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论文的特点有六个：论文的创新性、论文的学术性、论文的科学性、论文的平易性、专业性、实践性。
一、论文的创新性
论文要有新意，要从不同层次进行新颖独到的见解；
填补空白的新发现、新发明、新理论。在前人未开拓的土地上进行探索的研究从而提出填补空白的新发现，例如居里夫人发现镭；新发明，如音乐家杰思罗·塔尔，把风琴传声结构的原理用于播种机，解决了种子落地的速度问题，发明出世界上第一台实用的播种机；新理论，如牛顿经过一系列的实验、观测和演算，发现了着名的“万有引力定律”.
更正前说错误。论文的研究成果能更正前人错误的认识。如伽利略推翻了亚里土多德的物体下落学说；李四光否定了中国大陆无石油的所谓权威定论。
弥补前说不足。与前人论述同一事物或现象，但从新的角度研究，补充完善前说观点、内容。学术论文的写作是非常重要的，它是衡量一个人的学术水平和科研能力的主要标志。学术论文就是系统的、专门的知识来讨论或研究某种问题或研究错的学理性文章。
二、论文的学术性
所谓学术，是指较为专门、有系统的学问。学术性是毕业论文的本质特征。论文一般是针对某一个专门学科的建设和发展过程中，揭示事物或现象的本质规律，有一定的理论高度，分析带有学术价值的问题，引述各种事实和道理去论证自己的新见解。其学术性具体体现在：
论点的正确。论点正确是论文的生命力，它必须经得起实践的检验。因面，它要求作者立论要客观，不能带有个人的偏见。
论据的真实。论文中的引用材料、数据水实必须符合客观实际。论文作者必须通过实验、观察、调查、研究，最大限度地占有材料，事实要充分而且要有足够的说服力。
论证周密。论文的论述过程符合人们推理规律，层次清楚，首尾连贯、结构严谨。论证就是用论据来证明论点，其目的在于揭示论点和论据之间必然的逻辑关系。
三、论文的科学性
学术论文的科学性，要求作者在理论上不得带有个人的好恶的偏见，不得主观臆造，必须切实地从客观实际出发，从中引出符合实际的结论。在论据上，尽可能的多地占有资料，以最充分的、确凿优利德 论据作为立论的依据。在论证时，必须经过周密的思考，进行严谨的论证。坚持论文的科学性，就要坚持实事求是，切忌感情用事，更不能凭空臆造、随意发挥。论文的科学性表现在：
论文观点客观。正确鲜明集中。无论是证明还是反驳，论点必须正确。在论证过程中，紧紧围绕论点进行论述，得出令人信服的结论。
论据确凿，足以支撑作者观点。观点需要用充分有力的、真实可靠的论据来支持。要求作者充分掌握第一手资料，查阅大量相关数据，认真核实每个论据。为立论打下良好的基础。
论证合乎逻辑。 用证据说明论点，要善于用科学的方法，充分阐述论点与论据之间内在的逻辑，做到论文结构严谨、推理严密。
四、论文的平易性
平易性是论文在形式与表达方面必不可少的特点。值得是要用通俗的语言表述科学道理，不仅要做到文字从字顺，而且要准确、鲜明、和谐、力求生动。具体如下：
论文的结构要有条理性，主次有别，言而有序。不求章法奇特，但求顺理成章。
做到概念准确。判断正确，事物与事物、事理与事理之间的联系同异分明，说明事物事理的内容、属性和存在形式时要恰如其分，如实反映客观事物、事理的面貌。
论文文句流畅，叙述深人浅出。把深奥的问题尽可能明白无误地表达出来。要求论文写作语言具有明确、简洁周密、规范的特点，遣词造句不仅要合乎语法规范，而且要注意词汇的精确性和单性，避免产生歧义。
要将自然语言和人工语言（图像、照片、表格、符号、公式等）配合使用形成独特的书面语言表达体系，这不仅可以节省篇幅，提高直观性、形象性，还便于读者理解，增添阅读的兴趣。
