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nonlinear dynamic是中科院Q4区。
该杂志的范围涵盖了与机械、结构、民用、航空、海洋、电气和控制系统相关的所有非线性动态现象。评论文章和原始贡献是基于分析、计算和实验方法。 还研究了李群、多体动力学、机器人学、流固相互作用、系统建模和识别、摩擦和阻尼模型、信号分析和测量技术。
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学科现有专任教师75人，其中教授7人、副教授18人、博士生导师6人、硕士生导师21人；拥有享受国务院政府特殊津贴者2人、教育部霍英东优秀青年教师奖获得者2人、山西省委联系高级专家2人、教育部新世纪优秀人才1人、山西省教学名师5人、校级教学名师15人、全国优秀教师1人、山西省优秀科技工作者、山西省“新世纪学术技术带头人333人才工程”、 山西省优秀青年学术带头人选各2人、5人担任省级以上学会的常务理事、4人担任国内外学术期刊编委及美国数学评论评论员。学科下设3个研究所，11个研究室（平台），1个省级示范实验中心和1个高性能计算工作站。在生物数学、组合数学、图像信息处理的数学理论、非线性泛函分析、现代优化方法及应用、动力系统理论与应用、统计学及其应用等方向形成了一定的特色，取得了大量的研究成果；拥有数学建模创新教育基地和若干校外实习基地，可以保证学生课内外的实践教学。在科学研究方面，本学科承担各类科研项目共计40余项，合计科研经费600多万元，其中国家自然科学基金项目6项、省部级项目2项、山西省自然科学基金项目6项。发表科研论文共计560余篇，其中被SCI、EI索引200篇。靳祯教授团队的1篇国际论文入选“2008年中国百篇最具影响国际学术论文”；出版学术专著5部，获得省级以上科技奖项6项，其中一等奖1项。 物理是一个一级学科，覆盖理论物理、凝聚态物理、光学、声学、原子与分子物理等多个二级学科和研究方向。我校的物理学科经过近十年的努力和建设，逐步形成介观物理、功能材料物理、光电信息物理、计算凝聚态物理和微纳传感技术等5个研究方向；拥有专业实验室面积合计300平米，基础实验教学中心2500平米，仪器设备值合计近2千万元，为学科发展提供重要实验支撑；并逐步形成加强基础、理工融合的办学特色，实行应用基础研究和工程开发相结合，以推动经济建设为目标，努力实现产学研相结合。物理学科现有教师和教辅人员41人，其中教授8人，副教授7人，高级实验师6人；博士导师2人，硕士导师8人；留学归国人员有7人，特聘外籍专家1人，省级教学名师3人，校级名师5人。主持完成教育部重大教改项目（世界银行贷款）一项，山西省教改项目5项；获山西省教学成果一等奖3项，二等奖2项。来发表论文40余篇，其中在学术刊物发表30多篇，国外学术刊物发表篇10篇。在学术会议发表9篇。SCI、EI、ISTP收录20多篇。并且主持国防973项目1项，国家自然基金5项，省部级项目19项；授权发明专利5项。 学科现有教师19名，其中教授3人，副教授6人，高级工程师1人，硕士生导师6人，具有博士学位的教师11人，4人博士在读；有山西省教学名师2人，校教学名师7人。近五年共出版教材5部，主持和参与国家级、省级、校级等基金和教改项目40多项、发表学术论文160余篇，获得省级教学成果一等奖2项，省级教学成果二等奖3项，省级教学成果三等奖3项。集中建设了理论力学、材料力学、弹性力学、结构力学等多门课程，其中理论力学、材料力学被评为2003、2004年的省级精品课程。学科现有一个校级工程力学专业实验室，下设流体力学实验室、振动力学实验室以及性能测试实验室，现代化的实验设备和教学手段为学生的素质教育和创新能力培养提供了支撑；并为相关学科学生的培养提供了支撑。