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音乐论文的参考文献有幼儿音乐教育中的创造力培养浅析、实践哲学范式下的我国中小学音乐教育思考、中小学音乐教育现状的调查与分析、以创造为核心的兼容的音乐教育哲学观等。 扩展资料 音乐论文的参考文献有幼儿音乐教育中的.创造力培养浅析、实践哲学范式下的我国中小学音乐教育思考、中小学音乐教育现状的调查与分析、以创造为核心的兼容的音乐教育哲学观等。
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在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。 线性方程组与“方程术” 中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组： 3x+2y+z＝39 2x+3y+z＝34 x+2y+3z＝26 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x?y?z的系数和常数项排列成一个(长)方阵： 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。 高次多项式方程与“正负开方术” 《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。 用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程 f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1) 其中a0≠0，an<0,要求(1)式的一个正根。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得 f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0 按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程: f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2) 于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。 如果从原方程(1)的系数a0,a1，…,an及估值c求出新方程(2)的系数a0,a1，…,an的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”， 他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。 多元高次方程组与“四元术” 绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。 多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。 通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。 一次同余方程组与“中国剩余定理” 中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如： X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1) (其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”： X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7) 《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。 插值法与“招差术” 插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。 朱世杰的公式相当于 f(n)=n△+ n(n?1)△2+ n(n?1)(n?2)△3 + n(n?1)(n?2)(n?3)△4+…… 这是一项很突出的成就。 这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W. 霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E. 别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。 负数的引进 《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。 对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数。 无理数的发现 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。 十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。 贾宪三角或杨辉三角 从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以?c+h?n的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”?1654年?。 走向符号代数 解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。 符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰?。 2 中国古代数学对世界数学发展的贡献 数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。 从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果?6?。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。 现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题： 任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。 因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程： 演绎传统——定理证明活动 算法传统——算法创造活动 中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。 我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”?一种长方锥体?体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献?3?。 3 古为今用，创新发展 到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。 计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计算机科学家就呼吁人们关注古代中国和印度的算法?5?。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。 然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。 研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。