五、专业性
论文的专业性是区别不同类型论文的主要标志，也是论文分类的主要依据。按研究的学科，可将学术论文分为自然科学论文和社会科学论文。每类又可按各自的门类分下去。如社会科学论文，又可细分为文学、历史、哲学、教育、政治等学科论文。按研究的内容可将=学术论文分为两类研究论文和应用研究论文。理论研究，重在对各自学科的基本概念和基本原理的研究；应用研究，侧重于如何将。
学论文分为理论研究论文和应用研究论文。理论研究重在对各自的学科概念和基本原理的研究；应用研究侧重于对如何将各学科的知识转化于专业技术和生产技术，直接服务于社会。
六、实践性
是论文价值的具体体现。它表内容上，旨在根据一定的各位职责与目标要求培养能力。
毕业论文属科技论文，它应具有以下特点：
1、科学性
科学性――就描述对象而论，是指论文只涉及科学与技术领域的命题;就描述内容来看，是指它要求文章的论述具有可信性。科技论文不能凭主观臆断或个人好恶随意舍取素材或得出的结论。论点的推理要求严密、并正确可信。揭示的是普遍规律或特殊规律。
2、逻辑性
辩证逻辑揭示内在规律和联系。
形式逻辑揭示外部规律和联系。
逻辑性是文章的结构特点，它要求论文的脉络清晰、结构严谨、推论合理、演算正确、符号规范、文字通顺、前呼后应、自成系统。不论文章所涉及的专题大小如何，都应该有自己的前提或假说、论证素材和推断结论，不应该是一堆堆数据罗列或一串串现象的自然描绘。
3、首创性
首创性是对描述的内容区别于其它文献的一种特殊要求，创新是科技论文的灵魂。它要求论文所提示的事物现象、属性、特点、以及事物变化时所遵循的规律，必须是前所未见的、首创的、或部分是首创的，而不是对他人工作的复述或解释。
首创性就是要说出别人没有说过的话，道出别人没有道出的理，有新意，有独道。
4、继承性
就是要站在巨人的肩膀上去看旧问题发现新问题。
论文的特征就是论说、阐明道理，揭示某种规律和特征。因而不是记事状物，也不是叙述过程，更不是抒发情感。
矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。注意：常有教科书说特征向量是在矩阵变换下不改变方向的向量，实际上当特征值小于零时，矩阵就会把特征向量完全反方向改变，当然特征向量还是特征向量。我赞同特征向量不改变方向的说法：特征向量永远不改变方向，改变的只是特征值（方向反转特征值为负值了）。特征向量是线性不变量所谓特征向量概念的亮点之一是不变量，这里叫线性不变量。因为我们常讲，线性变换啊线性变换，不就是把一根线（向量）变成另一根线（向量），线的变化的地方大多是方向和长度一块变。而一种名叫“特征向量”的向量特殊，在矩阵作用下不变方向只变长度。不变方向的特性就被称为线性不变量。如果有读者坚持认为负方向的特征向量就是改变了向量的方向的想法的话，你不妨这样看线性不变量：特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）
这题目的意义就是要求你的文章能够说明怎么能够迅速找出特征值和特征向量以及他们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方
λxx是非零向量解λ，即解：|A-λE|=0这个n次特征方程。 2.λ1λ2……λn=|A|λ1+λ2+……+λn=a11+a22+....+ann3. 0+2+x=y+2-1 ①-1×2×1=y×2×（-1）②由②，得-2=-2yy=1代入①，得x=0
数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
