扰因素也作为单独的个体来处理。本文通过预测校正格式，欧拉方法是迭代微分方程数值积分计算。
4计算机仿真系统的改进方案
当前，化工仿真系统应用范围很广，但由于化工设备操作和较大的工艺流程不同，当前的仿真软件，仿真机器，更好的培训新员工无法满足，因此，未来的新的仿真技术和仿真软件的发展空间仍然是大[4]。未来，应该与自动控制理论相结合，适当参考校正环节能有效地改善系统动态性能的质量，使其有较高的稳定性和抗干扰能力。可以连接到气体的输入端仿真系统的微分和积分负反馈环节，最终会使动态性能大大提高，它相当于系列的介绍和链接。我们计算的结果可以看出，只要相应的参数选择正确获得超出预期的效果。微分和积分部分的结构可以被视为一种天然气供应预感桥，放置在相同的速度管道温度传感器已经变成一座桥两个手臂，表达时间常数很小，时间常数相对较长。仿真系统的输入结构的负面反馈链接到系统具有更好的动态性能。基于基本知识理论，修正的链接对系统控制精度的影响，通过计算结果我们可以看到，只要精心挑选的组件参数，达到理想的效果是指日可待。我们提倡这项计划的最明显的特征是它简单易操作，换句话说，只要其中一个传感器连接到导管，同时本文串并联在同一桥臂上面的。连接到放大器的输入和先进的网络，结合线性系统的自动控制原理做提前修正原则，与放大器的输入电阻和电容组成先进的网络，可以很好的改善系统的动态品质。讨论上述3种改进方案是基于先进的理论为基础，由计算结果可以看到，他们所有的3种基本上可以改善系统的动态品质。第一种和第二种的系统还可以明显改善方案来提高抗干扰能力。和改进项目的这些类是基于现有技术的前提下，没有相对比较容易实现的障碍。当然，想把他们对实际系统的引用，还需要很长一段时间。
5结语
目前，计算机仿真技术生产与培训方面应用比较多，所以，要着重强化对仿真软件与仿真机器开发设计，计算机仿真技术进一步推广，要对该项技术加速深化，让它的应用范围与性能得以提升。计算机仿真技术应用，促进高新技术更进一步发展，促进科学技术加速发展，同一时间为化工行业提供更为广阔发展空间。未来可持续发展当中，化工行业把握计算机仿真技术应用 措施 ，为企业赢得更多收益。
参考文献：
[1]余小花.基于计算机仿真技术的自动化物流系统设计[J].自动化与仪器仪表,2014(12)：66-67+70.
[2]李晶,侯倩倩,田彬.浅谈计算机仿真技术在我国公铁联运物流系统中的应用[J].通讯世界,2014(22)：3-4.
[3]杜静.关于计算机模拟仿真技术在物流自动化系统的相关研究[J].物流工程与管理,2015(1)：97-98.
[4]赵冉,朱西方.仿真技术在高职计算机网络教学中的应用探讨[J].河南科技,2014(1)：282.
《 计算机仿真技术及其应用 》
随着计算机技术的发展和系统科学的全面开发，结合计算机技术、控制技术、图像技术、三维技术等技术的进步，衍生了一门全新的科学技术——计算机仿真技术。计算机仿真技术在近些年不断的发展，而且科学家在众多的领域都联合计算机机仿真技术进行开发，并取得了良好的成果。本文通过对计算机仿真技术的概况进行阐述，探讨计算机仿真技术的应用。
一、计算机仿真技术的定义
计算机仿真技术通过对科研工程人员和系统操作管理人员进行研究，利用计算机多种软件分析、设计、模拟实际环境，进行仿真的科学实验的技术。计算机仿真技术比真实试验更加省时省力，大大节约科研成本。所以计算机仿真技术一经推出，就受到人们极大的喜欢。
二、计算机仿真技术各阶段的发展及未来发展的趋势
计算机仿真技术根据计算机、图形图像、建模、三维、系统等技术的发展可以分为以下四个阶段发展：
(1)模型试验阶段
(2)数字化仿真阶段
(3)图像化仿真阶段
(4)虚拟现实技术阶段计算机仿真技术在这四个阶段里，每个阶段的发展都各种特色及侧重点。如模型试验阶段就是注重试验建模;数字化仿真就是对计算机数字化设计;图像化仿真注重运用图像进行表达设计;虚拟现实技术采用特色设置配备三维技术，是仿真技术更加逼真。随着社会的发展，计算机 网络技术 的进步，结合人们的生活需求，计算机仿真技术越来越趋于人性化。在未来，计算机仿真技术会朝着几个趋势进行发展：分布式、协同式、沉浸式、网络环境式的计算机仿真技术。如分布交互仿真就是运用计算机网络技术把各地分散的仿真实验进行串联起来构建一个网站的仿真实验环境。协同式仿真就是建立配合生产协同作用。沉浸式仿真就是满足纵向信息分享的要求，使得数据更加直观，更便于分析。网络环境式仿真就是建立在虚拟网络的仿真模式，这种就更具有普遍性。这几个计算机仿真技术发展的方向，从纵向和横向都有发展，至于多方位的满足人们多计算机仿真技术的要求，这也加快了计算机仿真技术的推广。
三、计算机仿真的步骤及技术核心
计算机仿真技术研发的步骤可以分为三大步：一是建立数学模型二是数据模型的程序化三是仿真实验。第一步建立数学模型，即是科研这通过多方面的考究分析，建立起一个特定的具有边际的数据模型来进行对象研究。第二步数据模型的程序化，即是对数据模型进行数字化及编程化。第三步仿真实验即是对已经建好的模型，进行仿真式的模拟实验，形成一个系统的仿真模式。经过这三大步奏，便能得到想要的仿真数据。计算机仿真的关键技术有面向对象的仿真、分布交互仿真、智能仿真三个主要关键技术。这三大关键技术，纵横相互关联的，而且是逐层递进的关系。智能化仿真将是未来的发展趋势，更能满足人们的需求。
四、计算机仿真技术的应用
计算机仿真技术由于它的优越性且高性能多样性，越来越被各行各业看好，并应用与实际的生产中。如航空航天、航海、企业生产、地理勘探、交通运输、农业、 教育 、军事国防、还有各项的科研设计等等，都应用了计算机仿真技术。我们可以根据计算机仿真技术使用的功能及范围，把计算机仿真技术的应用分为：系统的研发及理论研究应用、产品研发应用、人才培育应用。
(一)系统的研发及理论研究应用
在开发研究新的项目是，都需要到对各种数据进行分析，而计算机仿真技术就能应用在这些项目的研发中，通过仿真建模，便能对各个系统的研究，还有理论分析，收集各种数据。如：对航空航天技术的研究应用，主要是对火箭、航天飞船等模拟实验，收集需要的数据等。军事军方领域应用，多先进的军事设备、战地环境进行模式实验。()产品研发应用计算机仿真技术应用于企业产品生产或者各种产业研发生产中，比如工业制造行业的仿真，根据企业生产的产品、建立产品模型、测量产品功能、外观是否能满足需求。医学领域的仿真，对医疗设备或者仿真医疗试验。这些技能节约研发成本，节约人力物力。而且还能提高科技人员的整体技能水平。
(三)人才培育及教育应用
计算机仿真在训练和教育领域中的应用可以是多方面的，比如，在学校的实践教学中，可以仿真虚拟的企业见习，丰富了实践教学的内容，提高的效率、节约能源。在如航天员训练等仿真实验，一方面保证安全、而且还减低了成本，达到预期的效果。计算机仿真技术还在进一步的开发中，在未来，计算机仿真技术在更多的领域得到应用。
五、 总结
随着计算机技术、网络技术、系统知识科学、控制技术的再发展，计算机仿真新技术会发展的突飞猛进。而且计算机仿真技术隐藏着巨大的效益，不管对于哪行哪业，未来计算机仿真技术必将达到产业化，这就使得计算机仿真技术在各个领域越来越广泛的应用，为人类的发展，又翻开了一个全新的篇章。
《 汽车理论教学中计算机仿真技术的应用 》
1课程 教学方法 探讨
汽车理论是一门涉及内容较多、理论性很强、综合多个学科的专业课程，不同于其他汽车专业课程那么形象直观，学生普遍反映难以掌握。根据课程教学内容及其特点，选择适用的教学方法是提高教学效果的关键。对于基本概念、工作原理、受力分析图、曲线图、数据表以及一些结论性的知识点，可以采用多媒体中的文字、图表和动画等方法展示，既可达到直观明了的效果，又可提高教学效率。涉及公式推导和受力分析内容的，宜采用传统的黑板板书教学方式。因为传统的黑板推演过程更能容易引导学生进行 逻辑思维 和 抽象思维 ，对得到的结论印象也会更加深刻。对于比较复杂、抽象的教学内容，可以应用计算机仿真平台通过动画视频，以及现场调取模型进行分析等方式辅助教学，将其形象化以提高学生的感性认识，避免了让教师空洞地陈述、学生想象地去理解的局面，从而提高教学效果。对于汽车性能实验，特别是汽车的操纵稳定性和平顺性实验，由于实验条件的限制多数无法开展。而通过应用计算机仿真技术可以设计与实施一些虚拟仿真实验，从而弥补了实验教学内容的不足。汽车理论课程除理论教学和实验教学内容之外，一般还附带课后作业、课外大作业、课堂演讲以及后续汽车理论课程设计等环节，由于课后题目一致、项目任务单一、可用的计算工具也比较局限(常用 Excel 或Matlab)，往往造成大量抄袭，不利于学生能力的培养与公正的评价。可以考虑以项目为驱动将多种计算机仿真技术融入实践教学环节，以加深学生对理论知识的理解，并激发学习和研究的兴趣。在教学过程中，需要根据具体的教学内容选择恰当的教学手段，结合传统教学方法与现代教学方法，使其发挥各自优势才能获得更好的教学效果。
2计算机仿真技术应用方法探讨
在汽车理论教学中，合理应用计算机仿真技术将对课程的教学和学生的学习效果、对后续课程设计与毕业设计，以及对学生工程软件应用能力的培养带来很大的帮助。下面将从如下几点探讨其应用方法：
建立汽车性能仿真分析辅助教学模型库
首先应根据汽车理论教材，结合学生的具体理解情况，合理选择应用点，对某些重点、难点以及不易讲述的地方，考虑能否应用计算机仿真技术进行辅助教学。应用计算机仿真软件建立汽车性能仿真分析实例库与模型库，在课程教学中可以随时调用视频录像与仿真模型，将汽车的一些结构运动、参数调整、性能分析、曲线变化等复杂问题在课堂中进行动态仿真演示。这样老师就可以方便地进行讲解，并给学生提供了直观、形象的过程与结论，学生理解起来会更容易。同时在教学过程中，向学生展示计算机仿真技术在汽车领域的应用，还可激发学生利用相关软件对理论知识进行学习和应用，为后续课外实践、课程设计、毕业设计等环节打下基础。由于课程所涉及的应用点可能较多，所以模型库建设之初，工作量较大，不过这对学校精品课程建设和直接改善课程教学效果来说是十分必要且一劳永逸的。
各种仿真软件在专业教学中的优势
根据不同计算机仿真软件的专业优势，合理应用于汽车理论教学中，使复杂问题的分析变得直观、清晰，并能激发学生的学习兴趣。Matlab软件是进行汽车性能计算的常用工具，具有强大的数值计算和图形功能，可以方便地完成各种汽车性能的计算;同时，利用Matlab的数值计算函数和Simulink模块，可以对汽车理论中复杂的过程进行仿真分析和求解。这些计算和分析的结果都可以通过Matlab提供的可视化手段呈现给学生，有助于清晰地阐释抽象的概念。[4]车辆性能仿真软件CRUISE是一款专门为汽车传动系统匹配而设计的整车性能仿真软件。模块化的建模方式将整车分为发动机、离合器、变速箱、主减速器等汽车模块，同时设有循环行驶工况、爬坡性能分析、稳态行驶性能分析等计算任务，可方便地进行传统汽车、新能源汽车整车动力性、经济性计算与动力装置参数的匹配分析。与Matlab软件不同的是，该软件建模方便，不同的模块参数和计算任务可以详细、方便地进行设置，更加接近汽车实际模型，计算结果也更加精确。该软件在汽车动力传动系统仿真方面具有其他仿真软件无法比拟的专业性和灵活性，在国内外汽车行业应用十分广泛。ADAMS是一款在汽车行业应用较为广泛的机械系统多体动力学仿真软件，其中ADAMS/CAR模块为一款整车设计软件包，它能够快速建造高精度的整车虚拟样机模型，通过高速动画，直观地再现各种虚拟实验工况下整车的动力学响应，大大减少了对物理样机的依赖。在汽车理论教学中，可通过ADAMS/CAR在虚拟环境中实现悬架、转向系统的运动分析，同时还可进行汽车操纵稳定性和平顺性等相关的仿真实验，解决了由于客观条件限制不能进行的实验教学环节。另外，在汽车仿真技术研究领域还有ADVISOR，CarSim/TruckSim等工程软件，凭借自身的优势和特点，应用也较为广泛。计算机仿真技术在项目驱动实践教学模式中的作用目前多数汽车理论教学进行的课后作业、课外大作业和汽车理论课程设计，以Matlab软件应用较为广泛。通过Matlab软件进行编程计算可对汽车的多项性能进行分析，但是应用Matlab使学生过多偏重于公式计算与编程，具有一定的局限性。而且，单一的课题任务往往伴随大量的抄袭，不利于学生独立解决问题与公正的评价。以多类课题项目为驱动将不同计算机仿真软件应用于汽车理论各个实践教学环节，可解决上述问题。[5]实施过程中，需要构建多个贴合汽车实际使用性能的课题项目，并以同类型仿真软件的应用进行分组学习和指导，使学生在项目学习及完成过程中加深对理论知识的理解及实际应用，激发学生实际分析问题、解决问题的能力。
3计算机仿真技术应用实例
软件应用实例
汽车的动力性是汽车各种性能中最基本、最重要的性能。其中，在绘制一下曲线图，如驱动力-行驶阻力平衡图时，以往的教学方法基本是课堂讲授曲线的作图方法，给一个课本已经绘制好的某车型的曲线，然后由曲线分析汽车各档的驱动力的变化。可根据发动机转矩拟合公式、驱动力计算公式、行驶阻力计算公式及车速计算公式，
软件应用实例
利用CRUISE软件模块库，可快速搭建传统汽车及新能源汽车动力传动系统仿真模型，通过设置计算任务，对整车动力性、经济性等进行仿真计算。同时，软件自身也提供了多种汽车模型模板，便于初学者进行学习。图3为软件自身提供的传统后轮驱动汽车(FR)动力传动系统仿真模型，通过设置计算任务，可得到丰富的有关汽车动力性、经济性的文本和图表结果分析文件。为设置UDC循环工况后，计算得到的发动机工作点分布示意图，可对发动机与整车动力装置参数进行匹配分析提供依据。