2011年获批并正在建设一个山西省虚拟仿真实验教学中心。 理学院教授，博士生导师，研究方向为:生物数学动力学,复杂网络传播动力学。现任中国生物数学学会副理事长，《中北大学学报(自然科学)》主编，《生物数学学报》常务编委，国际SCI收录期刊《PLoS One》、《Journal of Applied Mathematics》、《International Journal of Biomathematics》编委，《Discrete Dynamics in Nature and Society》副主编，美国数学评论《Mathematical Reviews (MR)》评论员，德国《数学文摘》评论员。主持国家自然科学基金5项（其中重点项目1项），省部级项目16项。在自然子刊《Scientific Reports》，英国皇家学会会刊《J. R. Soc. Interface》，以及《PLoS One》、《Phys. Rev. E》、《J. Theor. Biol.》等国内外重要学术期刊发表学术论文230余篇，被SCI收录140多篇（含通信作者），其中2区以上期刊发表论文60篇，SCI总引用1000多次，H-指数16。有一篇论文入选“2008年中国百篇最具影响国际学术论文”，在科学出版社、高等教育出版社、世界科学出版社出版专著5部。在生物数学动力学与复杂网络传播动力学方面做出了卓有成效的工作。 中北大学理学院教授，博士，留学博士后；博士生导师。现任化学系主任，《Journal of Measurement Science and Instrumentation》、《中北大学学报》、《新技术新工艺》编委，国家自然基金同行评议专家，山西省青年学术带头人。承担国家自然科学基金2项，国家留学基金项目1项，山西省自然科学基金项目1项，山西省归国留学基金项目2项，山西省教育厅科技开发项目2项，山西省科技攻关项目1项，山西省青年学术带头人资助计划项目1项，横向项目2项。在绿色、高效阻燃高分子材料的合成化学和功能性纳米材料的软化学制备及应用等方面已取得了突出的研究成果，发表学术论文120余篇，50余篇被SCI、EI所收录，有5篇是在SCI影响因子3到4的国际著名期刊上发表，并被多次引用。在兵器工业出版社合作出版教材两部。获国家发明专利3项，获山西省科技进步奖2项，获国际先进水平的省部级鉴定5项。2007年获第五届山西省青年科技奖，青年科研专家称号。负责的无机化学课程2005年被评为山西省精品课程。2008年获山西省教学成果二等奖1项。2010年入选山西省“新世纪学术技术带头人333人才工程”省级人选。培养硕士研究生18名，博士研究生5名，已毕业博、硕士25人。她指导的硕士毕业论文连续被评为优秀硕士学位论文。荣获“山西省2008年度优秀硕士学位论文指导导师”的荣誉。连续多年被中北大学评为先进科技工作者,是中北大学化学学科的带头人。在中北大学实行的业绩岗位考核中，连续10年成绩突出。 中北大学理学院教授，博士生导师，山西省教学名师，山西省优秀教师，山西省委联系的高级专家，新世纪学术技术带头人333人才工程省级人选，理学院院长 。2001年在中国科学技术大学获理学博士学位，2005年在美国Georgia State University做高级访问学者。1998年和1999年分别被山西省政府授予山西省优秀教师和模范青年知识分子称号，2003年分别荣获中北大学杰出教师、中北大学优秀主讲教授称号，2004年荣获山西省教学名师称号，是山西省精品课程《线性代数》负责人，主编出版高等学校教材4部。主持完成国家自然科学基金项目1项、山西省青年科学基金项目1项、山西省自然科学基金项目2项、国家级“十一五”教学研究项目1项。