学术论文是一种具创新性的科学研究成果的记录，它是人类知识宝库的基本单元。
学术论文应具备以下四个特点：
第一，科学性。
学术论文的科学性，要求作者在立论上不得带有个人好恶的偏见，不得主观臆造，必须切实地从客观实际出发，从中引出符合实际的结论。在论据上，应尽可能多地占有资料，以最充分的、确凿有力的论据作为立论的依据。在论证时，必须经过周密的思考， 进行严谨的论证。内容的客观性：论文内容必须是客观存在的事实，即要求科学内容真实、成熟、可行，而且可重复性。表达的全面性：论文的科学内容，须用语言、文字或图片等方式表达，并且力求文字简洁、明确及全面性。结构的逻辑性：文章结构所显现的科学内容必须符合逻辑推理、论证反驳等思维规律，其逻辑性强。 格式的标准化：论文写作格式已逐渐趋标准化，必须严格遵守其法则。
第二，创造性。
科学研究是对新知识的探求。创造性是科学研究的生命。学术论文的创造 性在于作者要有自己独到的见解，能提出新的观点、新的理论。因此，没有创造性，学术论文就没有科学价值。创造性是衡量学术论文价值的根本标准。创造性大，论文价值高;反之，论文价值就低 。这里所谓的创造性是指论文中阐述世人尚未谈过的新理论、新方法、新技术或创造性的模仿。一篇没有创见的文章，可能具有一定的社会经济价值，但它对科学技术发展不起作 用，也无法提供科技领域新的内容。有些科技成果填补了国内空白，但国外已有，严格言之应无创造性。
第三，理论性。
学术论文在形式上是属于议论文的，但它与一般议论文不同，它必须是有 自己的理论系统的，不能只是材料的罗列，应对大量的事实、材料进行分析、研究，使感性 认识上升到理性认识。一般来说，学术论文具有论证色彩，或具有论辩色彩。论文的内容必 须符合符合历史唯物主义和唯物辩证法，符合“实事求是”、“有的放矢”、“既分析又综合” 的科学研究方法。学术性或称为理论性。学术论文可以取材于某一具体产品，或某一抽象的理论，
第四，平易性。
指的是要用通俗易懂的语言表述科学道理，不仅要做到文从字顺，而且要 准确、鲜明、和谐、力求生动。
选题在学术论文写作中具有头等重要的意义。这是因为，只有研究有意义的课题，才能获得好的效果，对科学事业和现实生活有益处；而一项毫无意义的研究，即使研究得再好， 论文写作得再美，也是没有科学价值的。
在选题的方法上，要注意以下几点：
第一选题确定之前，要查阅文献资料。
目的在于了解本学科的研究历史与现状，明确在本学科中过去已经进行了哪些研究，有什么成果；了解本学科的研究现状，以便弄清现阶段 的研究达到了什么程度，以及哪些问题尚未得到解决。 为此就要到图书馆查阅有关的报刊目录索引、专题目录索引以及年鉴等工具书。另外， 还要做文献目录卡片。这种卡片可以先从最近发表的新的文献资料调查开始，按年一项项写 出来。卡片的写法是，记上作者、标题、杂志名、页码。若是单行本，要写上出版单位，报 纸要写上发行的年月日。
第二选择有学术价值的题目。
题目的研究价值在于实际应用价值和科学理论价值两个方面。要摸清自己要研究的课题以前有人研究过没有，研究的成果如何，结论是什幺，有哪些需要补充或修订，是不是还有遗留的问题需要进一步研究，从大量文献资料中看出自己的研究课题所要达到的“终点”，从而找到课题的“起点”。避免“撞车”，重复别人的科研劳动，事倍功半。同时，对有人研究过的课题，你重点就要放在“新”上，才有立足之地；对没人或很少有人研究过的课题，参考资料很少，只要观点不谬，论据确凿即可要在学术上有理论意义，或在实际工作中有现实意义，尽可能选择本学科的重大问题，即大家普遍关心，正在思考，有所争议，迫切需要解决的问题。不要选择那些老师在课堂上讲明，书里已写清的问题。