软件应用实例
在汽车理论教学中，可通过ADAMS/CAR在虚拟环境中实现汽车操纵稳定性和平顺性等相关的仿真实验，解决实际实验条件限制带来的问题。在ADAMS/CAR中用户可以通过模板自行创建模型，也可调用共享数据库中的系统或整车模型进行仿真分析。以汽车操纵稳定性中的单移线实验为例，对某车整车操纵稳定性进行了虚拟仿真。可根据标准设置实验条件，通过仿真计算，将实验结果以动画、曲线图等方式展现。ADAMS/CAR所提供的仿真实验平台，可使学生方便地进行各种有关操纵稳定性、制动性、平顺性虚拟实验，弥补了实验教学内容的不足。
4结束语
将计算机仿真技术应用到汽车理论教学，可以使教学质量得到明显提高。形象、生动的仿真模型分析与演示，既便于老师的讲述，又使学生对理论知识有了深刻的理解，克服了客观实际条件对理论教学的制约，同时也能培养学生对相关软件学习的兴趣与应用能力。当然充分利用多种计算机仿真工程软件的优势来辅助教学，还需要大量的准备工作，但考虑到对教学效果的提高改善与学生理论知识的学习，这将是十分必要。
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哥尼斯堡七桥问题最后是被欧拉解决的
29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。并且发表了论文《关于位置几何问题的解法》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。
在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。
即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。
扩展资料：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书CharlesKleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”
法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。
参考资料来源：百度百科-七桥问题
参考资料来源：百度百科-莱昂哈德·欧拉
数学家欧拉的故事：
18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。
欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。
如他引入了Γ函数和B函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。
他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。
欧拉将数学分析方法用于力学，在力学各个领域中都有突出贡献；他是刚体动力学和流体力学的奠基者，弹性系统销定性理论的开创人。
在1736年出版的两卷集《力学或运动科学的分析解说》中，他考虑了自由质点和受约束质点的运动微分方程及其解。欧拉在书中把力学解释为“运动的科学”，不包括“平衡的科学”即静力学。
参考资料来源：百度百科-莱昂哈德·欧拉
1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。
中英文对照太难了英文的维基百科Leonhard Euler Leonhard Euler (pronounced Oiler; IPA [ˈɔʏlɐ]) (April 15, 1707 – September 18 [. September 7] 1783) was a pioneering Swiss mathematician and physicist, who spent most of his life in Russia and Germany. He published more papers than any other mathematician in history.[1]Euler made important discoveries in fields as diverse as calculus and topology. He also introduced much of the modern mathematical terminology and notation, particularly for mathematical analysis, such as the notion of a mathematical function.[2] He is also renowned for his work in mechanics, optics, and is considered to be the preeminent mathematician of the 18th century and one of the greatest of all time. He is also one of the most prolific; his collected works fill 60–80 quarto volumes.[3] A statement attributed to Pierre-Simon Laplace expresses Euler's influence on mathematics: "Read Euler, read Euler, he is a master for us all".[4]Euler was featured on the sixth series of the Swiss 10-franc banknote[5] and on numerous Swiss, German, and Russian postage stamps. The asteroid 2002 Euler was named in his honor. He is also commemorated by the Lutheran Church on their Calendar of Saints on May [hide]1 Biography Childhood St. Petersburg Berlin Eyesight deterioration Last stage of life 2 Contributions to mathematics Mathematical notation Analysis Number theory Graph theory Applied mathematics Physics and astronomy Logic 3 Philosophy and religious beliefs 4 Selected bibliography 5 See also 6 Notes 7 Further reading 8 External links [edit] Biography[edit] Childhood Swiss 10 Franc banknote honoring Euler, the most successful Swiss mathematician in was born in Basel to Paul Euler, a pastor of the Reformed Church, and Marguerite Brucker, a pastor's daughter. He had two younger sisters named Anna Maria and Maria Magdalena. Soon after the birth of Leonhard, the Eulers moved from Basel to the town of Riehen, where Euler spent most of his childhood. Paul Euler was a family friend of the Bernoullis, and Johann Bernoulli, who was then regarded as Europe's foremost mathematician, would eventually be an important influence on the young Leonhard. His early formal education started in Basel, where he was sent to live with his maternal grandmother. At the age of thirteen he matriculated at the University of Basel, and in 1723, received a masters of philosophy degree with a dissertation that compared the philosophies of Descartes and Newton. At this time, he was receiving Saturday afternoon lessons from Johann Bernoulli, who quickly discovered his new pupil's incredible talent for mathematics.[6]Euler was at this point studying theology, Greek, and Hebrew at his father's urging, in order to become a pastor. Johann Bernoulli intervened, and convinced Paul Euler that Leonhard was destined to become a great mathematician. In 1726, Euler completed his . dissertation on the propagation of sound with the title De Sono[7] and in 1727, he entered the Paris Academy Prize Problem competition, where the problem that year was to find the best way to place the masts on a ship. He won second place, losing only to Pierre Bouguer—a man now known as "the father of naval architecture". Euler, however, would eventually win the coveted annual prize twelve times in his career.[8][edit] St. PetersburgAround this time Johann Bernoulli's two sons, Daniel and Nicolas, were working at the Imperial Russian Academy of Sciences in St Petersburg. In July 1726, Nicolas died of appendicitis after spending a year in Russia, and when Daniel assumed his brother's position in the mathematics/physics division, he recommended that the post in physiology that he had vacated be filled by his friend Euler. In November 1726 Euler eagerly accepted the offer, but delayed making the trip to St Petersburg. In the interim he unsuccessfully applied for a physics professorship at the University of Basel.