黄金分割 对于“黄金分割”大家应该都不陌生吧!由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。也许，在科学艺术上的表现我们已了解了很多，但是，你有没有听说过，还与炮火连天、硝烟弥漫、血肉横飞的惨烈、残酷的战场也有着不解之缘，在军事上也显示出它巨大而神秘的力量？一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与紧紧地联系在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。古希腊帕提侬神庙是举世闻名的完美建筑，它的高和宽的比是。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、美丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、漂亮．连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目．有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是0——90°，对其进行黄金分割，则°——°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。多去观察生活,你就会发现生活中奇妙的数学!数字中国有一个成语——“顾名思义”。很多事物都能顾名思义，但是也有例外。比如，阿拉伯数字。很多人一听到阿拉伯数字，就会认为是阿拉伯人发明的。但事实证明，不是。 阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。0是国际上通用的数码。这种数字的创制并非阿拉伯人，但也不能抹掉阿拉伯人的功劳。其实，阿拉伯数字最初出自印度人之手，是他们的祖先在生产实践中逐步创造出来的。 公元前3000年，印度河流域居民的数字就已经比较进步，并采用了十进位制的计算法。到吠陀时代（公元前1400－公元前543年），雅利安人已意识到数码在生产活动和日常生活中的作用，创造了一些简单的、不完全的数字。公元前3世纪，印度出现了整套的数字，但各地的写法不一，其中典型的是婆罗门式，它的独到之处就是从1～9每个数都有专用符号，现代数字就是从它们中脱胎而来的。当时，“0”还没有出现。到了笈多时代（300－500年）才有了“0”，叫“舜若”（shunya），表示方式是一个黑点“●”，后来衍变成“0”。这样，一套完整的数字便产生了。这就是古代印度人民对世界文化的巨大贡献。 印度数字首先传到斯里兰卡、缅甸、柬埔寨等国。7－8世纪，随着地跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国的崛起，阿拉伯人如饥似渴地吸取古希腊、罗马、印度等国的先进文化，大量翻译其科学著作。771年，印度天文学家、旅行家毛卡访问阿拉伯帝国阿拨斯王朝（750－1258年）的首都巴格达，将随身携带的一部印度天文学著作《西德罕塔》献给了当时的哈里发曼苏尔（757－775），曼苏尔令翻译成阿拉伯文，取名为《信德欣德》。此书中有大量的数字，因此称“印度数字”，原意即为“从印度来的”。 阿拉伯数学家花拉子密（约780－850）和海伯什等首先接受了印度数字，并在天文表中运用。他们放弃了自己的28个字母，在实践中加以修改完善，并毫无保留地把它介绍给西方。9世纪初，花拉子密发表《印度计数算法》，阐述了印度数字及应用方法。 印度数字取代了冗长笨拙的罗马数字，在欧洲传播，遭到一些基督教徒的反对，但实践证明优于罗马数字。1202年意大利雷俄那多所发行的《计算之书》，标志着欧洲使用印度数字的开始。该书共15章，开章说：“印度九个数字是：‘9、8、7、6、5、4、3、2、1’，用这九个数字及阿拉伯人称作sifr（零）的记号‘0’，任何数都可以表示出来。” 14世纪时中国的印刷术传到欧洲，更加速了印度数字在欧洲的推广应用，逐渐为欧洲人所采用。 西方人接受了经阿拉伯人传来的印度数字，但忘却了其创始祖，称之为阿拉伯数字。数学很有用学数学就是为了能在实际生活中应用，数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。 我曾看见过这样的一个报道：一个教授问一群外国学生：“12点到1点之间，分针和时针会重合几次？”那些学生都从手腕上拿下手表，开始拨表针；而这位教授在给中国学生讲到同样一个问题时，学生们就会套用数学公式来计算。评论说，由此可见，中国学生的数学知识都是从书本上搬到脑子中，不能灵活运用，很少想到在实际生活中学习、掌握数学知识。 从这以后，我开始有意识的把数学和日常生活联系起来。有一次，妈妈烙饼，锅里能放两张饼。我就想，这不是一个数学问题吗？烙一张饼用两分钟，烙正、反面各用一分钟，锅里最多同时放两张饼，那么烙三张饼最多用几分钟呢？我想了想，得出结论：要用3分钟：先把第一、第二张饼同时放进锅内，1分钟后，取出第二张饼，放入第三张饼，把第一张饼翻面；再烙1分钟，这样第一张饼就好了，取出来。然后放第二张饼的反面，同时把第三张饼翻过来，这样3分钟就全部搞定。 我把这个想法告诉了妈妈，她说，实际上不会这么巧，总得有一些误差，不过算法是正确的。看来，我们必须学以致用，才能更好的让数学服务于我们的生活。 数学就应该在生活中学习。有人说，现在书本上的知识都和实际联系不大。这说明他们的知识迁移能力还没有得到充分的锻炼。正因为学了不能够很好的理解、运用于日常生活中，才使得很多人对数学不重视。希望同学们到生活中学数学，在生活中用数学，数学与生活密不可分，学深了，学透了，自然会发现，其实数学很有用处。各门科学的数学化 数学究竟是什么呢？我们说，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学．它在现代生活和现代生产中的应用非常广泛，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具． 同其他科学一样，数学有着它的过去、现在和未来．我们认识它的过去，就是为了了解它的现在和未来．近代数学的发展异常迅速，近30多年来，数学新的理论已经超过了18、19世纪的理论的总和．预计未来的数学成就每“翻一番”要不了10年．所以在认识了数学的过去以后，大致领略一下数学的现在和未来，是很有好处的． 现代数学发展的一个明显趋势，就是各门科学都在经历着数学化的过程． 例如物理学，人们早就知道它与数学密不可分．在高等学校里，数学系的学生要学普通物理，物理系的学生要学高等数学，这也是尽人皆知的事实了． 又如化学，要用数学来定量研究化学反应．把参加反应的物质的浓度、温度等作为变量，用方程表示它们的变化规律，通过方程的“稳定解”来研究化学反应．这里不仅要应用基础数学，而且要应用“前沿上的”、“发展中的”数学． 再如生物学方面，要研究心脏跳动、血液循环、脉搏等周期性的运动．这种运动可以用方程组表示出来，通过寻求方程组的“周期解”，研究这种解的出现和保持，来掌握上述生物界的现象．这说明近年来生物学已经从定性研究发展到定量研究，也是要应用“发展中的”数学．这使得生物学获得了重大的成就． 谈到人口学，只用加减乘除是不够的．我们谈到人口增长，常说每年出生率多少，死亡率多少，那么是否从出生率减去死亡率，就是每年的人口增长率呢？不是的．事实上，人是不断地出生的，出生的多少又跟原来的基数有关系；死亡也是这样．这种情况在现代数学中叫做“动态”的，它不能只用简单的加减乘除来处理，而要用复杂的“微分方程”来描述．研究这样的问题，离不开方程、数据、函数曲线、计算机等，最后才能说清楚每家只生一个孩子如何，只生两个孩子又如何等等． 还有水利方面，要考虑海上风暴、水源污染、港口设计等，也是用方程描述这些问题再把数据放进计算机，求出它们的解来，然后与实际观察的结果对比验证，进而为实际服务．这里要用到很高深的数学． 谈到考试，同学们往往认为这是用来检查学生的学习质量的．其实考试手段（口试、笔试等等）以及试卷本身也是有质量高低之分的．现代的教育统计学、教育测量学，就是通过效度、难度、区分度、信度等数量指标来检测考试的质量．只有质量合格的考试才能有效地检测学生的学习质量． 至于文艺、体育，也无一不用到数学．我们从中央电视台的文艺大奖赛节目中看到，给一位演员计分时，往往先“去掉一个最高分”，再“去掉一个最低分”．然后就剩下的分数计算平均分，作为这位演员的得分．从统计学来说，“最高分”、“最低分”的可信度最低，因此把它们去掉．这一切都包含着数学道理． 我国著名的数学家关肇直先生说：“数学的发明创造有种种，我认为至少有三种：一种是解决了经典的难题，这是一种很了不起的工作；一种是提出新概念、新方法、新理论，其实在历史上起更大作用的、历史上著名的正是这种人；还有一种就是把原来的理论用在崭新的领域，这是从应用的角度有一个很大的发明创造．”我们在这里所说的，正是第三种发明创造．“这里繁花似锦，美不胜收，把数学和其他各门科学发展成综合科学的前程无限灿烂．” 正如华罗庚先生在1959年5月所说的，近100年来，数学发展突飞猛进，我们可以毫不夸张地用“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学”来概括数学的广泛应用．可以预见，科学越进步，应用数学的范围也就越大．一切科学研究在原则上都可以用数学来解决有关的问题．可以断言：只有现在还不会应用数学的部门，却绝对找不到原则上不能应用数学的领域．关于“0”0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。