第三要选择难易程度适中的课题。
题目太大，往往不易写得深刻，流于空泛，或耗时过多。如果选择题目草率，根本没有实现的可能，选题就等于零。因而首先确定个大方向，并逐步把选题范围缩小和具体化。如要研究中国古代文学的问题，就需要进一步确定时期，是先秦文学、唐宋文学还是元明清文学？再进一步考虑研究这一时期文学的什么问题，某一文学运动，某一作家、作品，还是某一作家、作品的某一方面的问题。论题定得小一点，论述容易集中、深刻，小中见大,可以写出比较好的论文。
要结合自己的知识结构，扬“长”避“短”，要力求与自己所学的专业对口，以便对研究的内容具有一定的基础知识，使自己的才能得到最大限度的发挥，同时要结合自己的兴趣、爱好，选自己比较熟悉的课题，这样研究起来才有热情，准备充分，体会深刻，容易写好。
毕业论文特色与创新如下：
范文一：
一直以来存在这样一种误解，那就是认为哲学只是形而上的抽象道理言说，其真理性和价值性是成问题的，其社会功能也可以由其他专门学科来取代。在这种认识下，哲学似乎是无用的和多余的，但是事实证明这种观点是极为片面的。随着从哲学里分离出来的新的学科不断增多，并且日益专门化和技术化，似乎取代了哲学的社会功能，但是这只是一种表面现象。
黑格尔说：当统一的力量从人的生活中消失，当对立已经失去了它们的活的关系和相互作用，并正赢得独立性时，对哲学的需要就形成了。实际上，哲学一直为人们理解世界、构建社会图景提供着基本的认知框架与认知方法，其社会功能不可替代。
范文二：
哲学虽然不直接提供满足物质需要的手段，但是它提供了种种思想，使我们能够在社会领域里理解、协调并且满足我们的需要，满足我们对未来的希望。宏观上说，哲学理论为具体的社会制度提供意识形态的合法性、平衡社会结构的稳定性与流动性，整合社会文化、提升判断认知能力、统一社会思想认识。
范文三：
思维的第一支柱：大脑；第二支柱：社会生活；第三支柱：知识；第四支柱：个性。《思维的拓展》在语文教学中我们可以加强巩固社会生活和知识这两大支柱，拓宽创新的空间。首先，教师应创造机会让学生接触各种社会活动。学生创新意识和创造性思维的培养仅立足于课内是远远不够的，还必须向课外延伸。
论文的特点有六个：论文的创新性、论文的学术性、论文的科学性、论文的平易性、专业性、实践性。
一、论文的创新性
论文要有新意，要从不同层次进行新颖独到的见解；
填补空白的新发现、新发明、新理论。在前人未开拓的土地上进行探索的研究从而提出填补空白的新发现，例如居里夫人发现镭；新发明，如音乐家杰思罗·塔尔，把风琴传声结构的原理用于播种机，解决了种子落地的速度问题，发明出世界上第一台实用的播种机；新理论，如牛顿经过一系列的实验、观测和演算，发现了着名的“万有引力定律”.
更正前说错误。论文的研究成果能更正前人错误的认识。如伽利略推翻了亚里土多德的物体下落学说；李四光否定了中国大陆无石油的所谓权威定论。
弥补前说不足。与前人论述同一事物或现象，但从新的角度研究，补充完善前说观点、内容。学术论文的写作是非常重要的，它是衡量一个人的学术水平和科研能力的主要标志。学术论文就是系统的、专门的知识来讨论或研究某种问题或研究错的学理性文章。
二、论文的学术性
所谓学术，是指较为专门、有系统的学问。学术性是毕业论文的本质特征。论文一般是针对某一个专门学科的建设和发展过程中，揭示事物或现象的本质规律，有一定的理论高度，分析带有学术价值的问题，引述各种事实和道理去论证自己的新见解。其学术性具体体现在：
论点的正确。论点正确是论文的生命力，它必须经得起实践的检验。因面，它要求作者立论要客观，不能带有个人的偏见。