[9]1957 stamp of the former Soviet Union commemorating the 250th birthday of Euler. The text says: 250 years from the birth of the great mathematician and academician, Leonhard arrived in the Russian capital on May 17, 1727. He was promoted from his junior post in the medical department of the academy to a position in the mathematics department. He lodged with Daniel Bernoulli with whom he often worked in close collaboration. Euler mastered Russian and settled into life in St Petersburg. He also took on an additional job as a medic in the Russian Navy.[10]The Academy at St. Petersburg, established by Peter the Great, was intended to improve education in Russia and to close the scientific gap with Western Europe. As a result, it was made especially attractive to foreign scholars like Euler: the academy possessed ample financial resources and a comprehensive library drawn from the private libraries of Peter himself and of the nobility. Very few students were enrolled in the academy so as to lessen the faculty's teaching burden, and the academy emphasized research and offered to its faculty both the time and the freedom to pursue scientific questions.[8]However, the Academy's benefactress, Catherine I, who had attempted to continue the progressive policies of her late husband, died the day of Euler's arrival. The Russian nobility then gained power upon the ascension of the twelve-year-old Peter II. The nobility were suspicious of the academy's foreign scientists, and thus cut funding and caused numerous other difficulties for Euler and his improved slightly upon the death of Peter II, and Euler swiftly rose through the ranks in the academy and was made professor of physics in 1731. Two years later, Daniel Bernoulli, who was fed up with the censorship and hostility he faced at St. Petersburg, left for Basel. Euler succeeded him as the head of the mathematics department.[11]On January 7, 1734, he married Katharina Gsell, daughter of a painter from the Academy Gymnasium. The young couple bought a house by the Neva River, and had thirteen children, of whom only five survived childhood.[12][edit] Berlin Stamp of the former German Democratic Republic honoring Euler on the 200th anniversary of his death. In the middle, it is showing his polyhedral about continuing turmoil in Russia, Euler debated whether to stay in St. Petersburg or not. Frederick the Great of Prussia offered him a post at the Berlin Academy, which he accepted. He left St. Petersburg on June 19, 1741 and lived twenty-five years in Berlin, where he wrote over 380 articles. In Berlin, he published the two works which he would be most renowned for: the Introductio in analysin infinitorum, a text on functions published in 1748 and the Institutiones calculi differentialis, a work on differential calculus.[13]In addition, Euler was asked to tutor the Princess of Anhalt-Dessau, Frederick's niece. He wrote over 200 letters to her, which were later compiled into a best-selling volume, titled the Letters of Euler on different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess. This work contained Euler's exposition on various subjects pertaining to physics and mathematics, as well as offering valuable insight on Euler's personality and religious beliefs. This book ended up being more widely read than any of his mathematical works, and was published all across Europe and in the United States. The popularity of the Letters testifies to Euler's ability to communicate scientific matters effectively to a lay audience, a rare ability for a dedicated research scientist.[13]Despite Euler's immense contribution to the Academy's prestige, he was eventually forced to leave Berlin. This was caused in part by a personality conflict with Frederick. Frederick came to regard him as unsophisticated especially in comparison to the circle of philosophers the German king brought to the Academy. Voltaire was among those in Frederick's employ, and the Frenchman enjoyed a favored position in the king's social circle. Euler, a simple religious man and a hard worker, was very conventional in his beliefs and tastes. He was in many ways the direct opposite of Voltaire. Euler had very limited training in rhetoric and tended to debate matters that he knew little about, making him a frequent target of Voltaire's wit.[13] Frederick also expressed disappointment with Euler's practical engineering abilities:I wanted to have a water jet in my garden: Euler calculated the force of the wheels necessary to raise the water to a reservoir, from where it should fall back through channels, finally spurting out in Sanssouci. My mill was carried out geometrically and could not raise a mouthful of water closer than fifty paces to the reservoir. Vanity of vanities! Vanity of geometry![14][edit] Eyesight deterioration A 1753 portrait by Emanuel Handmann. This portrayal suggests problems of the right eyelid and that Euler is perhaps suffering from strabismus. The left eye appears healthy, as it was a later cataract that destroyed it.[15]Euler's eyesight worsened throughout his mathematical career. Three years after suffering a near-fatal fever in 1735 he became nearly blind in his right eye, but Euler rather blamed his condition on the painstaking work on cartography he performed for the St. Petersburg Academy. Euler's sight in that eye worsened throughout his stay in Germany, so much so that Frederick referred to him as "Cyclops". Euler later suffered a cataract in his good left eye, rendering him almost totally blind a few weeks after its discovery. Even so, his condition appeared to have little effect on his productivity, as he compensated for it with his mental calculation skills and photographic memory. For example, Euler could repeat the Aeneid of Virgil from beginning to end without hesitation, and for every page in the edition he could indicate which line was the first and which the last.