主持国家自然科学基金项目1项、山西省教学研究项目1项。在国内外重要学术期刊上发表科研论文140余篇，其中SCI收录36篇、EI收录14篇。从事的主要研究方向：组合数学、图论及其在相关学科中的应用。 中北大学副教授，1994年毕业于陕西师范大学数学系，2005年在中北大学取得硕士学位。2000年获校第二届“青年教师基本功竞赛”二等奖。1998-2005间,在我校指导国际、国内大学生数学建模竞赛中获国际二、三等奖各两项，国内一等奖三项、二等奖一项，连年获院通报表扬。2004年获校教学成果一等奖2项。省级精品课程奖。2005年获第一届中北大学优秀教材一、三等奖各一项。曾主持完成2项校自然科学基金项目，参与2项山西省自然科学基金项目的研究。在研的有1项国家自然科学基金及1项山西省自然科学基金项目。在国内外重要学术期刊上发表论文10余篇，其中EI收录2篇。编著教材2部。 理学院副教授，博士，硕导。1997年毕业于太原理工大学数力系工程力学专业，在理学院力学系任教至今，主要承担《理论力学》、《振动力学》的主讲工作。所讲课程被评为山西省精品课程。2003年12月曾获山西省第三届青年教师教学基本功竞赛三等奖。2003年4月获得华北工学院机械电子工程系动力机械及工程专业的硕士学位。2004年被评为中北大学教学名师“优秀青年主讲教师”。2009年6月获太原理工大学应用力学研究所固体力学专业的博士学位，研究方向是结构在磁弹性耦合作用下的非线性动力学。在教学上曾参与两项教改项目的研究，其中一项获得省级二等奖，并参与了《理论力学》教材的编写工作。科研上曾承担校科学基金项目两项，主持省青年基金一项，作为骨干参与国家基金两项，并参与了“军用发动机减振技术”及“柴油机金属支撑制造及实验”的理论和实验研究工作。发表教学和科研论文十多篇，其中被EI检索四篇，ISTP检索三篇。
《非线性动力学理论与应用的新进展》主要研究工程系统中的非线性动力学、分叉和混沌理论、控制理论及其应用，重点介绍近几年来国内外的最新进展，包括高维非线性系统的多脉冲全局分叉、时滞动力系统、非光滑动力系统等变非线性动力系统、C-L方法、规范形的计算、非线性随机优化控制、后绝对稳定性、网络结构与动力学、非线性色散波、非线性系统大范围运动动力学、碰撞振动系统、微转子系统、轴向运动弦线和梁的非线性动力学。《非线性动力学理论与应用的新进展》可供高等院校力学、机械、数学、物理、航空航天、土木工程等专业的高年级本科生、研究生阅读学习，也可作为教师和科研人员的参考书。
一、耗散结构理论［1～2，21～22］
耗散结构理论是以比利时化学物理学家普利高津（Prigogine）为首的布鲁塞尔学派经过长达20年的研究提出的一种广义热力学理论，并在多个领域得到广泛应用。
耗散结构理论是在深入分析自然界中的两对矛盾和时间不可逆性的基础上产生的。两对矛盾是指牛顿力学与热力学之间的矛盾以及热力学“退化论”与达尔文的“进化论”之间的矛盾。在牛顿经典力学中，时间是可逆的，事物按某一既定规律发展演化，从现在可以完全推知将来，也可从现在推演过去。牛顿力学所描述的图像是一幅静止的、不变的物理图像。热力学虽然描述的是一个演化的、变动的物理图像，时间是不可逆的，但他认为事物的演化总是朝着平衡态方向，即朝着均匀、单一、简单的方向演化，即有序向无序演化，这实质上是一种退化。达尔文的“进化论”则讨论了与热力学完全不同的另一类演化，其演化方是朝着复杂、非平衡进行的，是一种“进化”，当然时间更是不可逆的。对于同一世界会出现这几种互不相容的演化图像，普利高津（Prigogine）等人的研究结果表明，其关键在于系统本身的性质和系统所处的状态不同。系统有孤立系统、封闭系统和开放系统之分。孤立系统是指与外界既无物质交换又无能量交换的系统；封闭系统是指与外界仅有能量交换而无物质交换的系统；开放系统则与外界既存在着物质交换又存在着能量交换。系统性质的不同，决定了其热力学第二定律的表达式也不同。对于不同性质的系统，系统熵变的表达式分别为：