论据的真实。论文中的引用材料、数据水实必须符合客观实际。论文作者必须通过实验、观察、调查、研究，最大限度地占有材料，事实要充分而且要有足够的说服力。
论证周密。论文的论述过程符合人们推理规律，层次清楚，首尾连贯、结构严谨。论证就是用论据来证明论点，其目的在于揭示论点和论据之间必然的逻辑关系。
三、论文的科学性
学术论文的科学性，要求作者在理论上不得带有个人的好恶的偏见，不得主观臆造，必须切实地从客观实际出发，从中引出符合实际的结论。在论据上，尽可能的多地占有资料，以最充分的、确凿优利德 论据作为立论的依据。在论证时，必须经过周密的思考，进行严谨的论证。坚持论文的科学性，就要坚持实事求是，切忌感情用事，更不能凭空臆造、随意发挥。论文的科学性表现在：
论文观点客观。正确鲜明集中。无论是证明还是反驳，论点必须正确。在论证过程中，紧紧围绕论点进行论述，得出令人信服的结论。
论据确凿，足以支撑作者观点。观点需要用充分有力的、真实可靠的论据来支持。要求作者充分掌握第一手资料，查阅大量相关数据，认真核实每个论据。为立论打下良好的基础。
论证合乎逻辑。 用证据说明论点，要善于用科学的方法，充分阐述论点与论据之间内在的逻辑，做到论文结构严谨、推理严密。
四、论文的平易性
平易性是论文在形式与表达方面必不可少的特点。值得是要用通俗的语言表述科学道理，不仅要做到文字从字顺，而且要准确、鲜明、和谐、力求生动。具体如下：
论文的结构要有条理性，主次有别，言而有序。不求章法奇特，但求顺理成章。
做到概念准确。判断正确，事物与事物、事理与事理之间的联系同异分明，说明事物事理的内容、属性和存在形式时要恰如其分，如实反映客观事物、事理的面貌。
论文文句流畅，叙述深人浅出。把深奥的问题尽可能明白无误地表达出来。要求论文写作语言具有明确、简洁周密、规范的特点，遣词造句不仅要合乎语法规范，而且要注意词汇的精确性和单性，避免产生歧义。
要将自然语言和人工语言（图像、照片、表格、符号、公式等）配合使用形成独特的书面语言表达体系，这不仅可以节省篇幅，提高直观性、形象性，还便于读者理解，增添阅读的兴趣。
五、专业性
论文的专业性是区别不同类型论文的主要标志，也是论文分类的主要依据。按研究的学科，可将学术论文分为自然科学论文和社会科学论文。每类又可按各自的门类分下去。如社会科学论文，又可细分为文学、历史、哲学、教育、政治等学科论文。按研究的内容可将=学术论文分为两类研究论文和应用研究论文。理论研究，重在对各自学科的基本概念和基本原理的研究；应用研究，侧重于如何将。
学论文分为理论研究论文和应用研究论文。理论研究重在对各自的学科概念和基本原理的研究；应用研究侧重于对如何将各学科的知识转化于专业技术和生产技术，直接服务于社会。
六、实践性
是论文价值的具体体现。它表内容上，旨在根据一定的各位职责与目标要求培养能力。
毕业论文的主要特点是受导性、学术性、习作性、考核性。
理论性是毕业论文的主要特点，是毕业论文的灵魂所在。在形式上，它是由概念、判断、推理组成的一个体系。作者往往运用抽象思维的方法，对丰富、复杂的材料进行分析。如果一篇毕业论文仅停留在对事实的说明和描述上，没有必要的理论分析和论证，那就不能上升到理论的高度，写得再生动、再漂亮，也不能算是好论文。
创造性就是要求文章不能简单地重复前人的观点，而必须有自己独到的见解。毕业论文虽然只是学生从事科学研究的入门工作，但是也要注意对所研究的问题采取新的分析方法，得出新的观点。应鼓励学术创新，避免选择已经完全得到解决的常识性问题。
毕业论文是在导师指导下独立完成的科学研究成果。作为大学毕业前的最后一次作业，离不开教师的帮助和指导。对于如何进行科学研究，如何撰写论文，等等，教师都要给予具体的方法论指导。