1 中国古代数学的发展 在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。 线性方程组与“方程术” 中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组： 3x+2y+z＝39 2x+3y+z＝34 x+2y+3z＝26 《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x�y�z的系数和常数项排列成一个(长)方阵： 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。 高次多项式方程与“正负开方术” 《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。 用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程 f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1) 其中a0≠0，an<0,要求(1)式的一个正根。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得 f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0 按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程: f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2) 于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。 如果从原方程(1)的系数a0,a1，…,an及估值c求出新方程(2)的系数a0,a1，…,an的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”， 他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。 多元高次方程组与“四元术” 绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。 多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。 通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学著作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。 一次同余方程组与“中国剩余定理” 中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如： X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1) (其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的著名的“孙子问题”： X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7) 《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。 插值法与“招差术” 插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。 朱世杰的公式相当于 f(n)=n△+ n(n�1)△2+ n(n�1)(n�2)△3 + n(n�1)(n�2)(n�3)△4+…… 这是一项很突出的成就。 这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W. 霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E. 别朱等人的著作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。 负数的引进 《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。 对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的著作还回避负数。 无理数的发现 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。 十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。 贾宪三角或杨辉三角 从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以�c+hn的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部著作。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”�1654年。 走向符号代数 解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列。在宋元时期的数学著作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。 符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰�。 2 中国古代数学对世界数学发展的贡献 数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。 从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果�6�。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。 现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原著，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学著作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学著作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题： 任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。 因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程： 演绎传统——定理证明活动 算法传统——算法创造活动 中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。 我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”�一种长方锥体体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献�3�。 3 古为今用，创新发展 到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。 计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，著名的计算机科学家就呼吁人们关注古代中国和印度的算法�5�。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过著名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文著作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如著名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。 然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。 研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。
参考文献是文章或著作等写作过程中参考过的文献。
因参考文献的著录格式各刊不尽相同，投稿前作者应注意杂志稿约的有关规定，至少得先看看有关期刊发表的论文的参考文献是如何标注的，以了解有关期刊的参考文献的著录格式，以免出错。许多作者投递的稿件书写格式包括参考文献的著录格式与杂志所要求的不同。
坦率地讲，编辑和审稿专家也是人，工作中多少也有感情因素。如果拿到手中的是一篇书写格式不合要求的文章，别的暂且不论，就书写格式不规范这一条，就足以给编辑留下不好的印象，甚至让编辑做出退稿的决定。
就算最后没有被退稿，此类稿件较书写格式规范的稿件被录用的可能性大大降低。其实作者犯的是一个很低级的错误，让编辑很自然地联想到，该作者不太尊重期刊，还有期刊的编辑以及审稿专家。
因此，作者在投稿前一定要注意期刊参考文献的著录方式，以免产生不必要的负面影响。其实，并不复杂，只要稍稍留意即可。
在写作音乐论文过程中，正确地标注以及合理地引用参考文献不仅关系到音乐论文的质量 ，也在一定程度上反映了作者的学术态度。下文是我给大家带来的关于音乐论文的参考文献的内容，欢迎大家阅读参考!