[3][edit] Last stage of life Euler's grave at the Alexander Nevsky situation in Russia had improved greatly since the ascension of Catherine the Great, and in 1766 Euler accepted an invitation to return to the St. Petersburg Academy and spent the rest of his life in Russia. His second stay in the country was marred by tragedy. A 1771 fire in St. Petersburg cost him his home and almost his life. In 1773, he lost his wife of 40 years. Euler would remarry three years September 18, 1783, Euler passed away in St. Petersburg after suffering a brain hemorrhage and was buried in the Alexander Nevsky Laura. His eulogy was written for the French Academy by the French mathematician and philosopher Marquis de Condorcet, and an account of his life, with a list of his works, by Nikolaus von Fuss, Euler's son-in-law and the secretary of the Imperial Academy of St. Petersburg. Condorcet commented,"...il cessa de calculer et de vivre," (he ceased to calculate and to live).[16] [edit] Contributions to mathematicsEuler worked in almost all areas of mathematics: geometry, calculus, trigonometry, algebra, and number theory, not to mention continuum physics, lunar theory and other areas of physics. His importance in the history of mathematics cannot be overstated: if printed, his works, many of which are of fundamental interest, would occupy between 60 and 80 quarto volumes[3] and Euler's name is associated with an impressive number of topics. The 20th century Hungarian mathematician Paul Erdős is perhaps the only other mathematician who could be considered to be as prolific.[edit] Mathematical notationEuler introduced and popularized several notational conventions through his numerous and widely circulated textbooks. Most notably, he introduced the concept of a function[2] and was the first to write f(x) to denote the function f applied to the argument x. He also introduced the modern notation for the trigonometric functions, the letter e for the base of the natural logarithm (now also known as Euler's number), the Greek letter ∑ for summations and the letter i to denote the imaginary unit.[17] The use of the Greek letter π to denote the ratio of a circle's circumference to its diameter was also popularized by Euler, although it did not originate with him.[18] Euler also contributed to the development of the the history of complex numbers system (the notation system of defining negative roots with a + bi).[19][edit] AnalysisThe development of calculus was at the forefront of 18th century mathematical research, and the Bernoullis—family friends of Euler—were responsible for much of the early progress in the field. Thanks to their influence, studying calculus naturally became the major focus of Euler's work. While some of Euler's proofs may not have been acceptable under modern standards of rigour,[20] his ideas led to many great is well known in analysis for his frequent use and development of power series: that is, the expression of functions as sums of infinitely many terms, such asNotably, Euler discovered the power series expansions for e and the inverse tangent function. His daring (and, by modern standards, technically incorrect) use of power series enabled him to solve the famous Basel problem in 1735:[20]A geometric interpretation of Euler's formulaEuler introduced the use of the exponential function and logarithms in analytic proofs. He discovered ways to express various logarithmic functions in terms of power series, and successfully defined logarithms for negative and complex numbers, thus greatly expanding the scope where logarithms could be applied in mathematics.[17] He also defined the exponential function for complex numbers and discovered its relation to the trigonometric functions. For any real number φ, Euler's formula states that the complex exponential function satisfiesA special case of the above formula is known as Euler's identity,called "the most remarkable formula in mathematics" by Richard Feynman, for its single uses of the notions of addition, multiplication, exponentiation, and equality, and the single uses of the important constants 0, 1, e, i, and π.[21]In addition, Euler elaborated the theory of higher transcendental functions by introducing the gamma function and introduced a new method for solving quartic equations. He also found a way to calculate integrals with complex limits, foreshadowing the development of modern complex analysis, and invented the calculus of variations including its most well-known result, the Euler-Lagrange also pioneered the use of analytic methods to solve number theory problems. In doing so, he united two disparate branches of mathematics and introduced a new field of study, analytic number theory. In breaking ground for this new field, Euler created the theory of hypergeometric series, q-series, hyperbolic trigonometric functions and the analytic theory of continued fractions. For example, he proved the infinitude of primes using the divergence of the harmonic series, and used analytic methods to gain some understanding of the way prime numbers are distributed. Euler's work in this area led to the development of the prime number theorem.