在学生写作毕业论文的过程中，教师要启发引导学生独立进行工作，注意发挥学生的主动创造精神，帮助学生最后确定题目，指定参考文献和调查线索，审定论文提纲，解答疑难问题，指导学生修改论文初稿，等等。学生为了写好毕业论文，必须主动地发挥自己的聪明才智，刻苦钻研，独立完成毕业论文的写作任务。
毕业论文属科技论文，它应具有以下特点：
1、科学性
科学性――就描述对象而论，是指论文只涉及科学与技术领域的命题;就描述内容来看，是指它要求文章的论述具有可信性。科技论文不能凭主观臆断或个人好恶随意舍取素材或得出的结论。论点的推理要求严密、并正确可信。揭示的是普遍规律或特殊规律。
2、逻辑性
辩证逻辑揭示内在规律和联系。
形式逻辑揭示外部规律和联系。
逻辑性是文章的结构特点，它要求论文的脉络清晰、结构严谨、推论合理、演算正确、符号规范、文字通顺、前呼后应、自成系统。不论文章所涉及的专题大小如何，都应该有自己的前提或假说、论证素材和推断结论，不应该是一堆堆数据罗列或一串串现象的自然描绘。
3、首创性
首创性是对描述的内容区别于其它文献的一种特殊要求，创新是科技论文的灵魂。它要求论文所提示的事物现象、属性、特点、以及事物变化时所遵循的规律，必须是前所未见的、首创的、或部分是首创的，而不是对他人工作的复述或解释。
首创性就是要说出别人没有说过的话，道出别人没有道出的理，有新意，有独道。
4、继承性
就是要站在巨人的肩膀上去看旧问题发现新问题。
论文的特征就是论说、阐明道理，揭示某种规律和特征。因而不是记事状物，也不是叙述过程，更不是抒发情感。
2013年注：下面这篇写关于“特征值和特征向量”的理解，是在本人（紫松同学）考研期间复习线性代数时思考好些天写的（考研数一分数144，大一线代分数100，文章写的很细微，但我觉得值得读）。之前只觉得对以后的学弟学妹比较有用，本人这段时间研究回归分析，发现也需要大量线性代数知识，就拿出来跟更多人分享。文章并未改动，现在读来是有不少疑问的。下面是当时写的文章。
和很多大学生朋友一样，我也一直被线性代数中的矩阵的特征值和特征向量的意义所困。它似乎是先有公式，而后才有定义。就像有人告诉你女人就是那个样子，抽象的你无法探究为什么是这个样子。自己思索了一段时间，又在网上查了哈相关的博客文章，特征值与特征向量的意义渐渐清晰起来。不揣冒昧，权且对特征值和特征向量内涵探索的小打小闹。
也许我需要先提出几个问题。
这是几个大问题，还有一些小问题是在搞懂这些大问题之后产生并需要搞懂的。我们从公式 A·x = cx 入手。A是个矩阵，x也是个矩阵（我们需要把x看作向量更有助于理解，写成矩阵是为了 矩阵乘法运算规则的需要），c是常数系数。我们寻找他们的意义，不可回避的问题是从什么角度上找它的意义。物理，化学，哲学，都可以有意义，但是那是在其他学科中运用后的意义。其实，我们还是应该用数学角度的意义去解释他们，才能更好的运用到其他学科。那么，什么是数学角度呢？我的理解是空间，一个n维空间，一维时已经可以解释所有实数了，二维时可以解释所有复数了，或者一个平面图形了。以此类推，数学就是放在n维空间的基础上去解释问题。那好，先说n维空间本身又具有什么特征呢？必须是n个相互正交的维度。每个维度可以想像成一个坐标轴，有正方向和负方向。向量是什么意义呢?容易想象n维向量就是n维空间中的特定的方向。一个向量就是一个方向。把A乘到x上，得到一个方向未变但在长度上有伸缩改变的向量（方向未变不准确，有可能变反向）。这是让A乘以他的特征向量表现出来的性质。如果让A乘以一个非特征向量y，显然会得到一个跟y方向不同的向量（也许长度也会有伸缩）。这是将矩阵乘到向量上向量所发生的改变。