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数学发展史 此书记录了世界初等数学的发展与变迁。可大体分为“数的出现”、“数字与符号的起源与发展”、“分数”、“代数与方程”、“几何”、“数论”与“名著录”七大项，跨度千万年。可让读者了解数学的光辉历史与发展。是将历史与数学结合出的趣味百科读物。数的出现一、数的概念出现 人对于“数”的概念是与身俱来的。从原始人开始，人就能分出一与二与三的区别，从而，就有了对数的认识。而为了表示数，原始人就创造并使用了一种古老却笨拙且不太实用的方法——结绳计数。通过在绳子上打结来表示所指物体的数量，而为了辨认数量，也就出现了数数这一重要的方法。这一方法如今看来十分笨拙，但却是人对数学的认识由零到一的关键一步。从这笨拙的一步人们也意识到：对数学的阐述必须要尽量得简洁清楚。这是一个从那时开始便影响至今的人类第一个数学方面的认识，这也是人类为了解数学而迈出的关键性一步。数字与符号的起源与发展一、数的出现 很快，人类就又迈出了一大步。随着文字的出现，最原始的数字就出现了。且更令人高兴的是，人们将自己的认识代入了设计之中，他们想到了“以一个大的代替多个小的”这种方法来设计，而在字符表示之中，就是“进位制”。在众多的数码之中，有古巴比仑的二十进制数码、古罗马字符，但一直流传至今的，世界通用的阿拉伯数字。它们告诉了我们：简洁的，就是最好的。 而现在，又出现了“二进制数”、“三进制数”等低位进制数，有时人们会认为它们有些过度的“简洁”，使数据会过多得长，而不便书写，且熟悉了十进制的阿拉伯数字后，改变进制的换算也十分麻烦。其实，人是高等动物 ，理解能力强，从古至今都以十为整，所以习惯了十进制。可是，不是所有的东西都有智商，而且不可能智商高到能明显区分1-10，却能通过明显相反的方式表达两个数码。于是，人类创造了“二进制数”，不过它们不便书写，只适用于计算机和某些智能机器。但不可否认的是，它又创造了一种新的数码表示方法。二、符号的出现 加减乘除〈＋、－、×(·)、÷(∶）〉等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成。 法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D表示加法，用M表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过,用“－”表示不足。1、加号（+）和减号（-） 加减号“＋”，“－”，1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始。到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“－”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“－”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。2、乘号（×、·） 乘号“×”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×”表示相乘。英国数学家奥特雷德于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法。据说是由加法符号＋变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首创的。后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“·”表示乘号，这样，“·”也得到了承认。3、除号（÷） 除法除号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比.也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”。瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号。符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。 至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。4、等号（＝） 等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用。1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。分数一、分数的产生与定义 人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。 一个物体，一个图形，一个计量单位，都可看作单位“1”。把单位“1”平均分成几份，表示这样一份或几份的数叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位。 分子,分母同时乘或除以一个相同的数〔0除外〕,分数的大小不变.这就是分数的基本性质.分数一般包括:真分数,假分数,带分数. 真分数小于1. 假分数大于1,或者等于1. 带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。 注意 ：①分母和分子中不能有0，否则无意义。 ②分数中的分子或分母不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。 ③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数。（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数，分母是其他质数的最简分数一定能化成纯循环小数）二、分数的历史与演变 分数在我们中国很早就有了,最初分数的表现形式跟现在不一样。后来,印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后,阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。 在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。 在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。 公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是3/7 米．像3/7 就是一种新的数，我们把它叫做分数． 为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征．例如，一只西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的． 最早使用分数的国家是中国．我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。 《九章算术》是我国1800多年前的一本数学专著，其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法． 在古代，中国使用分数比其他国家要早出一千多年．所以说中国有着悠久的历史，灿烂的文化 。几何一、公式1、平面图形正方形： S＝a² C＝4a三角形： S＝ah/2 a＝2S/h h＝2S/a平行四边形：S＝ah a＝S/h h＝S/a梯形： S＝(a＋b)h/2 h＝2S/(a＋b) a＝2S/h－b b＝2S/h－a圆形： S＝∏r² C＝2r∏＝∏d r＝d/2＝C/∏/2r²＝S/∏ d＝C/∏半圆： S＝∏r²/2 C＝∏r＋d＝ 顶点数＋面数－块数＝12、立体图形正方体： V＝a³＝S底·a S表＝6a² S底＝a² S侧＝4a² 棱长和＝12a长方体： V＝abh＝S底·h S表＝2(ab＋ac＋bc） S侧＝2(a＋b)h 棱长和＝4(a＋b＋h)圆柱： V＝∏r²h S表＝2∏r²＋∏r²h＝S底（h＋2） S侧＝∏r²h S底＝∏r² 其它柱体：V＝S底h锥体： V＝V柱体/3球： V＝4/3∏r³ S表＝4∏r²顶点数＋面数－棱数＝2数论一、数论概述 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。（现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0） 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 二、数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。三、数论的分类初等数论 意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同余。重要的结论包括中国剩余定理、费马小定理、二次互逆律等等。解析数论 借助微积分及复分析的技术来研究关于整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。 代数数论 是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。建立了素整数、可除性等概念。 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。最著名的定理为Minkowski 定理。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。 计算数论 借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。 超越数论 研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。 组合数论 利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。四、皇冠上的明珠 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。 简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、角谷猜想、圆内整点问题、完全数问题…… 五、中国人的成绩 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。 特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。名著录《几何原本》 欧几里得 约公元前300年 《周髀算经》 作者不详 时间早于公元前一世纪 《九章算术》 作者不详 约公元一世纪 《孙子算经》 作者不详 南北朝时期 《几何学》 笛卡儿 1637年 《自然哲学之数学原理》 牛顿 1687年 《无穷分析引论》 欧拉 1748年 《微分学》 欧拉 1755年 《积分学》（共三卷） 欧拉 1768－1770年 《算术探究》 高斯 1801年 《堆垒素数论》 华罗庚 1940年左右 任意选一段吧!!!