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提供一些《我国房地产市场的发展趋势和经营取向》毕业论文的参考文献，供写作参考。[1] 成蹊. 当前房地产形势判断和2009年市场趋势分析[J]. 住宅产业, 2009,(01) . [2] 孟昭莉. 中国房地产市场分析报告[J]. 中国中小企业, 2009,(01) . [3] 朱中一. 当前的房地产市场形势及发展趋势[J]. 中国房地信息, 2008,(12) . [4] 张宏. 美国次贷危机下的中国房地产市场发展趋势[J]. 合作经济与科技, 2009,(03) . [5]次贷危机对中国房地产市场的启示[J]. 中国建材资讯, 2009,(01) . [6] 易宪容. 当前国内房地产市场形势分析与对策[J]. 理论前沿, 2009,(03) . [7] 张金娟. 我国房地产市场的问题及未来发展探讨[J]. 当代经济, 2009,(04) . [8] 肖元真,夏惠干. 2009年,房地产业持续发展的政策环境和对策[J]. 上海房地, 2009,(01) . [9] 正直. 房市降价可回春——对房地产市场购销现状及房价发展趋势的分析[J]. 价格与市场, 2009,(01) . [10] 冯国亮. 绿色地产：房地产业可持续发展的必由之路[J]. 住宅产业, 2009,(01) .
房地产论文主要参考文献
在个人成长的多个环节中，大家都写过论文，肯定对各类论文都很熟悉吧，论文对于所有教育工作者，对于人类整体认识的提高有着重要的意义。怎么写论文才能避免踩雷呢？下面是我精心整理的房地产论文主要参考文献，仅供参考，欢迎大家阅读！
主要参考文献(研究综述:作者,题目,杂志,卷号,页码)
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【拓展内容】
房地产论文范文
摘要： 在房地产行业如火如荼的发展当中房地产行业的竞争也越来越激烈。因此房地产企业如何通过有效的营销手段和策略来保证房地产企业的生存和发展就显得十分重要，因为房地产企业的营销手段和策略与房地产企业市场核心竞争力有着直接的关系。基于此，文章就房地产企业在营销当中存在的问题以及目前的营销现状进行了分析，通过分析提出了切实可行的营销创新策略，以期为我国房地产企业更好的发展提供有价值参考。
关键词： 新形势；房地产营销；策略创新
1、房地产市场营销概述
房地产是一种财产和权力，从物质形态上来讲指的是土地和房屋，房地产不仅属于客观存在的一种物质形态，其财产和权力也在法律范畴。房地产业还是一种独立的产业兼具生产和服务的功能，涵盖开发、建设、经营、租赁以及和房地产有关的中介等服务内容。房地产业的开发宗旨是创造经济价值为目的的，其经济活动领域也较为广泛包括土地开发利用、地产经营、房屋开发建设、房屋经营、房地产中介服务、房屋物业管理、房地产金融以及在此基础上形成的房地产市场。虽然房地产是一种商品，但是房地产这种较为特殊的商品是以土地为基础的，不仅有着较为明显的土地固有特性，还具有承受性、不可移动性、差别性以及不可灭性。营销战略是为房地产企业实现特定的营销目标、保证企业健康稳定发展而设计的行动纲领和总体的目标规划。通过战略规划，合理配置企业资源，使企业的营销活动在可接受的风险限度内，与市场营销环境所提供的各种机会取得动态平衡。随着房地产行业与市场营销的充分结合，房地产市场营销在商品经济发展的推动下逐渐成为了引领房地产经济发展的必然导向。从房地产市场营销的定义来讲，房地产市场营销过程实际上就是房地产企业实现经营目标和获取经济利益的过程。房地产企业在进行市场营销时主要是根据消费者的实际需求和潜在意愿，来向消费者提供办公、居住场所以及与场所有关的服务的。房地产市场营销并不是简单的推销而是一种全程营销其营销活动将会贯穿整个房地产的开发过程。另外房地产营销的目的是完成销售任务其活动中心是实现商品的最终交换。
2、新形势下的房地产营销问题
产品定位不合理