那么，乘以一个矩阵似乎就对应一种变换。我们暂时理解矩阵本质上就是n维空间上的一种变换。显然还不够过瘾，你也许想矩阵怎么不对应空间上一个实物，像向量那样？对，一定对应，只是我们还需要将他找寻。我们喜欢用已知探索未知，也许我可以假设你具备将某种未知先当作一个特殊的已知的思维方式。我们把矩阵先当作一种特殊的向量。我又要提问了，向量a点乘向量b是个什么东西呢？是a在b上的投影（为了方便理解，我们把投影约束为大小，而不具备方向）。我们还需要约束一个重要的概念，我们把方向在其所在维度上归一，也就是一个单位向量。那好，方向就是单位向量。 A·x = cx ，左式即可理解为大小等于A在方向x上的投影并且方向与x相同的向量。c此时就是投影。重复一边，特征值就是投影。矩阵有n个特征值（先假定各不相同），那么就对应n的正交的特征向量，矩阵在各特征向量上都有投影，大小等于特征值。现在可以回答矩阵的实物意义了，那就是它的各特征向量在n维空间上的组合，组合系数就是对应各线性值。细心的朋友可能发现这个定义是在各特征向量皆归一化的基础上的，也发现特征值一定唯一，但特征向量因为标准定义规定的原因可以不唯一，即可在归一化特征向量前面添加任意不为零的系数。我苟且给出一「松式」：n个不同的特征向量的方向 + 特征值大小的投影 = 矩阵。到目前为止，我都假设的是矩阵A有n个不同的特征值。上面的问题，前三个问题基本有了答案，还差第4个问题。
暂没法解答，接着提出几个问题了：
我们都发现这个现象，不关是什么样的矩阵，不同的特征值对应的都是互相线性无关的特征向量。而重根有可能对应线性无关的特征向量，也可能都对应一个方向。这只是对上面问题的解释。现在我们再来审视矩阵的几何意义。特征值只是代表某特征方向上的投影（大小），这样想来他们相不相等没有任何直接关系，完全可以各自对应不同的特征方向，这只是矩阵在他的某几个特征方向上的投影大小相等而已。而重根对应同一个特征方向，又该如何解释了？这个问题，暂时保留探讨。
关于特征值为0时，为什么有特征方向？我们能说（0,y,z）就是（y,z）吗？显然不能，前者说明在三个方向上定义某物，尽管其中一个方向上没有作用，后者却只探讨某物在两个方向的作用。定义的基础都不一样，自然不能完全一样。矩阵的定义也是如此，可以看出方向较之投影是先行特征，方向是与投影无关的一种特性。
到这里了，大部分问题已经解决了。也许，聪慧的朋友们可以用上面的理解来解释问题或者做题了。或者跟着我继续看看这些理解能怎么做题。
前提：Ci是A的特征值，Xi是对应的特征向量。
最后，我来总结一下。简单点： 线性无关的方向 + 相应的投影 = 矩阵 = 变换 如果将人生各阶段当作不同的维度 ： n个不同人生阶段 + 相应的能量 = 人生
本文写于2011-11-11 紫松
date: 2013-11-18 14:42:27 author:
挺有用的。谢了
date: 2014-06-02 23:57:11 author:
A*x应该是在A坐标系下对应各行向量为坐标轴的投影为x吧，同是考研党，还望指正
date: 2014-09-13 14:04:35 author: 何求
理解很多性质都很有用，谢啦！
date: 2015-04-06 16:22:26 author: 当代
作者很强大，佩服你的高见。能将矩阵A分两个不同的层面（变换和特殊矩阵）进行解释特征向量和特征值，很有新意。全文都是为了解释何为特征向量和特征值，却通过从不同的侧片来看矩阵A自然地引出特征向量和特征值，又没让人觉得太突然，很好的博文。
date: 2015-04-06 16:49:51 author: zisong