孤立系统：
ds≥0 （1-19）
封闭系统：
非线性岩土力学基础
开放系统：
ds=des+dis （1-21）
式（1-19）～（1-21）中，ds为系统的熵变；Q为热量；T为温度。des是由于系统与外界交换物质和能量而引起的熵变，称为熵交换，des可正、可负或为零。dis是系统内部各种可逆过程产生的熵，称为熵产生。因为熵只能产生不能消灭，所以熵产生具有非负性。式（1-21）表明，在开放系统中，若des＜0，同时｜des｜＞dis，则有：
ds=des+dis＜0 （1-22）
式（1-22）与式（1-19）所表达的熵增加原理完全相反。也即若在开放系统中，由于与外界进行物质和能量交换而产生了负熵流des，并大于系统内自发过程引起的熵产生时，整个系统的熵向减小的方向发展，于是系统便可能产生与孤立系统完全相反的演化图像，由无序向有序演化，产生耗散结构。
系统开放仅是系统“进化”的必要条件，并不是充要条件。开放系统是否能产生有序结构，还与系统所处的演化状态有关。系统按状态可分为平衡态和非平衡态。平衡态是指在没有外界影响下，系统内部各部分长时间不发生任何变化的状态。在非平衡态中还经常用到非平衡定态的概念，但平衡态与非平衡定态有着本质的区别，平衡态不存在任何流和梯度，而非平衡定态存在着稳恒的流和梯度，即通常所说的动态平衡。
在耗散结构理论中，与热力学的熵增加原理相对应，有一个最小熵产生原理。其内容为：只要在非平衡线性区，在稳恒的外界条件下，系统定态的局域熵产生一定比非定态的小。一个耗散结构的形成和维持至少需要以下条件：
1）系统必须是开放系统，孤立系统和封闭系统都不可能产生耗散结构，只有开放系统才有可能引入负熵流，也才具备产生耗散结构的必要条件。
2）系统必须处于远离平衡的非线性区，在平衡态或近平衡态，大量的实验和理论研究都证明其不可能发生质的突变从无序走向有序，也不可能从一种有序走向新的更高级的有序。
3）系统中必须有非线性动力学过程，如正负反馈机制等。这种非线性相互作用，能够使系统内的各要素之间产生协调动作和相干效应，从而使系统从杂乱无章变为井然有序。例如，岩土体系统中各要素相互作用仅仅是线性的，那么无论它们怎样组合，只有量的增减，而不可能有质的变化，也就不会有斜坡失稳，地震和火山的爆发。
4）涨落现象。涨落既可以来自系统内部，也可以来自于外界环境。在系统发生相变时涨落起着重大作用。处在临界点处的系统，原来的定态解失稳，但系统不会自动离开定态解，必须有涨落才能使系统偏离定态解。涨落是系统从原来的均匀定态形成耗散结构的最初驱动力。
正是满足了以上条件，系统的发展过程可以发生突变，通过能量的耗散和系统内非线性动力学机制来形成和维持与过去结构完全不同的宏观时空有序结构。
二、协同学［1～2，24］
协同学是德国理论物理学家哈肯（Haken）于1971年创立的，它是从动力学的角度研究从无序到有序结构演变的规律性。协同学的突出贡献是：发现了在分支点附近慢变量支配快变量的普遍原理并给予了动力学表述，该原理使人们对自组织的形成机制有了更深刻的认识。
协同学研究系统在外参量的驱动下和在子系统之间的相互作用下，以自组织的方式在宏观尺度上形成空间、时间或功能有序结构的条件、特点及其演化规律。协同系统的状态由一组状态参量描述，这些状态参量随时间变化的快慢程度各不相同。当系统逐渐接近于发生显著质变的临界点时，变化慢的状态参量的数目将会越来越少，有时甚至只有一个或少数几个。这些为数不多的慢变化参量完全确定了系统的宏观行为，可表征系统的有序化程度，称为序参量。协同学的主要内容就是用序参量演化方程研究系统的各种非平衡定态和不稳定性。