房地产企业在销售过程当中虽然采取用了很多的促销手段和推出了很多的优惠政策，但是产品消化速度仍不尽如人意，并没有激起广大消费者的购买热情。造成这一问题的主要原因是房地产企业在产品市场营销进行前并没有充分的对市场进行摸底和考察，导致产品存在着一定的瑕疵不能紧跟市场需求的变化，从而造成了楼盘销售滞后的情况。以产品定位例；开发商在产品设计阶段，并没有对消费关心的项目布局、景观和楼层等因素给予充分的重视，而是一味的强调楼盘的形象和理念，较高的产品定位不仅没有契合消费者的需求反而导致了房屋定位的虚高和面积的大而不实，因此虚高的产品定位也就造成了房地产企业在市场竞争当中很难稳固自身的地位和位置。特别是随着房价的日高不下，人们在购房上更加的理性，如果产品长时间的积压得不到释放，势必会对空置房带来很大的影响，进而阻碍房地产企业在市场当中健康长远的发展。
品牌意识不强
随着房地产市场的日益成熟和广大消费者的理性消费意识的增强，提升产品品牌竞争力也就成为了房地产企业在发展当中必须要考虑的问题。品牌不仅是产品“精神价值”的体现，而且还能让消费者在购房当中对产品产生认同感，从而主动去为产品买单。但是在我国房地产市场当中真正在做品牌的企业却很少仅仅只占到1%。很多企业并不能保证企业的品牌价值有足够的核心竞争力，而是依托前期成功项目的品牌优势，大肆的推加产品的数量，并没有把产品的质量搞上去，进而造成了消费者的流失和产品的失信。
营销模式落后
我国房地产企业营销模式较为传统其营销模式并没有紧跟时代发展的脚步，仅仅依靠广告轰炸式营销策略不仅不能达到最终的宣传效果和目的相反到削弱了企业在市场当中的竞争力。一些房地产企业为了在市场上扩大营销不惜在广告上花费巨额的投入甚至是打政策的擦边球，虽然提高了消费者的关注度但是消费者考察后并不买账，定位虚高的广告营销手段甚至还引起了消费者强烈的不满情绪。造成这种现象的主要原因是房地产企业在营销前并没有对市场进行充分的考察，其制定的营销策略不仅不能够与消费者和市场形成有效的需求关系，同时也阻碍了消费者产生购买的意愿，进而造成产品的成交量出现严重下降。所以，房地产企业只有打破传统营销模式的束缚，不断优化营销模式才能占据市场的主导地位才能得到健康长远的发展。
3、房地产企业营销创新策略
注重市场定位
市场调研是房地产企业的营销活动顺利进行的保证。如果房地产企业不注重营销前的市场调研工作，企业在市场销售过程当中就得需要耗费大量的精力来填补这项空白，进而影响企业在销售当中效果和目标。所以，房地产企业做好市场营销前的市场调研工作十分重要，房地产企业只有做好营销前的市场调研工作企业才能在市场营销当中占据主导地位，才能提升企业的知名度和品牌影响力。
创新营销理念
房地产营销和其他企业的产品营销有着本质上的不同，因为房屋建筑与人们的人身财产安全息息相关，所以在房地产营销当中房屋建筑的质量问题才是广大业主关心的重点。对此，房地产企业在制定创新营销策略时，一定要严格把控房产的质量，确保房产质量符合规范标准和要求。传统房地产营销模式之所以没能取得实质性进展，主要是房产企业管理层在营销过程当中太过注重价格，并没有按照市场发展规律充分考虑业主的真实需求和想法，这种过于注重价格的营销模式虽然可以短时间内获取一定的利益但是很难实现利益的长远。所以房地产企业的决策层应从传统营销理念当中解放出来，转变思维，通过对营销策略的创新，把价格营销转变为质量营销，契合广大消费者的实际需求，从而用高质量、高品质的产品来满足消费者的意愿和获取更广阔的市场。
树立品牌意识
房地产企业在制定营销方案时除了要以市场为导向外还要充分结合市场的实际需求。因为，营销的落地点是在市场上，所以房地产企业的相关营销人员在方案制定前一定要对房地产市场的供需结构进行深入的分析和研究，避免房地产企业在市场营销当中出现方向模糊和目标不明确的问题。首先，是要对市场的基础情况进行考察，以便于为后续建设各类房屋提供重要依据；其次，方案制定应以客户需求为基准。只有了解和掌握了客户的实际需求房屋的规划和建设才能让客户满意才能得到客户的认可。所以，作为房地产企业的`决策层，企业在制定市场营销方案时应以企业的品牌效益为重，按照市场供需关系和周期变化，科学合理的制定出短期、中期、长期的营销计划，通过营销方案的合理规划为房地产企业打造出一个品牌过硬，形象良好的知名企业。
创新营销模式