质数(又称为素数） 1.就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的因数，这种整数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数； 又如，12 ＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以 外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。质数的概念 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。质数中除2是偶数外，其他都是奇数。质数表上的质数 现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
现在，确定性素数判定法已经有很多种，常用的有试除法、威廉斯方法、艾德利曼和鲁梅利法。它们的适用范围各不相同，威廉斯方法比较适合10^20到10^50之间的数，艾德利曼和鲁梅利法适合大于10^50的数，对于32位机器数，由于都小于10^10，所以一般都用试除法来判定。阿格拉瓦法虽然是log(n)的多项式级算法，但目前只有理论上的意义，根本无法实用，因为它的时间复杂度是O(log(n)^12)，这个多项式的次数太高了。就拿最慢的试除法跟它来比吧，试除法的时间复杂度为O(n^(1/2)*log(n)^2)，当n = 16时，log(n)^12 = 16777216，而n^(1/2)*log(n)^2 = 64，你看相差有多么大！如果要让两者速度相当，即log(n)^12 = n^(1/2)*log(n)^2，得出n = 10^，此时需要进行的运算次数为log(n)^12 = 10^（注意：本文中log（）函数缺省以2为底），这样的运算次数在一台主频3GHz的计算机上运行也要10^年才能运行完，除了这些确定性素数判定法外，还有基于概率的非确定性素数判定法，最常用的就是米勒-拉宾法。
算好,我以前也研究过素数问题.现在资料还保存着.. 拿来给你分享吧. (这个算法检测速度,还是很快的,你可以试试看哦~~)一种适合32位机器数的确定性素数判定法作者：王浩（）此论文是为发布个人研究成果与大家分享交流而提交，本人教育背景如下：计算机应用专业/管理工程专业双学士天津大学于1995年到1999年在校就读日期________________2006-11-28___________________ 摘要一种适合32位机器数的确定性素数判定法作者：王浩本文通过对米勒-拉宾非确定性素数判定法如何转化为确定性素数判定法的研究，发现了与之相关的伪素数的一些性质，引入了伪素数的最小可判定底数的概念，并总结出了一些规律。通过这些规律找出了一种特别适合32位机器数的确定性素数判定法，该方法对于32位机器数进行素数判定最多只需要进行16log(n) 次乘/除法。该方法具有实现简单、速度快的优点，非常具有推广价值。本文中总结出的一些规律如果能够得到证明和推广，则有可能彻底解决把米勒-拉宾非确定性素数判定法转化为确定性素数判定法的问题，从而对素数判定理论和实践产生一定的促进作用。本文共有五章。分述如下：第一章：讲述素数判定法的现状，列举了目前常用的一些素数判定法及其适用范围。第二章：讲解伪素数表生成过程。第三章：分析伪素数表，引入了伪素数的最小可判定底数的概念，并且总结出了一些规律。根据这些规律，找出了一种特别适合32位机器数的确定性素数判定法，并且进行了多种优化，给出了时间复杂度分析。第四章：算法的C++语言实现和解释说明。第五章：算法的可推广性分析和未来发展展望。目录第一章 素数判定法现状... 1第二章 2-伪素数表的生成... 2第三章 寻找2-伪素数的最小可判定底数... 3第四章 算法实现和解释... 5第五章 算法可推广性分析... 8参考文献... 9词汇表素数判定法：判定一个自然数是否素数的方法。确定性素数判定法：一个素数判定法判定某个自然数为素数的充要条件是该自然数确实是素数，该判定法就是确定性素数判定法。即该判定法不存在误判的可能性。32位机器数：在计算机上用32个二进制位表示的无符号整数。64位机器数：在计算机上用64个二进制位表示的无符号整数。第一章 素数判定法现状现在，确定性素数判定法已经有很多种，常用的有试除法、威廉斯方法、艾德利曼和鲁梅利法。它们的适用范围各不相同，威廉斯方法比较适合10^20到10^50之间的数，艾德利曼和鲁梅利法适合大于10^50的数，对于32位机器数，由于都小于10^10，所以一般都用试除法来判定。也许有人会问：“你为什么没有提马宁德拉.阿格拉瓦法呢？不是有人说它是目前最快的素数判定法吗？” 其实这是一个很大的误解，阿格拉瓦法虽然是log(n)的多项式级算法，但目前只有理论上的意义，根本无法实用，因为它的时间复杂度是O(log(n)^12)，这个多项式的次数太高了。就拿最慢的试除法跟它来比吧，试除法的时间复杂度为O(n^(1/2)*log(n)^2)，当n = 16时，log(n)^12 = 16777216，而n^(1/2)*log(n)^2 = 64，你看相差有多么大！如果要让两者速度相当，即log(n)^12 = n^(1/2)*log(n)^2，得出n = 10^，此时需要进行的运算次数为log(n)^12 = 10^（注意：本文中log（）函数缺省以2为底），这样的运算次数在一台主频3GHz的计算机上运行也要10^年才能运行完，看来我们这辈子是别指望看到阿格拉瓦法比试除法快的这一天啦！除了这些确定性素数判定法外，还有基于概率的非确定性素数判定法，最常用的就是米勒-拉宾法。对于32位机器数（四则运算均为常数时间完成），试除法的时间复杂度是O(n^(1/2))，而米勒-拉宾法的时间复杂度只有O(log(n))。所以后者要比前者快得多，但是由于米勒-拉宾法的非确定性，往往我们在需要确定解时仍然要依靠速度较慢的试除法。那是否可以通过扩展米勒-拉宾法，来找到一种更快的确定性素数判定法呢？结论是肯定的，本文就带你一起寻找这样一种方法。第二章 2-伪素数表的生成既然要扩展米勒-拉宾法，那首先我们应该知道为什么米勒-拉宾法是个非确定性素数判定法？答案很简单，由于伪素数的存在。由于米勒-拉宾法使用费尔马小定理的逆命题进行判断，而该逆命题对极少数合数并不成立，从而产生误判，这些使费尔马小定理的逆命题不成立的合数就是伪素数。为了研究伪素数，我们首先需要生成伪素数表，原理很简单，就是先用筛法得出一定范围内的所有素数，然后逐一判定该范围内所有合数是否使以2为底数的费尔马小定理的逆命题不成立，从而得出该范围内的2-伪素数表。我的程序运行了100分钟，得出了32位机器数范围内的2-伪素数表，如下：345204724652701.........42868486942894700214289641621428988420142899060894293088801429332904142948685094294901761（共10403个，由于篇幅所限，中间部分省略。）第三章 寻找2-伪素数的最小可判定底数对于2-伪素数表的每一个伪素数，寻找最小的可以判定它们是合数的底数，我把这个底数称之为最小可判定底数。特别地，对于绝对伪素数，它的最小质因子即是它的最小可判定底数。由于已经证明了绝对伪素数至少有三个质因子，所以这个最小质因子一定不大于n^(1/3)。下面就是我找到的最小可判定底数列表：341 3561 3645 31105 51387 31729 71905 32047 32465 52701 5.........4286813749 34288664869 34289470021 54289641621 34289884201 34289906089 34293088801 34293329041 34294868509 74294901761 3通过统计这个列表，我发现了一个规律，那就是所有的最小可判定底数都不大于n^(1/3)，由前述可知，对于绝对伪素数，这个结论显然成立。