协同学提出了两个重要原理——伺服原理和最大信息熵原理，伺服原理在低维系统中又称为绝热消去原理。
伺服原理的基本思想是：虽快变量数目众多，但它们对相变的过程和结局不起多大作用；慢变量虽数目较少，但它们决定着演化的进程和结局。因此，可以想办法消掉快变量，用慢变量方程表示系统的演化，这便是绝热消去法，推广到n（n＞2）维则为伺服原理。
最大信息熵原理：任何系统除了受到外界条件约束外，其内部总是具有一定的自由度，这种自由度导致系统内部的各元素处于不同的状态，状态多样性（复杂程度、混乱程度）的定量计量尺度称为熵，系统的熵会争取（或呈现）最大的自由度以实现熵的最大化，因此，系统的总信息在相变点存在极大值。由最大信息熵原理可以从宏观上推断系统从无序走向有序过程中临界点的具体位置。
协同学中求解序参量演化方程的方法主要是解析方法，即用数学解析方法求出序参量的精确的或近似的解析表达式及出现不稳定性的解析判别式。在分析不稳定性时，常常用数学中的分岔理论，在有势存在的特殊情况下也可应用突变理论。协同学也常采用数值方法，尤其是在研究瞬态过程和混沌现象时更是如此。
协同学与耗散结构理论及一般系统论之间存在诸多相通之处，它们之间既有联系又有区别。一般系统论提出了有序性、目的性和系统稳定性的关系，但没有回答形成这种稳定性的具体机制。耗散结构理论则从另一个侧面解决了这个问题，指出非平衡态可成为有序之源。协同学虽然也来源于非平衡态系统有序结构的研究，但它摆脱了经典热力学的限制，进一步明确了系统稳定性和目的性的具体机制。
三、混沌动力学［12～17］
混沌（chaos）一词首先出现在Li和Yorke 1975年发表的论文《周期3则混沌》中［2］。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，但到目前为止，还没有一个很好的关于混沌的可操作的定义。然而不论哪一种混沌定义，都有一个共同的特点：在参数空间的一定范围内，确定性的非线性系统出现长期行为对初值的敏感依赖性。在混沌运动中，初值非常靠近的两条轨道随着时间的发展会指数分离。这也就是说，对轨道的长期行为不可能作出准确的预测。
对于保守系统，满足不同初始条件的解不会同时趋于同一点集；而对于耗散系统，满足不同初始条件的解可能趋于同一点集，这种点集被称为吸引子。混沌运动的吸引子通常具有非整数维，因而也称为奇怪吸引子。
四、分形理论［5～11］
分形是美国科学家Mandelbrot在1977年提出来的，他把海岸线、雪花、混沌等貌似杂乱无章，但具有精细结构的图形统称为分形。这里的精细结构主要指的是自相似结构，即它无统一的特征尺度，但在所有尺度上的图像是整体图像的一个缩影，彼此是相似的。分形的主要描述是分数维，即它的容量维数不是整数而是分数。维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中确定一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维，平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
事实上，自然界中的绝大多数分形现象不能严格满足自相似条件，如连绵起伏的山脉轮廓线，曲折蜿蜒的江河，以及材料断裂后展示的断口图像等，它们的自相似是近似的，是统计意义上的自相似。关于统计分形的详细理论可参阅文献［9］。
五、突变理论［1～7，12～18，23］