虽然我国房地产行业的发展已经取得非常大的成绩，但和发达国家相比我国房地产行业仍旧存在很多的问题，尤其是在营销模式的创新方面，我国房地产的营销模式仍旧很单一和过于传统，单一和传统的营销模式不仅严重的制约了我国房地产市场的发展同时也影响了我国房地产企业在市场当中的创新能力。在传统营销模式当中房地产企业的社会知名度和市场影响力主要是通过产品宣传、推广和直销的形式取得的。但是传统营销模式的单一性和落后性导致大部分房地产企业不仅没有实现预期的目标而且还造成了企业市场竞争力的下降，严重威胁到了房地产企业的生存和发展。随着我国经济的快速发展和科学技术的不断进步，计算机技术、信息技术已经网络技术的应用不仅为我国房地产企业营销策略的制定提供了重要的技术支持，而且通过互联网平台的还能进一步扩大和加强房地产在产品宣传上的范围和力度，为房地产企业营销创新打下了坚实的基础。另外，在信息技术的支持下房地产企业还可以自行开发企业的专属网站，这样企业就可以利用自己的专业化的操作平台，定期的将房产信息发布到企业的网站上，客户通过网站进行选房、购房等一系列活动不仅节约了时间也提高了房地产交易的效率，企业也从中获得知名度和影响力。总之，随着互联网、信息时代的到来我国房地产企业在制定营销策略的理念上一定要与时俱进，紧跟时代脚步，不断优化营销手段，在满足企业发展和创新需求的同时，通过营销创新为企业带来更多的经济效益和社会效益。
4、结束语
综上所述，随着我国房地产产业调控的常态化，房地产企业要想在机会和挑战面前获取更多的发展空间，就必须要把企业的营销策划创新放在企业发展的首位。营销策略有利于使房地产企业营销活动有整体的规划和统一的安排，有利于提高房地产企业对资源的利用效率，能够增强企业营销活动及其他活动的稳定性，既是房地产企业参与市场竞争的有力武器，也是企业职工参与管理的重要途径。因此，制定正确的营销策略，是房地产企业制胜的重要法宝，对于企业的发展意义重大。
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建筑参考文献
文献意思为有历史意义或研究价值的图书、期刊、典章。下面我为大家带来建筑参考文献，希望大家喜欢!
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浅谈小学音乐教学有效化论文
无论是在学习还是在工作中，大家一定都接触过论文吧，论文是进行各个学术领域研究和描述学术研究成果的一种说理文章。你知道论文怎样写才规范吗？下面是我为大家整理的浅谈小学音乐教学有效化论文，仅供参考，大家一起来看看吧。
【摘要】 提高音乐教学的有效性，在较少的课时之内，让学生的音乐素养获得更明显的进步，这是每一位音乐教师都用心探究的重要课题。在提高小学音乐教学有效性的问题上，小学音乐教师要立足学生和学校的实际，创新教学方法，积极开展教学改革活动，同时要不断提高自身的教育专业素养。
【关键词】 小学音乐;有效性;因材施教
作为音乐教师，要清楚地认识到，有效性的不断提升，也是提高音乐教学学科地位的重要途径。同时，更重要的是从素质教育的角度来看，音乐素养是学生综合素质当中不可或缺的重要方面。要提高音乐课堂教学的有效性，实际上也是为了给学生减负，给学生未来人生的发展提供更多可以选择的机会。因此，如何提高小学音乐教学的有效性呢，笔者认为，主要可以从以下几个方面来开展。
一、教师要重视备课工作，将备课环节做扎实，做牢固
通过在小学音乐备课环节，投入更多的精力，教师就可以将教学设计有机渗透到整个教学环节中去，让学生可以通过教师的精心设计和安排，在有限的时间内，得到更多音乐素养的熏陶。音乐这门学科与人们的日常生活联系非常密切，所以在备课的过程中，要注重联系生活实际。同时，在备课环节中要注意把对音乐教材的研究心得跟课堂教学具体的目标有机结合起来，严格按照分层教学与分类指导等相关教学原则，结合不同的学生之间存在的不同的知识经验以及不同的个性，在备课的时候，教师要根据具体的教学内容将课程的设计做到科学化条理化。教材是备课的主要依据，所以，教师一定要吃透教材，充分理解教材的基本思想，在教材的提示下进行教学改革。备课的过程中，也要参考以往的教学经验，将以前教学中好的经验，融入到新的课程当中，也要避免以往出现的问题。
二、小学音乐教学要充分联系学生实际，开展分层的因材施教
