广义调和级数毕业论文

比较法即可，∑1/lnn的一般项1/lnn为正，直接与调和级数∑1/n比较，因为1/lnn＞1/n，而∑1/n发散，故原级数发散。

判别法：

正项级数及其敛散性

如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。

正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。

有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

比较

比较审敛法：

⑴一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。

⑵反之，一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散。

如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。

积分

对于正项级数如果存在一个单调下降连续函数f（x），有  ，那么级数  与广义积分  具有相同的敛散性。

绝对收敛

实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大，也就是说，还可以用于判断更多的级数是收敛的。这是通过引入绝对收敛的概念而得到的。

如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值，那么就得到了一个正项级数，如果这个正项级数是收敛的，那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。

给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处，就在于：一个级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的。

绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有如下的性质：

如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数 ；如果把它的所有负项都改变符号，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数 ，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。

作为加法交换律的一个推广，对于正项级数，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质。

不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质：

如果两个任意项级数都绝对收敛，那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积。

参考资料：无穷级数 百度百科

证明

1、比较审敛法

因此该级数发散。

2、积分判别法

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和：

而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积：

由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：

这个方法的拓展即积分判别法。

3、反证法

假设调和级数收敛 , 则：

但与

矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

扩展资料

调和级数是各项倒数为等差数列的级数，通常指项级数

各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。

推而广之，具有这种性质的每一个级数，即形如

的级数也称为调和级数，其中 a,b 是常数. 调和级数是发散的，但其部分和

增长极慢。

欧拉 (Euler,L.) 计算过

与

是等价无穷大，更准确地，有

其中 C= 215... 是欧拉常数，

这是欧拉于1740 年发现的，更一般地，级数

称为广义调和级数，亦简称调和级数，它的通俗名称是 p 级数，当 p>1 时收敛，p<=1 时发散。

参考资料来源：百度百科-调和数列

参考资料来源：百度百科-调和级数

调和级数是指一种特殊的无穷级数，其一般形式为：1+1/2+1/3+1/4+1/5+……也就是说，每一项都是其前一项的倒数加一，这样的级数叫做调和级数。

在数学中，调和级数是一个非常经典的问题。调和级数的研究可以追溯到欧洲文艺复兴时期，当时人们惊讶地发现，无穷多个正数相加，竟然可以得到无限大的和。从那时起，数学家们开始探究这个问题，并在后来得出了许多关于调和级数的性质和定理。

首先，调和级数是一个发散的级数，也就是说，其和不存在。这点可以通过对调和级数进行部分求和来证明。假设将调和级数的前n项相加，即1+1/2+1/3+...+1/n，

我们可以采用数学归纳法来证明，当n趋向于无穷大时，这个序列的极限趋于正无穷。因此，这个级数的总和不存在。

接着，我们来看一些有关调和级数与其他级数的比较问题。例如，与调和级数类似的渐近收敛级数是调和级数的逆，即1+1/2+1/4+1/8+...

这个级数的求和是有限的，我们可以证明其总和为2。因此，调和级数与这个级数相比更接近于无穷大。此外，调和级数与幂级数也有很密切的关系。比如以下幂级数：1+x+x²+x³+...

当x大于等于1时，这个级数发散了。但当x小于1时，它就是一个收敛的调和幂级数。事实上，在x等于1/2的时候，这个幂级数就是调和级数。这启示我们，调和级数具有一些统一性质，能够被看作广义的幂级数。

总之，调和级数不仅有着非常重要的理论价值，而且在实际问题中也有着广泛的应用。例如，调和级数的性质和研究为我们提供了了解无穷大与无穷小的基础；

在求解各种实际问题中，调和级数的概念及其拓展也经常被使用（如电子电路、统计学等等）；调和级数还有很多的推广形式，如Riemannzeta函数等也在数学物理和统计学等领域起到重要的作用。