而对于非绝对伪素数，虽然直观上觉得它应该比绝对伪素数好判定出来，但是我无法证明出它的最小可判定底数都不大于n^(1/3)。不过没关系，这个问题就作为一个猜想留给数学家来解决吧，更重要的是我已经通过实验证明了在32位机器数范围内这个结论成立。我们还有没有更好的方法来进一步减小最小可判定底数的范围呢？有的！我们可以在计算平方数时进行二次检测，下面是进行了二次检测后重新计算的最小可判定底数列表：341 2561 2645 21105 21387 21729 21905 22047 32465 22701 2.........4286813749 24288664869 24289470021 24289641621 24289884201 24289906089 24293088801 24293329041 24294868509 24294901761 3很显然，二次检测是有效果的，经过统计，我发现了新的规律，那就是经过二次检测后所有的最小可判定底数都不大于n^(1/6)，真的是开了一个平方呀，哈哈！这个结论的数学证明仍然作为一个猜想留给数学家们吧。我把这两个猜想叫做费尔马小定理可判定上界猜想。而我已经完成了对32位机器数范围内的证明。通过上面总结的规律，我们已经可以设计出一个对32位机器数进行素数判定的 O(n^(1/6)*log(n)) 的确定性方法。但是这还不够，我们还可以优化，因为此时的最小可判定底数列表去重后只剩下了5个数（都是素数）：{2,3,5,7,11}。天哪，就是前5个素数，这也太容易记忆了吧。不过在实现算法时，需要注意这些结论都是在2-伪素数表基础上得来的，也就是说不管如何对2的判定步骤必不可少，即使当2>n^(1/6)时。还有一些优化可以使用，经过实验，当n>=7^6时，可以不进行n^(1/6)上界限制，而固定地用{2,5,7,11}去判定，也是100%正确的。这样就可以把判定次数降为4次以下，而每次判定只需要进行4log(n)次乘除法（把取余运算也看作除法），所以总的计算次数不会超过16log(n)。经过实验，最大的计算次数在n=4294967291时出现，为496次。第四章 算法实现和解释算法实现如下：（使用C++语言）#include
论文写作的研究方法
导语：论文写作有哪些研究方法呢？研究方法是人们在从事科学研究过程中不断总结、提炼出来的，在撰写论文过程中非常的重要。下面是我分享的论文写作的研究方法，欢迎阅读！
调查法
调查法是指通过书面或口头回答问题的方式，了解被试的心理活动的方法。调查法的主要特点是，以问题的方式要求被调查者针对问题进行陈述的方法。根据研究的需要，可以向被调查者本人作调查，也可以向熟悉被调查者的人作调查。调查法可以分为书面调查和口头调查两种。
观察法
观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。科学的观察具有目的性和计划性、系统性和可重复性。常见的观察方法有：核对清单法;级别量表法;记叙性描述。
实验法
实验法是研究者有意改变或设计的社会过程中了解研究对象的外显行为。实验法的依据是自然和社会中现象和现象之间相当普遍存在着的一种相关关系——因果关系。实验法有实验室实验法与自然实验法两种。
文献研究法
文献研究法主要指搜集、鉴别、整理文献，并通过对文献的研究形成对事实的科学认识的方法。文献法是一种古老、而又富有生命力的科学研究方法。内容分析法通过对文献的定量分析，统计描述来实现对事实的科学认识。
实证研究法
实证研究法是认识客观现象，向人们提供实在、有用、确定、精确的知识研究方法，其重点是研究现象本身“是什么”的问题。实证研究法试图超越或排斥价值判断，只揭示客观现象的内在构成因素及因素的普遍联系，归纳概括现象的本质及其运行规律。
定量分析法
定量分析法是对社会现象的数量特征、数量关系与数量变化进行分析的方法。在企业管理上，定量分析法是以企业财务报表为主要数据来源，按照某种数理方式进行加工整理，得出企业信用结果。
定性分析法
定性分析法亦称非数量分析法，主要依靠预测人员的丰富实践经验以及主观的判断和分析能力，推断出事物的性质和发展趋势的分析方法，属于预测分析的一种基本方法。定性分析法主要是解决研究对象“有没有”、“是不是”的问题。
跨学科研究法
运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行综合研究的方法，也称“交叉研究法”。科学发展运动的规律表明，科学在高度分化中又高度综合，形成一个统一的整体。
个案研究法
个案研究法是指对某一个体、某一群体或某一组织在较长时间里连续进行调查，从而研究其行为发展变化的全过程，这种研究方法也称为案例研究法。
数量研究法
数量研究法也称“统计分析法”和“定量分析法”，指通过对研究对象的规模、速度、范围、程度等数量关系的分析研究，认识和揭示事物间的相互关系、变化规律和发展趋势，借以达到对事物的正确解释和预测的一种研究方法。
探索性研究法
探索性研究社会调查的一个研究方式。对所研究的现象或问题进行初步了解，获得初步印象和感性认识，为今后的深入研究提供基础和方向。
描述性研究法
描述性研究法是一种简单的研究方法，又称为描述流行病学(descriptive epidemiology)，是流行病学研究方法中最基本的类型，主要用来描述人群中疾病或健康状况及暴露因素的分布情况，目的是提出病因假设，为进一步调查研究提供线索，是分析性研究的基础;还可以用来确定高危人群，评价公共卫生措施的效果等。
思维方法
思维方法是人们正确进行思维和准确表达思想的重要工具，在科学研究中最常用的科学思维方法包括归纳演绎、类比推理、抽象概括、思辩想象、分析综合等，它对于一切科学研究都具有普遍的指导意义。
系统科学方法
系统科学方法是指用系统科学的理论和观点，把研究对象放在系统的形式中，从整体和全局出发，从系统与要素、要素与要素、结构与功能以及系统与环境的对立统一关系中，对研究对象进行考察、分析和研究，以得到最优化的处理与解决问题的一种科学研究方法。
知识扩展：论文写作题目如何定
选择研究课题。有狭义与广义之分。狭义是指选择写作论文的题目;广义是指选择研究领域、确定科研方向。这里我们主要是指前者。正确的选择题目是论文撰写的关键一步。
1、选题的一般原则
(1)学术价值和社会急需原则
要选择有科学价值的课题。经济领域中有科学价值的新发现、新创造、新成果、新经验，是每个经济工作者努力追求的目标。科学价值体现在提示规律、探求真理、有益于经济事业发展上。因此。对于凡是有科学价值的课题。都应在选择之列，尤其是要选择处于经济学科前沿领域和经济体制改革中急需解决的重大课题。
(2)量力而行原则
选择课题要充分考虑主观条件与客观条件，从实际出发，量力而行。主观条件主要是指个人兴趣与爱好、知识水平和研究能力等统筹考虑，切不可好高骛远，强行为之。实践证明，凡是勉强为之的题目，是不可能出好的成果的。而选题适中，难易适度，通过努力可以取得成功。
2、选题方法
每个人从事经济论文的基本条件都不同，因而选题方法也是不同的，我们必须在坚持上述选题原则的基础上，寻求适合自己的基本条件的选题方法，才能取到事半功倍的效果。
(1)个人偏好法。
即从自己的专长和兴趣人手选题。经济理论文章大体可以分为总结实践经验的理论文章、探讨研究经济理论、政策的文章等。可以根据自己擅长和兴趣，进行选择。
(2)尖刀法
选择问题的开口要小，就是说选题在保证有充分的发挥余地的前提下，要尽可能小一些，小一些的问题容易说透，如同尖刀，可以插的深一些一样。还以消费信贷问题为例，如果笼统的写如何开展消费信贷，或如何解决消费信贷发展中存在的问题。当然也可以，但显然缺乏足够的深度，但是如果仅仅写消费信贷某一方面的问题，就较容易写出深度来，例如，个人信用制度建立问题、个人信用调查问题、个人信贷风险防范问题、个人信贷保险问题等等。