学生的音乐素养是不同的，为了真正照顾到所有的学生，让学生们在音乐课堂上都能学有所获，教师要注重开展分层次的教学活动。小学生由于家庭的成长环境各不相同，有不少学生家庭比较重视学生的音乐培养，经常给学生一定的辅导，有的从小就已经在家买了钢琴，并请专业老师进行辅导，有的对音乐从小就有天赋，在幼儿园就有了一定的基础。另外，还有很多的学生在音乐方面没有什么基础，他们接受能力比较弱，基本的乐理知识也非常缺乏，在音乐的课堂上，他们的信心也相对不足，所以在这样学生水平层次不齐的情况下，教师既要照顾到全体，又要照顾到个人。例如，学习舒伯特的《摇篮曲》，对于基础一般的学生，让学生听音乐的旋律，培养学生的音乐美感；对于基础较好的学生，他们可能早就练习过这首音乐，就可以引导他们根据自己的理解分析这首音乐的主题，培养他们的审美能力，从中培养学生的英语综合素养，也帮助基础薄弱的学生尽快追赶上来。
三、优化小学音乐课堂教学目标，在目标的指导下，高效开展课堂教学活动
教学目标是对整个教学活动的具体指导，所以目标一定要明确，而且要考虑到学生的接受能力做到目标明确，可行性强。在以往的教学中，音乐教师经常会感到，教学目标，如果处理的不够清晰，在教学环节中，就容易因完不成目标而感到慌乱，也容易出现目标早已达成，而课堂时间还有很多冗余的情况。传统的教学目标设定是以知识传授为中心，以解决若干个知识点为教学的具体目标，然而这样的教学目标忽视了学生的自身感受，这样的传统目标设定，让学生处在被动接受的地位他们甚至会对音乐课堂的.兴趣逐渐降低，所以，音乐教学目标要真正从学生的实际处罚给学生创造温馨和谐的音乐学习环境，让学生对音乐课堂保持持久的兴趣，让他们主动的进行音乐的学习。
四、在应用课堂上，要采用生动有趣的语言与学生进行交流，提高课堂教学的有效性
教师在课堂上要通过语言和表情动作等与学生进行交流，如果提前能够精心设计自己的语言，用更加丰富，生动有趣的语言与学生进行沟通，学生在课堂上就会感到更加快乐，他们对这门学科的兴趣自然也会提高。语言的趣味化生动化，是可以通过训练获得的，最主要的是教师要在平时多下功夫。要帮助学生用更加通俗的语言去理解音乐的基础乐理知识。要从学生的用语习惯角度，多用一些学生经常使用的习惯用语，拉近与学生的距离。要通过语言的暗示作用，提高学生在音乐课堂学习中的信心。也要通过语言的幽默化特点，让学生在音乐课堂上受到更多人文智慧的熏陶。在音乐教学中，经常需要学生自主练习，在学生练习的过程中，教师要注意去了解学生练习的情况，主动与他们交流。对学生的情况了解越多，就越能够为学生设计更加有效的课堂。
总之，小学音乐课堂教学中，教师要提高其有效性，就要重视备课环节，也要重视课上与学生进行互动交流的环节，要从多个角度进行教学创新，从学生的实际出发，设计具体的教学理念和目标，充实教学内容，提高学生的参与热情。
参考文献：
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随着新课程 教育 理念的提出,在教育教学中提出的要求也越来越高,音乐教育在教育教学中的作用不仅仅是为了让学生掌握相应的基础知识和技能技巧,更为重要的是能够提升自身的审美能力。下文是我为大家搜集整理的关于音乐教育学论文参考文献的内容，欢迎大家阅读参考!音乐教育学论文参考文献(一) [1] 付娜. 儿童 二胡启蒙教材的比较研究[D]. 河南大学 2014 [2] 王扬扬. 唐代教坊考述[D]. 河南师范大学 2013 [3] 王珣. 邓州罗卷戏的历史与现状[D]. 河南师范大学 2011 [4] 汪怡帆. 小学音乐教材中的歌曲分析及歌曲钢琴伴奏的特点[D]. 中央音乐学院 2014 [5] 张倩. 两汉魏晋太常音乐机构考辨[D]. 河南师范大学 2011 [6] 杜化丽. 《全唐诗》中琵琶史料的研究[D]. 河南师范大学 2011 [7] 刘欢. 义务教育音乐课程标准实施及教学现状探析[D]. 贵州师范大学 2014 [8] 李建荣. 姜夔自度曲的音乐创作风格研究[D]. 河南师范大学 2012 [9] 桑玉婷. 少年儿童手风琴启蒙教材研究[D]. 上海师范大学 2014 [10] 王婷. 郑州市小学校外古筝教学现状调查研究[D]. 河南师范大学 2014 [11] 王越. 论发展我国小学音乐教育中的个性化音乐修养[D]. 中央音乐学院 2014 [12] 陈兆君. 钢琴即兴演奏在小学音乐课中的运用[D]. 中央音乐学院 2014 [13] 柴森. 新课标下小学音乐课堂教学的思考与探索[D]. 河北大学 2014 [14] 孙近钧. 新乡市小学生管乐课外实践活动的形式与途径研究[D]. 河南师范大学 2014 [15] 陈晓静. 