多元函数极限的毕业论文

多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：

例如：

(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²= lim(u->0) sinu / u = 1

(x,y) = x²y / (x²+y²)

∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|

lim(x,y)->(0,0) |x| = 0

∴ lim(x,y)->(0,0) x²y / (x²+y²) = 0

记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x

同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y

显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3

扩展资料：

函数极限在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点  （无限个）都落在该邻域之内。

对于任意给定的ε>0，存在某一个正数δ，对于D上任意一点P0，只要P在P0的δ邻域与D的交集内，就有|f(P0)-f(P)|<ε，则称f关于集合D一致连续。

一致连续比连续的条件要苛刻很多。

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y)，若函数f在P0点处的增量△z可表示为：

△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)，其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^(ρ)是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。

以  的极限为例，f(x) 在点  以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数  ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值f(x)都满足不等式：  ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

首先你要说下研究函数极值的意义：在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。当然，本人是学飞行器设计的，举个简单的例子：飞机的升力主要由机翼提供，那么机翼的截面到底设计成什么形状，或者机翼的平面投影设计成什么形状，其升力可以达到最大，甚至在保证升力的同时还不能让阻力太大，所以这些都涉及到一个最优的问题。（当然，楼主可以就具体工程实际给出例子），再比如，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局（要考虑建设成本、怎么选定线路、建成之后为国民经济带来的效益、运营费用、会不会对环境有影响，那么污染治理费也要考虑），才能让这些公共基础建设的利远大于弊。。。。一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益，对节省能源等等问题都有好处

多元函数的极限是多元函数微分学中非常重要的一个基础概念。本篇文章是我在微积分的学习中为了巩固多元函数极限的知识而记录的，方便随时进行复习。本文主要对多元函数的多重极限的基本概念进行了梳理，及一些求解的方法归档。

话不多说，看定义！

这种 定义十分高大上，然而却不像是说的人话，很多同学一看见就一脸懵逼。然而有的试卷偏偏喜欢出类似的证明题，同学们一旦碰到运用定义的来解决的题，就抓耳挠腮，或是想不起来定义的具体内容，或是不知道究竟如何运用它去说明极限存在。

接下来，我们对它的重点进行逐项分析，搞懂它究竟表达的是什么意思，通过这种方式来巩固对定义的记忆。

总结一下，原来的定义可以翻译为：

记住！根据邻域的概念，这个区域既可以是无限趋近于 点时函数值才趋近于 ，也可以是 点外一圈区域内都有函数值正好等于 。这正好与我们极限的几何意义完全符合。

通过这种方式，定义是不是比原来容易理解多了呢？希望通过这种方式，大家都能记住二重极限的 定义，并运用到证明中。

要点就是根据公式数学上的关系，尽量使得能够将原式推导到一个“ ”的关系上。通过 能任意取值，说明这样一个 也必存在。满足定义所有条件，则极限存在。

存在且值为0。

本题的一个关键点在于夹逼准则的变化应用。注意到我们在求解中采用了取绝对值的方式替换原表达式，以方便进行夹逼准则的使用。但是这样的做法解出来的不是绝对值的极限吗？为什么就能得到原来的结果了呢？首先请牢牢记住以下结论！

当极限为0时，绝对值的极限=原表达式的极限。

证明该结论的方法依然是利用 夹逼准则 ，当极限为0时， 又因为： ，利用夹逼准则就可以得到原极限也等于0啦。

证明极限不存在的方法，总体来说就只有一种，就是利用二维面上不同于一维上只能从坐标轴左右趋近于点，而是可以从无数条路线趋近于聚点的特点，只要任意线路趋近的极限不等于其他的极限，则极限不存在。

具体而言，首先可以用带任意系数的直线系 趋近。只要代入原函数后无法消掉系数 ，则说明此时极限必与 相关且不唯一极限不存在。

其次，若系数能够被消掉，则可以巧妙运用不同的曲线，如抛物线、直线、圆弧等来趋近于该点。若任意二者之间代入算出来的极限不等，也说明极限不存在。选取曲线时应根据原函数的特点。

凑定义，分母凑-2h，外边✖️-2，所以-2×3等于-6，第二个同理等于3×2等于6