(3)眼观六路法
即充分利用已有的知识储备，尤其是经济学科研究历史与现状的知识储备，充分发挥自己的想象力与创造力，在多方面开拓思路，不能局限于某一方面或某一角度，而应从更广泛的领域，更高的视点来观察研究选择课题。选题本身就是科学研究的一个重要内容。要选择出理想的课题，就需要调动自己的知识储备，全方位开拓思路，进行创造性思维。具体地说：
①延伸法，即对某个总是的研究方向不变，增加深度。
②补差法，即对所研究的领域中尚未研究或研究不充分的问题进行研究。
③爹杂交法，即利用其他学科研究成果，运用于经济学科。
④比较法，即通过对几种事物或同一事物的几个方向的比较研究来认识事物。
⑤换角度法，即对同一问题可以选取一个新的角度加以论述。这样从不同角度来研究同一问题，研究相对也较为容易一些。
论文写作要点
1、选题要小，开掘要深;不要题目很大，内容却很单薄。
2、写作前要读好书、翻阅大量资料、注意学术积累，在这个过程中，还要注重利用网络，特别是一些专业数据库。
3、“选题新、方法新、资料新”的三新原则。
4、“新题新做”和“小题大做
总之，一点之见即成文。
一个比喻：写论文就如同盖房子
1.盖房子的程序大家是熟悉的，即要选好址、制好图、打牢基、立起架、垒实墙、细装修，写论文的程序也与此十分相似。
2.好址就是要选好主题。主题的选择一定要结合自己的学习实际，结合自己的兴趣、学科特点、当前的热点(也可反其道而行之，如：科学课原先表面呈现的热热闹闹，而有人却提出这热闹背后的浮躁，提倡有序的操作、冷静的思考)。选好主题非常重要，可以说，选对了主题就等于把论文写成了一半，选错了，下面的`一切努力都白搭。此环节便如王国维的第一境界：“独上高楼，望尽天涯路。”就是要选择好自己研究的目标。
3.制好图，就是要对选好的主题进行规划、设计写作的大体思路，就如建房的平面设计图。
4.打牢基，就是要紧紧围绕主题尽可能多地收集需要的素材，使需要阐述的主题有一个牢固的基础。
5.立起架，就是要将深思熟虑后的思路以条条杠杠的形式搭成论文的框架。这个框架可大可小，可高可低，这就看自己的能力和水平了。没有金刚钻，别揽瓷器活。一定要根据自己的才力去构建论文的框架，千万不要贪大求全。垒实墙，就是要将收集到的材料放到合适的位置。充实和丰富论文的内容，使其和框架溶为一体。
6.细装修，就是要对写好的论文进行润色、修改，有时甚至要忍痛割爱。这是一个痛苦的过程，自己下力气写好的论文，就如同自己怀胎十月后临盆的孩子，有那一位母亲会嫌弃他?修改论文既需要站在一定的高处去审视全文的立意、构架和所用的材料;也要从小处着手，仔细推敲字、词、句、段的运用，甚至是标点符号的使用都很关键。通过这个环节，可以使自己的论文“熠熠生辉”。以上几个环节便是王国维的第二境界：“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”
两个基点：兴趣和热点
兴趣是写论文的动力，而且是内在的永不枯竭的动力。没有兴趣的写作，就味同嚼蜡，写出来也干巴巴的，形如枯槁。只有情趣盎然的投入，才能使自己的文章充满活力和朝气，充满青春的气息，才能进入“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的第三境界!不过，兴趣是可以培养的。只要坚持不懈地写下去，·旦你通过自己的努力，终于在刊物发表处女作之后，你的兴趣就会如决口的黄河一泻千里了。
热点一方面是指要与时俱进，要紧跟时代的脚步，紧随教育改革的步伐，要瞄准当前改革的焦点;另一面是指要有新意，千万要注意不要老生常谈，不要人云亦云;要写出自己的与众不同的观点，要有创新。创新点在论文写作中的地位就如同论文的生命一样，没有创新点就不要写。创新点从那里来?实践、研究就是它的活水源头!三个体会：及时抓拍、趁热打铁、慢火煎熬平时可随身携带一个小本子，及时抓拍头脑中闪现的点滴灵光，不管成熟与否。也可以随时随地记日志，保存起来备用。
在学习时，有什么好的想法，妙的做法，新的体会，及时抓拍后，还要趁热打铁，不要让它时过境迁。如果当时不写，过了一段时间后，当时的激情可能就烟消云散了。当有想法后，不管三七二十一，把它们都写下来。然后需要的就是润色、修改。这个过程既是一个慢火煎熬的过程：不断地删改、不断地提取精华、不断地汲取可用的素材、不断地推敲字词句段，直至最后定稿;同时也是一个享受的过程：当你突然冒出一个灵光时、发现一个好的论证方法时、找到需要的素材时，那种愉悦是精神上的一种极高享受。
细节：撰写前的准备工作
复习和准备好相关文献;再次审定实验目的(学术思想,idea);实验资料完整并再次审核
Introduction:
问题的提出;研究的现状及背景;以前工作基础;本工作的目的;思路(可提假说);对象;方法;结果。在… 模型上，观察 … 指标， 以探讨 … (目的)
M & M：
⑴ 材料的写法和意义; 伦理。
⑵ 程序与指标。操作程序：能序贯，可操作性;方法： 多指标方法的排序;引出参照文献简述;改良之处;哪些详或简?
⑶ 统计学处理 。
Results：
⑴指标归类描述，忌流水帐。不分析不解释，但要体现思路
⑵ 文字、图、表相对独立，但避免重复
⑶ 避免统计错误：对照，均衡，随即，重复。计量-计数、绝对值-相对值、专一指标—综合指标的转换。盲判与非盲判。技术资料直接概率法与卡方检验;多组资料与两组资料;等级相关与直线相关;多因素与单因素分析;配对资料与独立样本资料;非正态分布资料;例数不当;平行管，混合样本;突出差异(绝对值， Δ值，变化%; 联合×、÷比值，分亚组等)有效位数的保留。统计学结论与专业结论。
Discussion：
⑴ 背景材料：展开问题的提出;有关本研究的一些基本知识内容(不要离题太远)
⑵ 本实验结果分析：各指标的意义(与文献值比较)，结果说明什么问题
⑶ 进一步对结果机理分析：结合文献
⑷ 本工作的意义、结语或小结，进一步提出的新问题
其它注意点：
① 引证讨论文献知识太多(不同于学位论文)，掩盖了本工作的贡献;② 分析不合逻辑，结论不当;③ 讨论太浮浅，文献知识不熟悉;④ 写成工作总结，缺乏学术高度;⑤ 要正确使用缩写词，尤其是组别缩写词
参考文献：
为什么要引文献：⑴ 立论依据的文献：新,权威性文献，不用快报或摘要;⑵ 自己工作的自引：工作连续性;⑶ 实验结果与文献资料比较：新，可用快报, 会议及个人咨询资料;⑷ 方法学：经典文献,注意引文准确，不要转引
摘要：
问题的提出(Background);本工作目的;对象;方法(指标，分组);主要结果(数据，统计);结论与展望。
再推敲文章题目：
不切题，过大、过小
投稿：
按杂志稿约修定(留底)、引用该杂志文章、忌一稿两投
致命伤：
目的不明确;重复性工作无创新;方法学问题致结果不可信。
三种写法：
论文的写法有很多，此处把写作方法归纳为三类。
1.点石成金法就是在平时的学习中，会突发灵感，会发现一些新的方法、遇到感人的事例等。这时就可以结合新的理念将它们糅合起来，使它们闪烁出新理念的光彩。这种方法特别适宜写作随笔、札记、反思一类的论文。而且极易发表。
2.巧串项链法是指在平时的学习中，积累许多感人的片段、反思、札记、评析等。到期末的时候，再根据这些材料的内在联系，提出一个鲜明的主题，把它们首尾串接起来，便可成为一个完整的、闪烁出熠熠光辉的美丽的“项链”。这种方法最适合写经验总结类的论文。
3.主干生枝法就是当确立一个主题后，围绕这个主题，再衍生出一些分论点、小论点，再用这些分论点、小论点去论证主题。这样，就会使论文的整体结构十分沉稳，思路清晰，论证严密。
一篇合格的硕士论文，至少包含：序言(前言)、相关知识(背景)、主要研究工作、验证结果、结论五个部分的内容。那么，具体我们在写作硕士论文的时候，应该注意什么?