谈明清时期以“真”为美的音乐审美观[D]. 河南师范大学 2012 音乐教育学论文参考文献(二) [1] 李雪晗. “幼儿园选择”问题的深层含义及其社会学思考[J]. 当代学前教育. 2009(03) [2] The Child Care and Development Block Grant:Background and Fundin. [3] Sheridan,S.,Schuster, of pedagogical quality in early childhood education:across national perspective. Journal of Research in Childhood Education . 2001 [4] and Childhood Programs. . 1989 [5] 胡彩云，__宇. 城乡家长对幼儿园期望的比较[J]. 学前教育研究. 2009(06) [6] 连玥，马玉俊. 浅析父母对托幼机构的教育需求[J]. 科教文汇(下旬刊). 2008(11) [7] 李江帆，主编.教育服务产品理论研究[M]. 中山大学出版社， 2009 [8] 徐晓东，邵文其，洪仙瑜等着.社会转型与办学体制创新[M]. 浙江大学出版社， 2004 [9] 朱家雄着.幼儿园课程[M]. 华东师范大学出版社， 2003 [10] Jane King Teleki,Sherry Buck-Gomez. Child Care and Early Education: Satisfaction with Services Among Rural Families[J]. Early Childhood Education Journal . 2002 (3) [11] Bernard Spodek. Reform of Chinese kindergartens: the preparation of kindergarten teachers[J]. Early Child Development and Care . 1988 (1) [12] 张丽娟着.儿童教育与幼儿园管理研究[M]. 河北人民出版社， 2002 [13] 比尔·约翰逊(BilJohnson)着，李雁冰主译.学生表现评定手册[M]. 华东师范大学出版社， 2001 [14] 潘月娟，刘焱. 美国托幼机构教育质量研究述评[J]. 比较教育研究. 2008(08) [15] 刘晓晔. 对家长学前教育价值观的调查与思考[J]. 学前教育研究. 2008(04) 音乐教育学论文参考文献(三) [1] 梁龙芳. 幼儿园区域活动中教师非言语行为的个案研究[D]. 西北师范大学 2014 [2] 丁文婷. 公办幼儿园非在编教师职业生存状态研究[D]. 西北师范大学 2014 [3] 丁洁. 民族地区学前双语教师培训研究[D]. 西北师范大学 2014 [4] 张婉莹. 学前教育三年行动计划幼教师资补充研究[D]. 西北师范大学 2014 [5] 丁文婷. 公办幼儿园非在编教师职业生存状态研究[D]. 西北师范大学 2014 [6] 丁洁. 民族地区学前双语教师培训研究[D]. 西北师范大学 2014 [7] 杨晓红. 幼儿园饮食营养教学活动开展现状与对策研究[D]. 西北师范大学 2014 [8] 邢羽佳. 兰州市中职学前教育专业学生科学素养的调查研究[D]. 西北师范大学 2014 [9] 钟映. 中职学前教育专业师资培训现状及对策研究[D]. 西北师范大学 2014 [10] 贾玉新着.跨 文化 交际学[M]. 上海外语教育出版社， 1997 [11] 李振村，庄锦英着.教师体态语言艺术[M]. 山东教育出版社， 1993 [12] 钟启泉编译.现代教学论发展[M]. 教育科学出版社， 1992 [13] 朱智贤 主编.心理学大词典[M]. 北京师范大学出版社， 1989 [14] (美)库利(Coodley,.)着，包凡一，王源译.人类本性与社会秩序[M]. 华夏出版社， 1989 [15] 张银萍. 非言语行为与课堂教学[J]. 哈尔滨职业技术学院学报. 2011(04) 猜你喜欢： 1. 音乐教育论文参考文献 2. 教育学论文参考文献 3. 音乐论文的参考文献 4. 浅谈音乐教育改革论文