突变理论是20世纪70年代发展起来的一门数学学科，由法国数学家Thom于1972年正式创立。突变主要是指在事物的发展变化过程中，常常会从一个状态跳跃式地变到另一个状态，或者说经过一段时间缓慢的连续变化之后，在一定的外界条件下，会产生一种不连续的变化。这类突变现象在岩土工程中是普遍存在的，如地震、岩爆、滑坡、崩塌等都是突变现象。
突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一种新的判别突变、跳跃的原则，即在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。Thom指出，发生在三维空间和一维时间四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折叠型突变（Fold Catastrophe）、尖点型突变（Cusp Catastrophe）、燕尾型突变（Swallowtail Catastrophe）、蝴蝶型突变（Butterfly Catastrophe）、双曲型脐点（Hyperbolic Umbilic）、椭圆型脐点（Elliptic Umbilic）和抛物型脐点（Parabolic Umbilic）。在七种突变模型中，最常用的是第二种，即尖点突变模型，如图1-5所示。由图1-5可知，三维空间的坐标分别为控制参数a，b和状态变量x。分叉集的图像在控制参数（a，b）控制的平面上为一个半立方抛物线，即平衡曲面上下两叶折屈边界在系统控制参数（a，b）平面上的投影，也就是平衡曲面到控制参数平面的拓扑映射。因此，分岔点集（a，b）将控制参数平面划分成两个区域，一个在叉形三角区域内，另一个在叉形三角区域外。
根据图1-5可总结出突变模型的主要特点有：
1）多模态，系统中可能出现两个或多个不同的状态，也就是说，系统的位势对于控制参数的某些范围可能有两个或多于两个的极小值；
2）不可达性，在平衡曲面折叠的中间部分，有一个不稳定的平衡位置，系统不可能处于此平衡位置（即不可达）。从微分方程解的角度，不可达对应着不稳定解；
3）突跳，控制参量很小的变化会引起状态变量很大的变化，从而导致系统从一个局部极小值临界点突跳到另一个局部极小值临界点。发生突跳时，势能（或状态）会从一个逐渐消失的局部极小值转移到全局或局部极小值的另一个临界点，这种转移是以突变方式完成的，即势能的变化是不连续的；
4）发散，在临界点附近区域，控制参数初值的微小变化（微扰）可能导致终态的巨大差别，这表明对参数的微小扰动将引起系统物理过程或系统状态本质的变化；
5）滞后，任何一个物理系统不能严格地逆向重复某种变化过程时，就会出现滞后现象。例如，尖点突变并不是在分岔集内发生，而是在分岔集线上发生，从底页跳到顶叶与从顶叶落到底页发生的位置不一样；
6）多径性，状态变量在平衡曲面中处于某一状态，可以通过控制参量变化的不同路径来实现。
图1-5 尖点突变模型
由于突变理论在岩土体系统的非线性理论分析中占有重要地位，下面将详细地进行介绍。
1.梯度系统、突变及其条件
在力学系统中，质量为m的质点的牛顿第二定律可以表示为
非线性岩土力学基础
式中， 表示阻尼项；F表示外力项，若外力有位势V，即
非线性岩土力学基础
则牛顿方程（1-24）可表示为
非线性岩土力学基础
如果系统加速度较小，则方程（1-25）可近似写为
非线性岩土力学基础
它表示阻尼力与外力平衡。方程（1-26）称为梯度系统。
设梯度系统的平衡点为x*，它满足：
非线性岩土力学基础
因此，平衡点x*是位势的临界点或驻点，它的稳定性由 在该点的正、负号决定：若 （位势V的极小值点），则平衡点x*是稳定的，它称为梯度系统的吸引子；若 （位势V的极大值点），则平衡点x*是不稳定的，它称为梯度系统的排斥子。归纳起来为：
非线性岩土力学基础
吸引子与排斥子的分岔点满足：
非线性岩土力学基础
它是位势的拐点，常是结构不稳定之处。