@何求 我当初靠着这些理解，解题的确快和准了很多。
这么专业的问题还是自己解决，最好能找个英语老师指导下。 翻译下第一句 Research And Application Of Eigenvalue And Eigenvector Problem Of Matrices
上节课主要介绍了线性方程组的两种迭代求解算法，一个是Jacobi迭代（同步更新），一个是高斯塞德尔迭代（异步更新）。对于特殊的三对角系统，一种更简单快捷的Thomas算法也可以用来求解。之后介绍了向量范数与矩阵范数的概念，线性系统数值解的相对误差可以通过条件数来判定。本节课主要介绍矩阵的特征值，特征向量，以及其中涉及到的几种数值算法。
给定 维矩阵 ，满足下式的数 称作矩阵 的一个特征值： 而对应的向量 称作对应特征值 的一个特征向量。上述运算可以推广到更一般的形式，而不仅仅是针对矩阵运算。假设 是一个关于 的连续函数， 表示微分运算，则 就可以表示为： 这是特征值问题的一种更广泛的表现形式。 特征值与特征向量在工程与科学中有着非常重要的作用。例如，在振动研究中，特征值表示系统或组件的固有频率，而特征向量表示这些振动的模式。 为了求解一个矩阵的特征值与特征向量，根据定义，可以得到： 假设 是非奇异矩阵，则上式只有零解，不满足求解要求，因此，想要求解特征值，需要 ， 该式称作特征方程，特征方程的根即为矩阵 的特征值。 例： 其特征方程为 求解可得特征值为 然而，对于阶数比较高的矩阵，特征值的求解不会这么简单，需要使用数值求解方法。
这节主要介绍如何使用幂法和反幂法分别求解一个矩阵所有特征值中模最大和模最小的值。给定矩阵 ，假设其有 个实特征值 其对应的特征向量为 。幂法是通过迭代法来计算最大特征值 ，首先随机选取初始向量 ， 迭代计算 ， 进一步计算 , 可以看到，其迭代公式为: 注意到 是最大的特征值，因此 ，当 充分大时，有 。具体实现时，并没有 和 的值，因此，迭代计算 后，规范化 即可（有待进一步验证，采用向量范数并不合理）。注意：最大特征值是指模最大的那个特征值 MATLAB实现：
给定矩阵 ，假设其有 个实特征值 其对应的特征向量为 。 是最小特征值，首先注意到如果 ，则 , 即 ，因此有 。可以看到，当 为矩阵 的最小特征值时， 将是 的最大特征值，此时运用幂法求解 的最大特征值，取倒数，即为 的最小特征值。反幂法中，需要注意的是，当最小特征值为0时，其倒数是没有定义的，反幂法求解的是第二小的特征值，且需要采用移位反幂法。 MATLAB实现
幂法与反幂法是用来求解矩阵的最大特征值与最小特征值，想要求解矩阵所有特征值，可以使用QR分解法。假设 是一个 的矩阵，有 个互不相同的实特征值。QR分解的理论保证是， 如果对矩阵 做如下相似变换： ，则特征值保持不变。 这是因为如果 ，则取 ，就有 ，进一步有 ，因此 也是 的特征值。对 进行QR分解的算法流程：
MATLAB实现
在每次迭代中，对矩阵进行QR分解的操作是通过使用一种特殊的矩阵Householder矩阵来实现的，其形式为 其中 ， 与 为列向量， 为向量的2范数。 矩阵是对称的，是正交的。 这就意味着 与 是相似的。下面详细说明，如何通过 矩阵将 分解为一个正交阵和一个上三角阵的乘积。
MATLAB实现：
这节课主要介绍了矩阵特征值与特征向量的概念，对于低阶矩阵，可以通过特征方程求解出矩阵特征值；对于高阶矩阵，可以使用幂法与反幂法求解出矩阵的最大特征值与最小特征值，要求出矩阵的所有特征值，则可以对矩阵进行QR分解，将矩阵 相似化为一个上三角矩阵，上三角矩阵的对角线元素即为矩阵 的特征值。