[22][edit] Number theoryEuler's great interest in number theory can be traced to the influence of his friend in the St. Petersburg Academy, Christian Goldbach. A lot of his early work on number theory was based on the works of Pierre de Fermat. Euler developed some of Fermat's ideas while disproving some of his more outlandish focus of Euler's work was to link the nature of prime distribution with ideas in analysis. He proved that the sum of the reciprocals of the primes diverges. In doing so, he discovered the connection between Riemann zeta function and prime numbers, known as the Euler product formula for the Riemann zeta proved Newton's identities, Fermat's little theorem, Fermat's theorem on sums of two squares, and made distinct contributions to Lagrange's four-square theorem. He also invented the totient function φ(n) which assigns to a positive integer n the number of positive integers less than n and coprime to n. Using properties of this function he was able to generalize Fermat's little theorem to what would become known as Euler's theorem. He further contributed significantly to the understanding of perfect numbers, which had fascinated mathematicians since Euclid. Euler made progress toward the prime number theorem and conjectured the law of quadratic reciprocity. The two concepts are regarded as the fundamental theorems of number theory, and his ideas paved the way for Carl Friedrich Gauss.[23][edit] Graph theorySee also: Seven Bridges of Königsberg Map of Königsberg in Euler's time showing the actual layout of the seven bridges, highlighting the river Pregel and the 1736, Euler solved a problem known as the Seven Bridges of Königsberg.[24] The city of Königsberg, Prussia (now Kaliningrad, Russia) is set on the Pregel River, and included two large islands which were connected to each other and the mainland by seven bridges. The question is whether it is possible to walk with a route that crosses each bridge exactly once, and return to the starting point. It is not; and therefore not an Eulerian circuit. This solution is considered to be the first theorem of graph theory and planar graph theory.[24] Euler also introduced the notion now known as the Euler characteristic of a space and a formula relating the number of edges, vertices, and faces of a convex polyhedron with this constant. The study and generalization of this formula, specifically by Cauchy[25] and L'Huillier,[26] is at the origin of topology.[edit] Applied mathematicsSome of Euler's greatest successes were in using analytic methods to solve real world problems, describing numerous applications of Bernoulli's numbers, Fourier series, Venn diagrams, Euler numbers, e and π constants, continued fractions and integrals. He integrated Leibniz's differential calculus with Newton's method of fluxions, and developed tools that made it easier to apply calculus to physical problems. He made great strides in improving the numerical approximation of integrals, inventing what are now known as the Euler approximations. The most notable of these approximations are Euler's method and the Euler-Maclaurin formula. He also facilitated the use of differential equations, in particular introducing the Euler-Mascheroni constant:One of Euler's more unusual interests was the application of mathematical ideas in music. In 1739 he wrote the Tentamen novae theoriae musicae, hoping to eventually integrate musical theory as part of mathematics. This part of his work, however, did not receive wide attention and was once described as too mathematical for musicians and too musical for mathematicians.[27][edit] Physics and astronomyEuler helped develop the Euler-Bernoulli beam equation, which became a cornerstone of engineering. Aside from successfully applying his analytic tools to problems in classical mechanics, Euler also applied these techniques to celestial problems. His work in astronomy was recognized by a number of Paris Academy Prizes over the course of his career. His accomplishments include determining with great accuracy the orbits of comets and other celestial bodies, understanding the nature of comets, and calculating the parallax of the sun. His calculations also contributed to the development of accurate longitude tables.[28]In addition, Euler made important contributions in optics. He disagreed with Newton's corpuscular theory of light in the Opticks, which was th
看多点书就OK了
贫困未尝不是一种财富，翻开华夏千年史卷，不乏身在贫寒中成就一番大事的人，被后人赞为“唐宋八大家”之一的欧阳修在“四岁而孤，家贫无资”的环境下，“昼夜忘寝食，惟读书是务”，他的经历，告诉我们成功是不看出身的，要看的，只是一个“勤”字.以上是为论点。以下可以展开论述贫困中的勤学例子，可分三段：一勤奋可以补“拙”。详论凿壁偷光、借书而读的事；二贫困中的成功需要“认真”二字，万事怕认真，要咬定青山不放松，钻出个所以然来、如居里夫人；三、身在寒门，更要挺起头做人；从意志方面论述，要加强自信，培养正确的人生观。希望祈祷点抛砖引玉的效果^_^祝妙笔生花！
这个你不会？？。。。。
概括文章的内容，抓住以下几个要点：(1)把握论文的要素，以写事为主的应明确写什么事，写人为主的应明确写什么样的人。(2)把握关键性语句，揣摩作者为什么要写这些人，事。(3)分析层与层之间的关系，理清文章脉络，然后概括。
我觉得先一个大范围概括再知集中一个人的辉煌成就来突出会好点。本人比较喜欢达芬奇，因为他的作品给我一中神秘感，希望能帮到你。 （概括） 首先，是人的发现。在中世纪，理想的人应该是自卑、消极、无所作为的，人在世界上的意义不足称道。文艺复兴发现了人和人的伟大，肯定了人的价值和创造力，提出人要获得解放，个性应该自由。(1)重视人的价值，要求发挥人的聪明才智及创造性潜力，反对消极的无所作为的人生态度，提倡积极冒险精神。(2)重视现世生活，藐视关于来世或天堂的虚无飘渺的神话，因而追求物质幸福及肉欲上的满足，反对宗教禁欲主义。在文学艺术上要求表达人的感情，反对虚伪和矫揉造作。如：彼特拉克的《歌集》，薄伽丘的《十日谈》。(3)重视科学实验，反对先验论；强调运用人的理智，反对盲从；要求发展个性，反对禁锢人性；在道德观念上要求放纵，反对自我克制；提倡“公民道德”，认为事业成功及发家致富是道德行为。(4)提倡乐观主义的人生态度。这些不可抑制的求知欲和追根究底的探求精神，为创造现世的幸福而奋斗的乐观进取精神，把人们从中世纪基督教神学的桎梏下解放出来，资产阶级正是在这种精神的指引下创造近代资本主义世界的。 其次，文艺复兴打破了宗教神秘主义一统天下的局面，有力地推动和影响了宗教改革运动，并为这个运动提供了重要的助力。文艺复兴提倡重视现世生活，反对权威，在当代人中间唤起了对天主教会及神学的怀疑和反感。文艺复兴中的人文主义者通过文学、艺术等形式讽刺、揭露天主教会的腐败和丑恶。 第三，文艺复兴打破了以神学为核心的经院哲学统一的局面，为以后的思想解放进步扫清了道路，使各种世俗哲学兴起。其中有英国的经验论唯物主义(培根)。它也推动了政治学说的发展，马基雅维利为后来启蒙运动奠定了基础，霍布斯、洛克等一大批思想家，发展起“自然权利”、 “社会契约”、“人民主权”以及“三权分立”等理论。 第四，否定了封建特权。在中世纪，封建特权是天经地义，门第观念根深蒂固。文艺复兴则使这些东西在衡量人的天平上丧失了过去的重量。人的高贵被赋予新的内涵。彼特拉克说：“真正的贵族并非天生，而是自为的。”在当时意大利的社会生活中，才干、手段和金钱代替了出身门第，成为任何出身的人爬上社会高层的阶梯。 第五，破除迷信，解放思想。文艺复兴恢复了理性、尊严和思索的价值。虽然文艺复兴在哲学上成就不大，但是它摧毁了僵化死板的经院哲学体系，提倡科学方法和科学实验，提出“知识就是力量”，开创了探索人和现实世界的新风气。人们坚信自己的眼睛和自己的头脑，相信实验和经验才是可靠的知识来源。这种求实态度、思维方式和科学方法为17到19世纪的自然科学的大发展打下了坚实的基础。 第六，文艺复兴时期创造出大量富有魅力的精湛的艺术品及文学杰作，成为人类艺术宝库中无价的瑰宝。中世纪，圣经传说充斥艺坛，窒息了艺术的生命。文艺复兴则不但把圣母变成人间妇女(拉斐尔)，把图像化为对人体的歌颂，而且开始了日常生活和现实人的直接描写。解剖、透视等科学也第一次结合于艺术。西欧近代现实主义艺术从此发端。 