2.通用扩展和余维数
为了讨论方便，通常位势V（x，μ）取为x的多项式。不失一般性，将满足条件（1-29）的x*和μ取为（x*，μ）=（0，0），这里μ为控制参数。
设势函数V（x）在μ=0处具有如下型式：
V（x）=a3x3+a4x4+a5x5+…（μ=0） （1-30）
设a3≠0，则在x=0附近，x4、x5等高阶小项可忽略，而且可以通过变换使a3=1/3，则式（1-30）可近似写为
非线性岩土力学基础
扩展式（1-31），Thom提出这种扩展的标准形式为
非线性岩土力学基础
μ=0时，式（1-32）退化为式（1-31）。因为由式（1-32）表征的位势V内只含一个控制参数μ，此时称系统的余维数为1。
以此类推，V（x）= ， ， （μ=0）的通用扩展分别是
非线性岩土力学基础
非线性岩土力学基础
非线性岩土力学基础
它们相应的梯度系统的余维数分别是2，3，4。
由式（1-32）、式（1-33）、式（1-34）和式（1-35）构成的梯度系统出现的突变分别称为折叠、尖点、燕尾和蝴蝶突变。下面我们重点说明折叠突变和尖点突变。
3.折叠突变
折叠突变的梯度系统由式（1-32）得到：
非线性岩土力学基础
其位势函数V（x，μ）的图像如图1-6所示，图中黑点代表系统所处的位置。由方程（1-36）可看出，系统在μ＜0时有两个平衡点：
非线性岩土力学基础
图1-6 折叠突变势函数图像
由图1-6（a）可看出， 是位势V的极大值点，是一个排斥子； 是位势V的极小值点，是一个吸引子。方程（1-36）在μ＞0时无平衡点。
系统发生突变时应满足下式，即
非线性岩土力学基础
其解为（x*，μ）=（0，0）。梯度系统（1-36）的解随μ的变化如图1-7所示。从图1-7可看出，随着μ从负到正，原先在μ＜0 的吸引子（稳定解）在μ=0 处消失，然后随着t→+∞，x→-∞。
事实上，由图1-6也可看出，当控制参数μ由μ＜0变到μ＞0时，原来处于位势极小值处的质点，由于位势极小值的逐步抬高，到达μ=0时，质点已处于位势拐点的位置上，质点必然要突然滑下来，进入t→+∞，x→-∞的状态。
在图1-7中，μ＜0的两个平衡点投影到μ轴上被折叠在一起。
图1-7 折叠突变系统的解随控制参数的变化图
4.尖点突变
尖点突变的梯度系统由式（1-33）得到
非线性岩土力学基础
为了更好地分析式（1-39），我们先分析它的两个特殊情况，后分析其一般情况。
（1）μ1=常数（取μ1=0）
此时，式（1-39）化为
非线性岩土力学基础
相应系统的位势函数为
非线性岩土力学基础
其图像如图1-8所示，图中黑点代表系统所处的位置。
非线性岩土力学基础
系统的平衡点可由式（1-40）确定，即
非线性岩土力学基础
μ2＜0时， 是位势V的极大值点，是一个排斥子； 是位势V的极小值点，是两个位势相等的吸引子。μ2＞0时，只有一个平衡点 是位势V的极小值点，是吸引子。
发生突变时应满足下式，即
非线性岩土力学基础
其解为（x*，μ2）=（0，0）。
系统（1-40）的解随控制参数μ2的变化如图1-9所示。从图1-9可看出，随着μ2从负到正，原先在μ2＜0的两个吸引子（稳定解）在μ2=0处合并，它表示原来处于位势极小值处的质点，随着位势极小值的逐步抬高，达到μ2=0时，质点已处于位势的新极小值的位置上。
图1-9 系统（1-40）的解随控制参数μ2的变化图
（2）μ2=常数（取μ2=-3）
系统（1-39）化为：
非线性岩土力学基础
此时系统的位势函数为：
非线性岩土力学基础
其图像如图1-10所示，图中黑点代表系统所处的位置。
系统的平衡点可由方程（1-44）确定，即
x3-3x+μ1=0 （1-46）
而且平衡点的个数取决于：
非线性岩土力学基础