1.序言的写法
读者阅读论文首先会从序言开始，序言部分应该回答：
为什么要研究该课题?
作者一定要回答为什么要开展该课题的研究，就是需求的问题。不是为了研究而研究，而是为了理论探索、或生产需要解决某些问题而进行研究，应说明研究工作是有意义的，理由要充分。很多研究生的论文一上来用很大的篇幅讲述自己做了这样那样的研究工作，读者不知道这些研究工作是否需要，大大降低了论文的价值。
目前国内外的研究]状况如何，现有的研究有什么优点和缺点?
有的研究工作，尽管实际需要，但已经有了现成的结果，不需要重新研究，这类课题是没有意义的。所以，必须对国内外的状况进行全面的了解，进展如何，能否满足实际的需要。要分析现有研究成果或方法的优点和缺点，重点放在对其不足的分析上面，描述他人的不足正是为了显示自己研究工作的意义。分析他人不足时，可引出其原理、方法可能存在的问题，为自己的研究工作作好铺垫。当然，在描述他人工作不足时，一定要客观、实事求是，不要引起纠纷。
作者的研究有什么特别的地方，准备采用什么策略?
主要是针对他人研究的不足展开自己的研究工作，或者补充、或者完善、或者改进、或者创造等，一定要说出作者的研究工作与别人的研究工作的不同。可以简略的介绍作者研究工作所采用的原理和方法。要作到这一点，首先对他人工作有充分的了解，要有针对性。真正熟悉该研究领域的研究人员，通过对论文所采用的原理、方法的了解，大体上可以对论文的结果作出初步的判断。读者在深入阅读论文时，就会有一定的思想准备，那些是最关心的，那些是要重点了解的。
简要说明论文的框架结构
介绍各个章节的内容是什么，读者会在脑海对论文形成粗略的框架结构，有利于读者选择重点。
极为简要的阐明本文的创新性工作
主要目的还是给读者加深印象，与文章的结尾相呼应。
总之，序言是论文非常重要的部分，有的研究生不太注重这部分内容，认为只要将自己的研究工作阐述清楚就行，实际上，专家从序言部分就可大体判断出作者的基础知识、专业知识和了解本研究领域的程度。
2.相关知识和背景导引
论文涉及到不少其他学科和专业的知识，需要预先作些介绍。在介绍相关知识时，应该重点介绍论文中所要用到的部分。例如，在介绍器件时，论文中将要用到的参数、性能等要重点介绍。有的论文在这一部分可能要介绍自己的研究工作，两者尽量能合理的结合在一起，做到自然合理。所谓的背景导引就是通过所要用到的相关知识引导到自己的研究工作上来。
3.论文的主要研究工作
这一部分是重点内容，作者要将自己的研究内容阐述清楚，可能会分为2~3个章节，划分章节时，根据研究工作性质来定，最好根据模块来划分，模块的划分可以按任务划分，可以按性质划分，也可以按结构划分。例如作者研究的是一个测试系统，就可按结构划分为硬件模块和软件模块，在每个模块中又有若干个子模块，硬件中涉及器件选择、结构涉及等，软件涉及结构设计和算法设计等。在介绍自己研究工作过程中，有的部分是利用现成技术和结果的，有的是自己设计、推导或创造的，一定要描述清楚。不少论文对这一部分介绍的很详细，分不清那些工作是作者做的，那些工作是引用他人的。也看不出来特色是什么，能解决什么问题，该细的部分粗略带过，该简要的地方太过冗长。
一般作者至少要用两个章节来介绍自己的研究工作，包括原理介绍、定理、公式的证明推导等。有的作者可能会用到三个章节完成这部分工作，但不能更多。否则，一方面会使论文太分散，另一方面，作者在一年多的研究时间内也很难做更多的工作。
在这几个章节的结尾处，要将自己独立完成的作以工作总结，增加读者的印象：首先要把思路交代清楚，为了解决什么问题，才用怎样的思路;要把概念阐述明白;推导过程要符合逻辑;内容安排要条理清楚。读者通过阅读这一部分内容，知道作者想解决什么问题，怎样去解决，能否解决，作者要围绕这个目标去写论文。
4.验证结果
我们鼓励研究生做课题时要结合实际(纯理论研究除外)，最好能完整的参与课题的全过程，所以最后的结果应和实际对比，接受实际检验，鼓励学生完成实验验证，要通过对比数据说明研究成果的实际效用。充实的实验验证数据无疑增加了论文的价值，也可给读者提供应用的范例。在这一部分应该有分析和结论，那怕是不十分完美的验证结果也是有意义的，因为科学研究本身就是探讨的过程。
目前，许多研究工作离不开计算机，用来模拟、仿真、或数据处理等。所以，验证系统是论文的重要组成部分。
5.结论部分
作为论文的结尾，对论文起总结作用，通过阅读全文，读者基本了解了作者所做的工作，结尾主要是再给读者一个完整的印象，所以，要将主要内容再提纲携领的复述一下，特别要注明论文的创新点。同时，要自己指出研究工作还需要改进的地方，或者今后继续努力的方向。实际上，专家在阅读完论文后，可能已经在脑子里对论文的内容、意义、价值、不足有了基本的印象，通过作者自己的叙述，说明作者对本研究工作还是比较透彻的，成绩和不足是心中有数的。另外，结尾部分和序言部分应该有一定的对应性，作者对结尾部分也应充分重视，不要给读者匆匆收场的感觉。就象一顿宴席，开头、中间过程都很丰盛，最后一道果盘清淡乏味。
一、提高小学语文写作教学效果的有效方法
1．提升教师自身素质
在作文教学中，教师依托写下水文，提升自身写作能力，是最直接有效的方法。一方面能激发学生写作的兴趣，能避免教学中的许多误区（如最常见的命题作文，命题往往脱离学生的生活）；另一方面，“实践出真知”，老师自己动手，才会懂得评价学生的作文，如果一个题目写不出，就可以更宽容学生的作品；如果一个题目写得很好，那讲授就有了依据，学生学习也有了方向。这是教学相长的好办法。在作文教学改革中，教师勤于动笔不仅是言传身教，更重要的是通过写下水文，教师能真正体验写作规律，在教学中把写作规律和教学规律更好地结合在一起。
2．点燃学生的写作兴趣
第一，教师在设置作文题目时，应该结合学生的实际生活状况，选择学生感兴趣的话题，这样学生才会有话可说、有内容可写。第二，教师应该给予学生充分的肯定，让学生感受到成功的喜悦。第三，在写作教学中，教师应该范读优秀的文章，鼓励学生参加形式多样的作文比赛，在竞争中让学生体会到写作的快乐，从而使学生的写作兴趣得以提高。
3．培养学生的写作能力
为了让学生轻松、容易地完成写作内容，教师应该加强学生写作能力的培养，在写作教学过程中，可以根据学生的实际情况来选择写作题目，使之赋予文章趣味性和生活性，从而让学生将自己的情感流露于文字之间。引导学生感受生活的趣味，并使之把感情抒发出来，这样才能提高学生的写作技能，如教师可以组织学生开展协调性强的集体活动，如拔河比赛、足球比赛、踢毽子比赛等等，在活动结束后可要求学生描述对活动的认识，或者是对伙伴的认识，抑或是对集体的认识等等，同时教师在学生写作时要引导学生多使用修辞手法，从而使文章生动与活泼。
4．引导学生积累写作素材