这场广泛持久的思想文化运动，在意识形态领域中，冲破了封建专制和宗教神学思想对人的束缚，解放了人的思想，为资本主义的发展创造了必要的思想文化前提。 （细化） 达芬奇 (Leonardo Da Vinci 1452-1519)作为文艺复兴时期作卓越的代表人物，他的成就和贡献是多方面的。达芬奇出生在佛罗伦萨附近的一个小镇——芬奇镇。他是一位天才，他一面热心于艺术创作和理论研究，他研究如何用线条与立体造型去表现形体的各种问题；另一方面他也同时研究自然科学。达芬奇是意大利文艺复兴时期最伟大最著名的巨匠，他不仅是一位天才的画家，并且是大数学家、科学家、力学家和工程师，是一位多才多艺、全面发展的人。他有着多方面的才能，对人类作出过多方面的贡献。他不仅会画画，雕塑，建筑房屋，还会发明武器，设计过世界上第一个飞行机、他又是一个医学家、音乐家和戏剧家，而且在物理学、地理学和植物学等其它科学的研究上也很有成就。他道德高尚，举止温雅，且体格健壮，力量过人，据说他一只手就能轻易地折断马蹄铁。他左右手都会写字、作画，他用左手写的字是反向的，人们只有在镜子里才能看懂。 “这是世界美术史上最美的一只右手；这副脸庞，只要见过一次，就永远离不开我们的记忆。”（《蒙娜丽莎》）“这是人类绘画的极品，这幅画的巨大成功致使以后的画家没人敢再涉足这个题材。”（《最后的晚餐》）“这是画家62岁时的自画像，寥寥数笔，就为后人留下了素描艺术史上的典范之作。”（《达芬奇自画像》） 在同时代的人看来，达芬奇就像一位充满传奇色彩的魔术师，有万能天才的美誉。在现代人眼中，令人惊异的是，他仅用十二幅完整的作品就奠定了最伟大的画家的地位。 人们一般认为，艺术不是科学。但是按照达芬奇的界定，艺术，尤其绘画，不但是一种科学，甚至是“所有科学之后”。 达芬奇既能发现事物表面迷人的美感，又不丧失物理学者与解剖学者的视角。他同时具有科学家的观察力与艺术家的表现力，是艺术史上第一位对人体和动物的比例做过系统研究的艺术家。他研究解剖长达40年之久，还亲自解剖了三十几具各种年龄的尸体。他不但熟悉人体外部的比例，而且了解人体的内部构造，因此笔下人物的比例、结构、动态都十分准确，无懈可击。这幅著名的人体解剖素描把完美的人体造型包含在一个圆形和正方形中，被认为是最成功的设想。 达芬奇对几何比例与构图十分着迷。《蒙娜丽莎》除了那永恒的神秘微笑外，还创造性地解决了半身肖像的构图问题。三个多世纪以来，西方那些卓越的半身像无一不受这幅画的影响。他还丰富和发展了前人的金字塔型构图，《岩间圣母》中群像以圣母的头部为顶点，形成的等腰三角形，如金字塔般稳定而和谐。与其他作品一样，《最后的晚餐》以几何图形为基础设计画面，体现出数学的对称美。有人评价这幅画是科学与艺术成了婚，而哲学又在这种完美的结合上留下了亲吻。 达芬奇最大的艺术贡献是运用明暗法使平的画面呈现出空间感和立体感。在文艺复兴初期，画家一般都用线条来表现透视，单线平涂，色彩较单调。而达芬奇研究光影学，首创明暗渐进法，用光线和阴影的技巧来描绘人物、景致，使之呈现逼真的立体感。一直到印象派出现的几百年内，无人能够逾越达芬奇建立的三度空间绘画体系。由他首创的明暗法使这一时期的绘画为之一变，艺术史家普遍认为它是绘画艺术的一个转折点。他的艺术成就直接影响了后来的米开朗其罗、拉斐尔等艺术大师。从《最后的晚餐》起，西方绘画才真正进入了文艺复兴的鼎盛时期。 达芬奇画的人物像 达芬奇还进一步归纳整理了解剖、透视、明暗和构图等零碎的技法知识，并从科学的角度进行审视。在他的《论绘画》手稿中，最初是想记录下对物理世界客观描述，但不久就转而注意到透视、比例、几何与光学，之后是解剖学与机械学，最后则是探索宇宙本身的机械功能问题。《论绘画》是后人从达芬奇十八本笔记中抽取出来编撰而成的，有人称它是整个艺术史上最珍贵的文献。 尽管有的时候，对科学的兴趣浓厚到使他不愿提笔作画，但绘画毕竟是他最初的事业。达芬奇就像研究别的学问一样，努力把绘画当成一种科学，终其一生都在孜孜不倦的探索中。在同时代的人看来，达·芬奇就像一位充满传奇色彩的魔术师，有万能天才的美誉。在现代人眼中，令人惊异的是，他仅用十二幅完整的作品就奠定了最伟大的画家的地位。 人们一般认为，艺术不是科学。但是按照达芬奇的界定，艺术，尤其绘画，不但是一种科学，甚至是“所有科学之后”。 达芬奇既能发现事物表面迷人的美感，又不丧失物理学者与解剖学者的视角。他同时具有科学家的观察力与艺术家的表现力，是艺术史上第一位对人体和动物的比例做过系统研究的艺术家。他研究解剖长达40年之久，还亲自解剖了三十几具各种年龄的尸体。他不但熟悉人体外部的比例，而且了解人体的内部构造，因此笔下人物的比例、结构、动态都十分准确，无懈可击。这幅著名的人体解剖素描把完美的人体造型包含在一个圆形和正方形中，被认为是最成功的设想。 达芬奇对几何比例与构图十分着迷。《蒙娜丽莎》除了那永恒的神秘微笑外，还创造性地解决了半身肖像的构图问题。三个多世纪以来，西方那些卓越的半身像无一不受这幅画的影响。他还丰富和发展了前人的金字塔型构图，《岩间圣母》中群像以圣母的头部为顶点，形成的等腰三角形，如金字塔般稳定而和谐。与其他作品一样，《最后的晚餐》以几何图形为基础设计画面，体现出数学的对称美。有人评价这幅画是科学与艺术成了婚，而哲学又在这种完美的结合上留下了亲吻。 达芬奇最大的艺术贡献是运用明暗法使平的画面呈现出空间感和立体感。在文艺复兴初期，画家一般都用线条来表现透视，单线平涂，色彩较单调。而达·芬奇研究光影学，首创明暗渐进法，用光线和阴影的技巧来描绘人物、景致，使之呈现逼真的立体感。一直到印象派出现的几百年内，无人能够逾越达·芬奇建立的三度空间绘画体系。由他首创的明暗法使这一时期的绘画为之一变，艺术史家普遍认为它是绘画艺术的一个转折点。他的艺术成就直接影响了后来的米开朗其罗、拉斐尔等艺术大师。从《最后的晚餐》起，西方绘画才真正进入了文艺复兴的鼎盛时期。 达芬奇还进一步归纳整理了解剖、透视、明暗和构图等零碎的技法知识，并从科学的角度进行审视。在他的《论绘画》手稿中，最初是想记录下对物理世界客观描述，但不久就转而注意到透视、比例、几何与光学，之后是解剖学与机械学，最后则是探索宇宙本身的机械功能问题。《论绘画》是后人从达芬奇十八本笔记中抽取出来编撰而成的，有人称它是整个艺术史上最珍贵的文献。 尽管有的时候，对科学的兴趣浓厚到使他不愿提笔作画，但绘画毕竟是他最初的事业。达芬奇就像研究别的学问一样，努力把绘画当成一种科学，终其一生都在孜孜不倦的探索中。 二、“宁愿在探索中失败” 《岩间圣母》 他已经画出了一幅足以同《最后的晚餐》相媲美的巨型壁画，但最后关头却因为一个低级错误毁于一旦。 他盼望着像鸟儿一样扇动起飞翔的翅膀，但片刻间就摔碎了飞行的梦想。他要雕塑世界上最大的前蹄腾空的铜马雕像，但由于浇铸方面的困难两年后不得不将其改成步行的姿势。 被恩格斯称为文艺复兴时期“巨人中的巨人”的达芬奇，在人类知识的诸多领域都取得了非凡的成就。同时伴随着他的，也有鲜为人知的辛酸、磨难与失败。但是，他宁肯在探索中失败，也不愿无所用心，安然享乐生活。他一生都在实践着这种人生哲学。 在绘制可以与《最后的晚餐》相媲美的巨型壁画《安加利之战》时，他亲手研制新型颜料和外层涂油。壁画已经气势磅礴、栩栩如生地站在墙上，但墙上的涂料却迟迟不干，他有些迫不及待地想试验自己配制的外层涂油，于是让助手抬来两个大火盆放在壁画下烘烤，结果油料被烤化了。他用两个火盆把八个月的辛劳毁于一旦。 在壁画变成五颜六色的小溪淌下来后不久，他又满不在乎地开始了飞行试验。51岁的达芬奇就像一个狂热的少年，把自制的巨鸟搬到山顶。年轻的学徒抓住巨鸟的木架向山下飞去，可没多远就跌落下来。这个飞行器是靠手臂与双腿的肌肉来驾驶的，不过他忽略了人体自身所无法克服的重量问题：鸟类用于飞行的肌肉要占全身重量的二分之一，而人却仅有五分之一。但是，如果对他飞行探索的失败过于苛求，就等于在责备用风筝引来闪电的富兰克林为什么没能发明电灯。当时，教会思想主宰着世人的一切观念。比如几乎所有人都相信地球是平的，而接近赤道的海洋一定热得像烧开的水。 他曾被任命为宫廷建筑师，雕塑世界上最大的骑士青铜雕像，设计中马的前蹄要腾空跃起。他用蜡像模型试验了无数次，工棚地上堆起十几厘米厚的残肢碎片。最困难的是，必须将重达10吨的金属溶液快速注入铸模中，同时还要考虑到不均匀的冷却问题。当时的技术条件显然无法支持这种设想。两年的期限到了，他无法使马站立起来，最后只好改成步行的姿势。在他死后100年，西班牙人继续尝试这一技法，才建立起一座马上骑士的纪念碑。 异想天开的灵感能让他抓住别人抓不住的东西，可他又常常半途而废。也许是为了追逐永远在飞的思想，他不得不时常停下手头的工作。当时羊毛纺织业在意大利很发达，而纺织作坊里最容易磨损的是织布针。他在笔记本上画满了各种磨针的机器，经过反复比较，终于确定了最理想的一种。但是他随即产生了织布机的设想，于是又沉浸在织布机和滚珠轴承机的发明设计中。遗憾的是，这些设计图只是躺在了草稿纸上，最终没有变成机器，而他又转向了其它研究。 达芬奇的大多数著作和手稿都没有发表，直到他逝世后多年才被人们发现。科学史学家丹皮尔这样评论道：“如果他当初发表他的著作的话，科学本来一定会一下就跳到一百年以后的局面的。” 旷世奇才达芬奇为后人留下了充满智慧的财富。他那具有先知灼见的才华和永不满足的探索精神，在几个世纪之后看来，仍然令人叹为观止。 三、“阻碍我的只是时间不够” 达芬奇画的人物像 他怀有神灵般漫无边际的梦想，却只拥有凡人的生命和力量；他设想过千百个计划，但只完成了少数几个；他最大的抱负是发现一切、研究一切、创造一切，然而只有那些线条、色彩组成的艺术为他带来永恒的赞誉。 达芬奇的生命是一条没有走完的道路，路上洒满了未完成作品的零章碎页。他说：“我不曾被贪欲或懒散所阻挠，阻挠我的只是时间不够。”他想做工程师、军事家、音乐家、数学家、哲学家、建筑师，但世人认为他只是一名画出了永恒微笑的画家。 达芬奇曾以军事工程师、建筑师、画家、雕刻家和音乐师的身份为米兰公爵工作了十七年之久。他当时是最受欢迎的宫廷司仪官，负责组织宫廷节日庆典，独自担当了相当于中央电视台春节晚会的总导演、主持人、编剧、作曲、服装设计师和舞美设计师等多种角色。 从留给后人的十二幅绘画作品和七千多页手稿、设计图可见，达芬奇对科学的兴趣要比对绘画大得多。他在科学研究上的成就决不亚于他的艺术成就。 在天文学方面，他观察天体，曾作出“太阳是不动的”结论，早在哥白尼之前就否定了地球中心说，并幻想过如何去利用太阳能。他认为月亮本身并不发光，只能反射太阳的光辉。 在物理学方面，他发现了液体压力，提出了连通器设想，还发展了杠杆原理，推导出作用力与臂长的关系。他关于物体惯性的描述后来为伽利略的实验所证明。他还否定了制造“永动机”的可能性。 达芬奇对解剖学和生理学十分着迷。他研究解剖最初是为了让艺术造型更加准确，后来却发展成了一个独立的科学研究领域。他在解剖学上的最大贡献是创造了一套图解，这种样式至今仍被广泛应用着。他最先采用蜡来表现人脑的内部结构，是设想采用玻璃和陶瓷制作心脏和眼睛的第一人，他甚至绘制过婴儿在母体中的发育图。达芬奇研究过心脏和血液循环系统，发现心脏有四个腔，并画出了心脏瓣膜，这是有史以来第一幅有关动脉硬化的解剖图。 达芬奇的研究和发明还涉及到军事和机械领域，他设计了飞行机械、直升机、降落伞、机枪、坦克、潜水艇、双层船壳战舰、起重机、纺车、机床、冲床、自行车等等。他在数学和水利工程领域等方面也作出过重大贡献。 达芬奇还是一位杰出的思想家。他坚信科学，常常流露出对宗教的怀疑和厌倦。他曾写道：真理只有一个，它不是在宗教之中，而是在科学之中。他提出以自然造化为师，鼓励人们向大自然学习。他认为认识起源于实践，知识的获得是依靠直接的观察和经验。他的实验工作方法经伽利略从实践上加以发展，后来由英国哲学家培根从理论上予以总结，成为近代自然科学最基本的研究方法。为伽利略、开普勒、牛顿等人的发明创造开辟了道路。 艺术史家曾评论说：只有一个达芬奇走在时代之前，他是包罗万象、精湛无比的天才，永不满足的孤独的探险家；他的思索的触角远远超越了他的时代，有的竟然能够和我们的时代会合。 后人对达芬奇研究想法的实践 之所以说是对达芬奇“研究想法”的实践，是因为在其所处的年代，达芬奇的研究只能体停留在“想法”阶段，没办法前进到“成果”阶段。但他的一些想法已被现代人成功的实现了。 一、达芬奇“设计”降落伞 英一男子成功仿制 南非报章28日报道，一名英国男子使用按照15世纪发明家达芬奇设计草图制造的降落伞，在空中下降2120米的高度，证明这款金字塔形的降落装置运作良好。降落伞在空中缓慢飘落，直至900米高度，他割断与降落伞的联系，用现代降落伞完成着陆的动作。他表示，虽然使用15世纪发明家设计的降落装置可以安全降落，但他无法操作它来准确选择着陆点。 达芬奇1485年设计的降落伞草图，过去从未有人照此做出实物，因为专家怀疑它的可行性。降落伞由油布、绳索和6根1米长的木棍组成，重量达到180公斤。 二、挪威建成达芬奇设计的桥 10月31日，在北欧的寒风细雨中，挪威王后和500多名各界来宾为一座造型独特的大桥剪彩。直升机在人们头顶盘旋，起重机缓缓掀起了足有万平方英尺的白布，一座100米长、8米高的木桥展现在大家面前，三个浅色的木拱如同三只被射手用力向后拉的硬弓，牢牢地支撑着桥身。令人难以置信的是，这座桥的设计者竟是500年前的达芬奇。也正因如此，桥被命名为“蒙娜丽莎”。 1502年，达芬奇为土耳其横跨两大洲的伊斯坦布尔市绘制了一幅美妙绝伦的拱形桥设计草图。该桥长346米，横跨博斯普鲁斯海峡，如果能建成，它将成为当时世界上最长的桥。但土耳其苏丹却拒绝建造此桥，他认为该工程难度太大、造价太高。于是，这座桥在图纸上呆了500年。 1995年，挪威艺术家韦比约恩·桑德因一次偶然的机遇见到了这张设计草图。他回忆说：“我第一次见到她，就被她精美的造型征服了。她是功能与审美的完美结合。”桑德通过种种努力，终于使挪威公路管理局相信，达芬奇设计该桥的原理完全成立，这座桥是可以被造出来的。经过一翻考察，建桥地点被确定为挪威首都奥斯陆以南30多公里的奥斯，正好毗邻从斯德哥尔摩到奥斯陆的欧洲18号公路。 目前落成的这座步行桥，共耗资136万美元，除扶手使用了不锈钢之外，完全采用木料建造。其实，达芬奇当年的设计是用石头作材料，但是挪威人觉得石头太贵了，所以将建桥的材料改为木料。 据悉，这是达芬奇的建筑设计首次被付诸实施，这个设计在美学和设计学上都是经典的范例。桑德自豪地说：“5个世纪前，人们认为这座桥不可能建起来，但我们把它建起来了。我们成功地证明了达芬奇设计该桥的原理是可行的。”桑德说他还有一个梦想，“我们要在全世界推广这种桥，让每个大陆都架起‘蒙娜丽沙桥’”。 其实达芬奇的想法被现代人实现的远不止以上两个，还有很多，譬如前面提到的飞机、直升飞机、潜艇、纺车、自行车等。这些设想加在一起充分反映了达芬奇的思想超越了他所处的时代，似乎时代局限性对他的思想不起作用一样。我觉得这一点才是达芬奇最值得人们回味的地方。 这一张是具有经典意义的画 达芬奇认为艺术 ， 不仅仅是一门手艺， 当然他的手艺在当时也是无与伦比的， 更是一门科学！以古希腊文明渊源的西方文艺复兴画家 无不博学多才多艺 达芬奇还发明了一系列的军事玩意 现在看来还是非常的有意思 还有象飞碟一样的飞行器 就象他自己所说 绘画只是自己的很小一部分的才能而已 米还是一个诗人 建筑师 雕塑家 兼画家。 他亲手解剖过数具尸4体 当然在当时一个基督教的权利 很牛的时期 是冒着很大的风险的 是不允许的 解剖了一定的动物 并列出其中的关系！ 达是一个贵族有着一定的经济基础 这为当时的他开展艺术研究提供了必要的前提条件 可以不估计生计，他和贝多芬 凡高 一样终生未婚，这些条件都是一定的前提 并且 达思考问题很有一套 很安静一个一个的来（参看绘画论 一部分已经遗失） 对自己画很在意（不能听他说绘画只是自己一部分的才能）蒙娜里莎画了 4年 ！ 很有探索精神 尝试做不同材料的绘画！
跨文化交际的毕业论文
一段忙碌又充实的大学生活要即将结束，大学毕业前都要通过最后的毕业论文，毕业论文是一种比较重要的检验学生学习成果的形式，毕业论文我们应该怎么写呢？下面是我收集整理的跨文化交际的毕业论文，欢迎大家分享。
摘要：
跨文化交际是指不同国家不同文化背景的人们之间的交流，文化差异对跨文化交际有多方面影响，本文从思维与表达方式的差异、非语言交际差异、传统文化的差异、价值观念的差异等四个方面 ，分析产生交流障碍的原因，指出了了解中外文化差异对避免跨文化交际的失误，较少国际交流中的误解，促进中外文化的交流具有重要的作用。
关键词： 文化差异；跨文化交际
跨文化交际涉及交际和文化两个概念。从一定意义上说交际即文化在交际过程中文化得以形成。而文化是一个包罗万象的概念，概括地讲，文化即是人们所思、所言、所为、所觉的总和。跨文化交际即不同文化背景的人们（信息发出者和信息接受者）之间的交际，不同的民族创造了自己特有的文化，也被自己的文化所塑造”。所以，对于来自不同文化本经的人们走到一起，交际必然会出现故障，及时有效的克服这些交际障碍是跨文化交际取得成功的关键。这对促进国际间的文化、政治、经济交流有着及其重要的意义。笔者从思维与表达方式的差异、非语言交际差异、传统文化的差异、价值观念的差异等四个方面来分析产生交流障碍的原因，从而提高跨文化交际能力。
一、 思维与表达差异对交流的影响
思维方式的差异首先造成的就是语言表达方式的不同。在信息编排上，中国人习惯于形象思维，在文章中，为了使文章鲜明、生动、形象，经常使用华丽的词藻、大量的形容词和丰富的比喻。然而对于西方人来讲，由于感情基础的差异，阅读习惯的不同，华丽的词藻一般只能减少传播的清晰性和效果，甚至被视为空话冗词和夸大宣传。根据西方的写作风格，在英语写作中，西方人比较注重逻辑的紧密和事实的陈述，习惯于低调陈述，而不习惯于用词强烈。
思维方式是沟通文化与语言的桥梁。在思维方式的差异上，中西文化思维方式最显著的特点就是中国人含蓄委婉，思维方式具有意会性，而西方人则很直接，属于直观性。中西方在写信的表达方式上就有不同。西方人在表达这自己的意愿时比较直接，开门见山的将自己的所要求写在最前面，后面才会讲一些寒暄的客套话。而中国人则会很含蓄委婉的提要求，一般到信的末尾才是真正要谈的问题，前面都是寒暄。不同的写法反映不同的思维方式。中国人初次见面就喜欢问对方的年龄，婚姻，收入状况以表示关心，而西方人对此就比较反感，他们认为这些是个人隐私，他人无权过问。如果问西方女士“How old areyou？”她们很可能会回答“It’s a secret！”西方人希望自己在别人眼中年轻而富有朝气，希望自己保持年轻的心态，所以不喜欢提及实际的年龄。再如中国人交谈中常遇到的“你去哪儿？”“你在干什么？”在英语中就成为刺探别人隐私的审问，冒昧而不受欢迎。
二、 非语言交际差异
非语言交际差异是指一切不使用语言进行的交际活动统称之为非语言交际（Non—verbal communication），其中包括眼神、手势、身势、微笑、面部表情、服装打扮、沉默、身体的接触、讲话人之间的'距离、说话的音量、时间观念、对空间的使用等等。一般而言，南欧地区的国家如意大利、西班牙、希腊等国的手势运用频繁且夸张；中西欧的国家如德国、英国、荷兰等次之；而远在北方的北欧诸国则又次之，因为他们几乎不会使用手势来表达任何讯息。
三、 传统文化的差异
历史上，中国是世界上最古老的国家之一，有5000年的悠久而厚重的历史，创造了无数的灿烂文明，在这种文化蕴藏中，使中国的饮食更加博大精深。随着时间的流逝以及辽阔国土的地域差异，四大菜系逐渐形成，四大菜系自成体系，各有特点，但共同点是用料复杂考究，制作方法复杂，口味、菜式多种多样，令人惊叹。
由于中西哲学思想的不同，西方人于饮食重科学。重科学即讲求营养。故西方饮食以营养为最高准则，进食犹如为一生物的机器添加燃料，特别讲求食物的营养成分，蛋白质、脂肪、碳水化合物、维生素及各类无机元素的含量是否搭配合宜，热量的供给是否恰到好处以及这些营养成分是否能为进食者充分吸收，有无其他副作用。这些问题都是烹调中的大学问，而菜肴的色、香、味如何，则是次一等的要求。即或在西方首屈一指的饮食大国――法国，其饮食文化虽然在很多方面与我们近似，但一接触到营养问题，双方便拉开了距离。
西方人在介绍自己国家的饮食特点时，觉得比中国更重视营养的合理搭配，有较为发达的食品工业，如罐头、快餐等，虽口味千篇一律，但节省时间，且营养良好。故他们国家的人身体普遍比中国人健壮：高个、长腿、宽大的肩、发达的肌肉；而中国人则显得身材瘦小、肩窄腿短、色黄质弱。有人根据中西方饮食对象的明显差异这一特点，把中国人称为植物性格，西方人称为动物性格。
四、 价值观念的差异
价值观是指一个人对周围的客观事物（包括人、事、物）的意义、重要性的总评价和总看法。一方面表现为价值取向、价值追求，凝结为一定的价值目标；另一方面表现为价值尺度和准则，成为人们判断价值事物有无价值及价值大小的评价标准。
中国历史悠久，包括长达两千多年的封建统治，这种意识直接影响着现代人价值观的形成。现代中国人依然较顺从权威，尊重长辈，重视个人的身份，强调安分守己。相比之下，早在17世纪，英国的资产阶级就推翻了封建统治建立了资本主义社会，工业革命大幅度提高了人们的物质生活水平，还彻底解放了人们的思想。资本主义的民主思想也逐渐遍及整个西方社会。西方人崇尚个体，向往自由平等。这种历史环境的不同使中西方的个体意识产生了很大的差异。
西方文化价值观的主流是为自我满足而奋斗的精神。西方文化张扬个性，强调维护个人利益，注重独立自主发挥个人潜力，强化个人权利意识。个人主义是一切行为的准则，自我实现是人生的最高需求和目的，独立是实现自我的最有效手段，人权神圣不可侵犯，是实现自我的保障。中国主流文化价值观是和合精神。中华民族自古就注重和谐。在人与自然的关系上，崇尚天人合一，人与自然和谐相处；在人与人的关系上，强调以和为贵，与人为善；在国家之间的关系上，主张亲仁善邻，协和万邦。中华民族是一个爱好和平、与人为善的民族。
不同文化背景里成长起来的人们，其价值观理应有所不同，各有其长处。在科技迅猛发展的今天，为使中国走向繁荣、富强、走向世界，我们必须引进西方先进的文化观念，摒弃其糟泊，吸取西方的平等、竞争、效率、个性解放等精神和意识，摒弃其拜金主义，物欲主义以及过分自我等意识。随着现在全球一体化的进程和中国在世界的崛起，认识和掌握中西方的跨文化价值观差异对避免和解决交际中的冲突以及促进民族间的融合有着相当重大的意义。
从上述文化差异对跨文化交际所产生的种种影响来看，文化因素是造成跨文化交流障碍的主要原因。诸多文化因素对跨文化交际具有一定的干扰和制约等负作用。因而，学习外语离不开对其文化的学习和研究，只有彻底解决因文化差异产生的种种交流障碍，跨文化交际才能成功。这是提高人们跨文化交际能力的一条根本有效途径。
如果你是自己毕业用最好自己写。
课题来源主要是写你导师课题的内容，国家级课题，973，国家自然基金课题等，或者是省局级课题，注明方面就可以，还要写上课题名称，即你导师课题的名称。
第一次数学危机编辑简介从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。引起不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击，换句话说，如果希帕索斯发现的无理数真的存在，那么古希腊的数学理论体系就完全崩溃了。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。危机产物古典逻辑与欧氏几何学亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的，他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念，把定义与存在区分，由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外，定义必须用已存在的定义过的东西来定义，所以必定有些最原始的定义，如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。亚里士多德还指出公理的必要性，因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究，得出三段论法，并把它表达成一个公理系统，这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科，而且对数学证明的发展也有良好的影响。亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的“无穷大”和实在的“无穷大”加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的。欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出，欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识，构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义，五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评，比如对于点、线、面的定义是不严格的：“点是没有部分的对象”，“线是没有宽度的长度(线指曲线)”，“面是只有长度和宽度的对象”。显然，这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。另外，他的公理五是“整体大于部分”，没有涉及无穷量的问题。在他的证明中，原来的公理也不够用，须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此，近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。诞生非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出，也就是说，平行公设可能是多余的。之后的二千多年，许许多多人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其他的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。首先，要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事，并且这种不可能性是可以加以证实的；其次，要选取与平行公设相矛盾的其他公设，也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头，但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。