课外活动的开展是对课堂教学的有效补充，课外活动不仅可以帮助学生积累切身体会到的写作素材，而且能够让学生在写作中流露真情实感、开启创新思维。如自己坐车回家，自己去看医生等，通过接触社会来开启学生对事物的思考；通过体育比赛活动激发学生的写作热情；通过开展义务劳动，积累劳动的感受和素材；通过游览名胜古迹，积累学生的游记素材等等，切身融入生活，对学生的写作水平会有很大的提高。
5．拓宽学生的写作思路
优秀的作文是具备创造性和真情实感的，小学生写不出好的作品，主要原因在于学生没有良好的创造精神、缺乏想象力、知识积累不足、生活体验不足、情感投入不丰富等。因此，教师在写作教学过程中，要积极引导学生多进行课外阅读，丰富写作教学形式，开展形式多样的语言活动，如词语接龙、讲故事比赛、小型辩论会等，这样的写作教学模式不仅可以诱导学生的学习兴趣，而且能够在愉悦的环境中丰富学生的知识。同时，教师可以采取分组讨论的形式让学生进行评论和学习，在此过程中学生可以从别人的文章中感受到写作的不同思路以及借鉴别人的优美语句，进行加工再创造并恰当地用于今后的写作中，使自己的写作思路得以扩宽、知识得以丰富，从而有效提高自己的写作水平。
二、结语
综上可知，教师要结合小学生自身的特点来完善写作教学，帮助学生树立写作的自信心，培养学生的写作兴趣，让学生在自信与兴趣的驱使下主动贴近生活、感受生活，愿意表达、善于动笔，为以后的学习和写作打下坚实的基础。
(1)论文选题论文选题主要看是否属于学科前沿，研究工作是否有理论意义和实用价值。如果在国内，列入国家973专案计划、863计划、国家自然科学基金、国家科技攻关项目的选题，大多是属于科学发展前沿，因为在项目立项过程中同行专家已经论证过，是同行关注的热点或重点。(2)文献综述主要看是否掌握了本学科领域相关的研究工作的最新动态和进展。文献综述有量与质两个方面，量的方面主要看是否围绕论文主题基本覆盖了本学科领域相关的主要文献，质的方面主要看是否综述本学科领域具有代表性的论文和有影响的主要文献。例如在本学科领域有影响的学术期刊和学术会议文献，有影响的学者论著，应该在文献综述中体现。更重要的是，学位论文评语需要通过作者的文献综述，看是否概括、归纳出本学科、本研究方向发展的总体趋势、规律和待解决的问题。(3)主要工作与创新点及其学术意义、价值这是学位论文评价的核心内容。对于博士学位论文来说，要求研究工作具有创新性和系统性。评语不仅要列举、归纳、总结出提交审查论文的主要工作与创新点，而且还要指出其学术价值。在学位论文评语写作中，一个突出的问题是，所评审的研究生学位论文中，一般作者已经对论文的主要工作与创新点作了归纳、总结，论文评阅者不能简单地照搬照抄，而是应该从更高的高度，更广的视野，总结、评价论文的工作与创新。(4)论文写作论文写作是学位论文评价的一个重要方面。主要审查论文写作是否层次清楚，条理分明，试验资料是否可靠，推论是否科学正确。通过论文写作，也可看出作者是否有一丝不苟的工作作风，论文的条理性与系统性也是研究工作是否有系统性的一个反映。
传统的论文写作方法有：归纳法，演绎法，定量分析法等等。不过，使用什么研究方法，要看你的论文是什么学科、领域的。理工科和文科论文的写作方法是有很大区别的。
论文的研究方法有哪些
论文的研究方法有哪些，研究方法是在一个研究中发现新的现象、新的事物，或者提出新理论、观点，论文研究方法需要大量阅读法，找到不足和创新点，来完善自己的论文，下面一起来学习一下论文的研究方法有哪些。
一、思维方法
思维方法是人们正确进行思维和准确表达思想的重要工具，在科学研究中最常用的科学思维方法包括归纳演绎、类比推理、抽象概括、思辩想象、分析综合等，它对于一切科学研究都具有普遍的指导意义。
二、内容分析法
内容分析法是一种对于传播内容进行客观，系统和定量的描述的研究方法。其实质是对传播内容所含信息量及其变化的分析，即由表征的有意义的词句推断出准确意义的过程。内容分析的过程是层层推理的`过程。
三、文献分析法
文献分析法主要指搜集、鉴别、整理文献，并通过对文献的研究，形成对事实科学认识的方法。文献分析法是一项经济且有效的信息收集方法，它通过对与工作相关的现有文献进行系统性的分析来获取工作信息。一般用于收集工作的原始信息，编制任务清单初稿。
四、数学方法
数学方法就是在撇开研究对象的其他一切特性的情况下，用数学工具对研究对象进行一系列量的处理，从而作出正确的说明和判断，得到以数字形式表述的成果。科学研究的对象是质和量的统一体，它们的质和量是紧密联系,质变和量变是互相制约的。要达到真正的科学认识，不仅要研究质的规定性，还必须重视对它们的量进行考察和分析，以便更准确地认识研究对象的本质特性。数学方法主要有统计处理和模糊数学分析方法。
一、规范研究法
会计理论研究的一般方法，它是根据一定的价值观念或经济理论对经济行为人的行为结果及产生这一结果的制度或政策进行评判，回答经济行为人的行为应该是什么的分析方法。
二、实证研究法
实证研究法是认识客观现象，向人们提供实在、有用、确定、精确的知识研究方法，其重点是研究现象本身“是什么”的问题。实证研究法试图超越或排斥价值判断，只揭示客观现象的内在构成因素及因素的普遍联系，归纳概括现象的本质及其运行规律。
三、案例分析法
案例分析法是指把实际工作中出现的问题作为案例，交给受训学员研究分析，培养学员们的分析能力、判断能力、解决问题及执行业务能力的培训方法，具体说来：
四、比较分析法
是通过实际数与基数的对比来提示实际数与基数之间的差异，借以了解经济活动的成绩和问题的一种分析方法。在科学探究活动中常常用到，他与等效替代法相似。
调查法调查法是科学研究中最常用的方法之一，它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法，调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解，并对调查搜集到的大量资料进行分析、综合、比较、归纳，从而为人们提供规律性的知识。观察法观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法，科学的观察具有目的性和计划性、系统性和可重复性，在科学实验和调查研究中，观察法具有如下几个方面的作用：①扩大人们的感性认识②启发人们的思维③导致新的发现实验法实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性观察与调查都是在不干预研究对象的前提下去认识研究对象，发现其中的问题，而实验却要求主动操纵实验条件，人为地改变对象的存在方式、变化过程，使它服从于科学认识的需要。第二、控制性科学实验要求根据研究的需要，借助各种方法技术，减少或消除各种可能影响科学的无关因素的干扰，在简化、纯化的状态下认识研究对象。第三、因果性实验以发现、确认事物之间的因果联系的有效工具和必要途径。文献研究法文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。文献研究法被子广泛用于各种学科研究中，其作用有：①能了解有关问题的历史和现状，帮助确定研究课题。②能形成关于研究对象的一般印象，有助于观察和访问。③能得到现实资料的比较资料④有助于了解事物的全貌实证研究法实证研究法是科学实践研究的一种特殊形式，其依据现有的科学理论和实践的需要提出设计，利用科学仪器和设备，在自然条件下，通过有目的有步骤地操纵，根据观察、记录、测定与此相伴随的现象的变化来确定条件与现象之间的因果关系的活动，主要目的在于说明各种自变量与某一个因变量的关系。定量分析法在科学研究中，通过定量分析法可以使人们对研究对象的认识进一步精确化，以便更加科学地揭示规律，把握本质，理清关系，预测事物的发展趋势。定性分析法定性分析法就是对研究对象进行"质"的方面的分析，具体地说是运用归纳和演绎、分析与综合以及抽象与概括等方法，对获得的各种材料进行思维加工，从而能去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，达到认识事物本质、揭示内在规律。跨学科研究法运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行综合研究的方法，也称"交叉研究法"，科学发展运动的规律表明，科学在高度分化中又高度综合，形成一个统一的整体，据有关专家统计，现在世界上有2000多种学科，而学科分化的趋势还在加剧，但同时各学科间的联系愈来愈紧密，在语言、方法和某些概念方面，有日益统一化的趋势。功能分析法功能分析法是社会科学用来分析社会现象的一种方法，是社会调查常用的分析方法之一，它通过说明社会现象怎样满足一个社会系统的需要（即具有怎样的功能）来解释社会现象。模拟法（模型方法）模拟法是先依照原型的主要特征，创设一个相似的模型，然后通过模型来间接研究原型的一种形容方法，根据模型和原型之间的相似关系，模拟法可分为物理模拟和数学模拟两种。
调查法，文献研究法，实证研究法。1、调查法，调查法是最基本常用的科学研究方法，包括问卷调查，资料收集，访谈等形式，对得到的大量资料进行比较，分析，总结，归纳，从而得出一般性结论。2、文献研究法，根据研究目的需求，通过查阅文献获得资料，全面地，正确地掌握所要研究问题发展历史，研究进展和未来趋势的一种方法，是快速了解进展最为有效方法，也用来指导研究选题，挖掘前沿热点等。3、实证研究法，依据现有的科学理论和实践的需要，设计实验证实确定条件因素与现象之间的因果关系的活动。阐明自变量与某一因变量的本质关系。
方法如下：
1）在翻了数篇外文文献后，肯定会有所发现。比如突然发现自己对某个问题感兴趣；或者发现某个问题有更好的解决方法；或者发现某人的论文存在一些缺陷；或者发现某个方向国内几乎没有人研究；等等之类的问题。
那么你就可以就这些问题深入地看一两篇比较经典的有权威性的外文文献（比如发表在国外核心期刊或者被引用次数比较多的文章），再看看这个问题上其他人的研究成果如何，自己研究的话能有什么创新之处。这样有了一些想法以后，可以与导师交流，得到导师肯定后，就可以开展你的科研之路了。进展好的话，你就可以就此出来一篇牛逼的或者有创新的或者肯定能发表的文章了。
2）拿到一篇文章，想深入了解的话，必须读透。碰到不懂的不熟悉的，也要继续查下去，为此花个三五天也值得，因为搞科研就这样。你不可能两天的时间就能看透一篇论文。查知识的方法有很多，要学会利用工具，比如CNKI翻译助手、google学术搜索等。文后的参考文献也要看。坚持下去后，这一篇文章被通读个三四遍，才能算真正读透。
3）一般精读一篇文章的话，我喜欢看它的引言部分，这里介绍了相关课题的研究现状。了解了研究现状以后，你就知道这篇文章的出发点在哪儿，创新以及意义在哪儿，读下去也就有兴趣了。
通常来说，大学生（研究生）在确定论文研究方向的时候，需要先考虑三件事，其一是自身的知识结构和能力特点；其二是目前拥有的研究资源；其三行业发展趋势。
自身的知识结构和能力特点是选择研究方向的基础，因为要想完成一篇合格的论文，有三个基本的要求，其一是具有一定的创新性；其二是具有一定的落地可行性；其三是论述的完整性和可靠性。要想让论文有所创新，首先就要从知识结构上寻求突破，所以自身的知识结构是论文研究方向首先应该考虑的因素。
研究资源对于论文方向的选择也有非常直接的影响，写论文一定离不开大量研究资源的支撑，涉及到导师资源、课堂资源、实验室资源（设备）、行业资源等等，所以在选择论文方向的时候，要根据目前能够整合的研究资源进行细分方向的选择。通常来说，导师对于论文研究方向的选择有比较直接的影响，选择导师比较擅长的研究领域会更容易获得突破。
论文研究方向还应该考虑一下当前的行业发展趋势，在产业结构升级的大背景下，如果研究方向能够与大环境相契合，不仅能够获得更多的研究资源，同时对于未来的发展空间也有较大程度的促进作用。以计算机领域为例，当前选择大数据、云计算、边缘计算、人工智能等方向都是不错的选择。
最后，要想完成一篇高质量论文往往需要做大量的基础工作，同时一定要尊重实验结果，否则在进行落地应用的过程中会遇到很多障碍，这一点一定要注意。如果论文中的实验是无法重现的，那么这样的研究成果是没有意义的。
毕业论文（graduation study），按一门课程计，是普通中等专业学校、高等专科学校、本科院校、高等教育自学考试本科及研究生学历专业教育学业的最后一个环节，为对本专业学生集中进行科学研究训练而要求学生在毕业前总结性独立作业、撰写的论文。
从文体而言，它也是对某一专业领域的现实问题或理论问题进行 科学研究探索的具有一定意义的论文。一般安排在修业的最后一学年（学期）进行。学生须在教师指导下，选定课题进行研究，撰写并提交论文。目的在于培养学生的科学研究能力；加强综合运用所学知识、理论和技能解决实际问题的训练；从总体上考查学生学习所达到的学业水平。
论文题目由教师指定或由学生提出，经教师同意确定。均应是本专业学科发展或实践中提出的理论问题和实际问题。通过这一环节，应使学生受到有关科学研究选题，查阅、评述文献，制订研究方案，设计进行科学实验或社会调查，处理数据或整理调查结果，对结果进行分析、论证并得出结论，撰写论文等项初步训练。
2020年12月24日，《本科毕业论文（设计）抽检办法（试行）》提出，本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检比例原则上应不低于2%。
课题研究方向一般是指学生在校期间，或者相关科研工作者在申报撰写论文过程中需要明确的研究方向。
课题研究方向应在所研究课题历史基础上提出自己独特或者有所创新的研究方向以丰富学科知识体系。