这个过程是漫长的，其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学，尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何，也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型；德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。3第二次数学危机编辑简介早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。这造成数与量的长期脱离。古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。当然他们无法解决这些矛盾。希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。新问题到了十六、十七世纪，除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外，还产生了许多新问题，如求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用范围的广泛性，微积分成为了解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt当Δt趋向于零时的值。Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，因此有些人就对这些基础问题的讨论不感兴趣。如达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是繁琐。但也正是因此，微积分的基础问题一直受到一些人的批判和攻击，其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击。建立基础十八世纪的数学思想的确是不严密的、直观的、强调形式的计算，而不管基础的可靠与否，其中特别是：没有清楚的无穷小概念，因此导数、微分、积分等概念不清楚；对无穷大的概念也不清楚；发散级数求和的任意性；符号使用的不严格性；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及可否展成幂级数等等。一直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的ε - δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。十九世纪七十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。同时，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。4第三次数学危机编辑简介经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道：“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。产生集合论悖论的原因在于集合的辨证性与数学方法的形式特性或者形而上学的思维方法的矛盾。如产生罗素悖论的原因，就在于概括原则造集的任意性与生成集合的客观规则的非任意性之间的矛盾。再次产物数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（1881—1966）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。为了排除集合论悖论，罗素提出了类型论，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，后经弗伦克尔加以修改和补充，得到常用的策梅罗——弗伦克尔集合论公理体系，以后又经伯奈斯和哥德尔进一步改进和简化，得到伯奈斯——哥德尔集合论公理体系。希尔伯特还建立了元数学。作为对集合论悖论研究的直接成果是哥德尔不完全性定理。美国杰出数学家哥德尔于20世纪30年代提出了不完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里程碑。美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。参考来源：望采纳~~~
数学悖论与三次数学危机陈基耿摘要：数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1]。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机第一次数学危机的内容公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2]。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3]，也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2=b2+c2，a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为1，并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数之比。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素，于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。第一次数学危机的影响毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5]，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。2贝克莱悖论与第二次数学危机第二次数学危机的内容公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n，然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1，最后，扔掉其中含有无穷小量△x的项，即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1。对于牛顿对导数求导过程的论述，哲学家贝克莱很快发现了其中的问题，他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y，说明△x不等于零，而后又扔掉含有△x的项，则又说明△x等于零，这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”，他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”。[8]这就是著名的“贝克莱悖论”。确实，这种在同一问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为0，有时又异于0的做法，不得不让人怀疑。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。第二次数学危机的影响[8]第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x，为了克服由此引起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。微积分内在的根本矛盾，就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小，从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量，则可认为它保持不变。而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0为极限的变量，沿用到今，无穷小被极限代替了。后来外尔斯特拉斯又把它明确化，给出了极限的严格定义，建立了极限理论，这样就使微积分建立在极限基础之上了。极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，从而结束了二百多年的纷乱争论局面，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。3罗素悖论与第三次数学危机第三次数学危机的内容在前两次数学危机解决后不到30年即19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布[9]：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B。这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论。之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论[10]。理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子。那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？。如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子。同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子。这就是历史上著名的罗素悖论。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。第三次数学危机的影响罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑。罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决。罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道[11]：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”可见第三次数学危机使人们面临多么尴尬的境地。然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要代表的逻辑主义学派[12]，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统）[5]，在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理。ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。尽管悖论消除了，但数学的确定性却在一步一步丧失，现代公理集合论一大堆公理是在很难说孰真孰假，可是又不能把它们一古脑消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的，所以第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续[7]。为了消除第三次数学危机，数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等。可以说第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”。4结语历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一。第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使集合论成为一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性。数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们便不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单是给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了，又产生新的悖论和危机。但是人的认识是发展的，悖论或危机迟早都能获得解决。“产生悖论和危机，然后努力解决它们，而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。参考文献：[1] 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