论文题目由教师指定或由学生提出，经教师同意确定。均应是本专业学科发展或实践中提出的理论问题和实际问题。
通过这一环节，应使学生受到有关科学研究选题，查阅、评述文献，制订研究方案，设计进行科学实验或社会调查，处理数据或整理调查结果，对结果进行分析、论证并得出结论，撰写论文等项初步训练。
写论文的注意事项
1、低级错误要避开
不少人在写论文的时候，会常常犯一些低级错误。论文中出现低级错误的话，是会拉低我们论文的水平的，所以大家在写作的时候，一些低级错误最好避开。
常见的低级错误有：错别字、句子间标点符号弄错、句子太长没有断句、句子不通顺、数据用错等等。
2、研究方法的介绍要丰富
大家在撰写毕业论文时，关于研究方法的介绍，大家一定要尽量丰富一点。研究方法的介绍过于简单的话，读者就无法通过这个方法进一步进行检验，也无法清楚了解该方法是否是科学、客观的。
论文研究方法最为典型的有调查法、观察法以及文献研究法。调查法：调查法是科学研究中最常用的方法之一。它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解，并对调查搜集到的大量资料进行分析、综合、比较、归纳，从而为人们提供规律性的知识。观察法:观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。科学的观察具有目的性和计划性、系统性和可重复性。在科学实验和调查研究中，观察法具有如下几个方面的作用：①扩大人们的感性认识。②启发人们的思维。③导致新的发现。文献研究法:文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。文献研究法被子广泛用于各种学科研究中。其作用有：①能了解有关问题的历史和现状，帮助确定研究课题。②能形成关于研究对象的一般印象，有助于观察和访问。③能得到现实资料的比较资料。④有助于了解事物的全貌。
毕业论文采用研究方法
毕业论文采用研究方法，毕业论文对大学生是很重要的一项内容，如果毕业论文不通过就可能毕不了业了，论文的研究方法是很重要的，下面我和大家分享毕业论文采用研究方法，一起来了解一下吧。
一、调查法
调查法：调查法是科学研究中最常用的方法之一，它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解，并对调查搜集到的大量资料进行分析、综合、比较、归纳，从而为人们提供规律性的知识。
二、实验法
通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。特点：（1）主动变革性。观察与调查都是在不干预研究对象的前提下去认识研究对象，发现其中的问题。而实验却要求主动操纵实验条件，人为地改变对象的存在方式、变化过程，使它服从于科学认识的需要。（2）控制性。科学实验要求根据研究的需要，借助各种方法技术，减少或消除各种可能影响科学的无关因素的干扰，在简化、纯化的状态下认识研究对象。(3）因果性。实验以发现、确认事物之间的因果联系的`有效工具和必要途径。
三、规范研究与实证研究
实证研究方法排斥价值判断，规范研究方法却以价值判断为基础。（1）规范研究法。以某种价值判断为基础，说明经济现象及其运行应该是什么的问题，即要说明所要研究的对象本身是好还是坏，对社会具有积极意义还是具有消极意义。目的：提出一定的标准作为经济理论的前提，并以该标准作为制定经济政策的依据，以及研究如何使经济现象的运行符合或实现这些标准。（2）实证研究法。实证研究法是科学实践研究的一种特殊形式。其依据现有的科学理论和实践的需要，提出设计，利用科学仪器和设备，在自然条件下，通过有目的有步骤地操纵，根据观察、记录、测定与此相伴随的现象的变化来确定条件与现象之间的因果关系的活动。目的：说明各种自变量与某一个因变量的关系。该方法步骤：(1) 确定所要研究的对象，分析研究对象的构成因素、相互关系以及影响因素，搜集并分类相关的事实资料。(2) 设定假设条件。在研究的过程中，研究对象的行为是有其特征所决定，试图把所有复杂因素都包括进去，显然是不现实也不可能的。为此，必须对某一理论所使用的条件进行设定。当然，假设的条件有一些是不现实的，但没有假设条件则无法进行科学研究。运用实证研究法研究问题，必须正确设定假设条件。(3) 提出理论假说。假说是对于现象进行客观研究所得出的暂时性结论，也就是未经过证明的结论。假说对研究对象现象的经验性概括和总结，但还不能说明它是否能成为具有普遍意义的理论。(4) 验证。在不同条件和不同时间对假说进行检验，用事实检验其正确与否。检验包括应用假说对现象的运动发展进行预测。
四、定量分析与定性分析
（1）定量分析法。在科学研究中，通过定量分析法可以使人们对研究对象的认识进一步精确化，以便更加科学地揭示规律，把握本质，理清关系，预测事物的发展趋势。（2）定性分析法。定性分析法就是对研究对象进行“质”的方面的分析。具体地说是运用归纳和演绎、分析与综合以及抽象与概括等方法，对获得的各种材料进行思维加工，从而能去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，达到认识事物本质、揭示内在规律。
五、文献综合法和个案研究法
（1）文献综合研究法。文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。作用：1）能了解有关问题的历史和现状，帮助确定研究课题；2）能形成关于研究对象的一般印象，有助于观察和访问；3）能得到现实资料的比较资料；4）有助于了解事物的全貌。
（2）个案研究法。认定研究对象中的某一特定对象，加以调查分析，弄清其特点及其形成过程的一种研究方法。基本类型：1）个人调查，即对组织中的某一个人进行调查研究;2）团体调查，即对某个组织或团体进行调查研究；3）问题调查，即对某个现象或问题进行调查研究。
六、跨学科研究法
运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行综合研究的方法，也称“交叉研究法”。科学发展运动的规律表明，科学在高度分化中又高度综合，形成一个统一的整体。
（1）文献研究法：根据所要研究内容 ，通过查阅相关文献获得充足的资料，从而全面地了解所研究课题的背景、历史、现状以及前景。
（2）研究项目分析法：在进行理论的搜集与分析之后，根据现有的研究项目整体系统进行分析与设计，实现理论与实践的相结合，使理论有理有据，设计更合理。
根据许多论文的选题经验，这一级论文的选题可从以下几方面考虑：本专业的研究空白、发生争议的话题(自己的观点感到较为充分)、对比性的话题、从其他专业角度研究本专业的话题(这是一种选题的边际效应)、有新的插入角度的老话题、刚刚冒出来的本专业的新问题。