当｜μ1｜＞2时，D＞0，位势V只有一个极小值（吸引子，图1-10（a）和（e））；当｜μ1｜ ＜2时，D＜0，位势V有一个极大值（排斥子，图1-10（c））和两个极小值（吸引子，图1-10（c））。在｜μ1｜=2处，D=0，会发生突变（图1-10（b）和（d））。
非线性岩土力学基础
根据式（1-45），突变点应满足如下条件：
非线性岩土力学基础
其解为（x*， ）=（±1，±2）。
系统（1-44）的解随着控制参数μ1的变化如图1-11所示。从图1-11可看出：若原来质点处于Q′的左边时，位势只有一个极小值，进入Q′点以后到P点以前，位势有一个极大值和两个极小值，但质点仍处在原来极小的位置上，到达P点时，质点原在的极小值位置变成了拐点。只要μ1稍稍大于2，质点将突变跳到另一个极小值的位置Q。反之，随着参数μ1由大变小，状态由Q沿QP′线达到P′，质点突变跳到Q′。这就是系统（1-44）所表征的突变现象。而且μ1由小到大和由大到小的突变发生在不同的位置上，这个现象即为滞后性。
图1-11 系统（1-44）的解随控制参数μ1的变化图
（3）μ1和μ2为变量的情况
对方程（1-33）求导，由 和 确定突变点，即
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其中第一式也是平衡点的方程。消去x得到
非线性岩土力学基础
图1-12 系统（1-33）的尖点突变
在控制参数平面（μ2，μ1）上， 的图像如图1-12所示，它是在（μ2，μ1）=（0，0）处形成尖点的两条曲线。正由于此，这种突变称为尖点突变。这两条曲线将参数平面（μ2，μ1）分成D＜0（两曲线之间）和D＞0（两曲线之外）的两个区域。在D＜0的区域，位势有两个极小值（吸引子）和一个极大值（排斥子），而在D＞0的区域，位势V只有一个极小值（吸引子）。而在D=0的线上，位势V只有一个极小值和一个拐点，在这里会出现突变现象。
六、协同性与Haken受控原理
在系统的分岔和突变现象分析中，系统的行为受到许多控制参量的影响，随着控制参量的变化，系统呈现多样化的运动，并最终显示有序的特征。Haken认为这是非线性开放系统的各子系统共同协作的结果，称为协同性［24］。
Haken同时还认为，在这种开放的耗散系统中，由于内部的相互作用，只要用极少数的几个控制参量（称为序参量）即可确定系统的演化。序参量的演变过程用梯度系统及相应的位势描述最为合适，这是开放的非线性耗散系统的普适规律，Haken称它为受控原理，数学上称为中心流形定理。下面举例说明。
对下述非线性系统
非线性岩土力学基础
显然，系统（1-51）只有一个平衡点：
（x*，y*）=（0，0） （1-52）
其Jacobi矩阵为
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矩阵的特征值为
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因此，平衡点（x*，y*）=（0，0）为鞍-结点。对应于s1=-β的特征向量（满足JX=-βX）为（x=0，y任意）。由式（1-51），令x=0求得：
非线性岩土力学基础
y（t）=y（0）e-βt（1-56）
所以，（x=0，y任意）为一稳定流形M*，它以e-βt的方式趋于平衡点。但对应于s2=0在平衡点附近的流形就较为复杂了。由式（1-51）有
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在平衡点附近，应用幂级数解法，令
非线性岩土力学基础
将其代入方程（1-57），并比较系数求得：
非线性岩土力学基础
非线性岩土力学基础
这就是由s2=0求得的不变流形，它就是中心流形Mc，如图1-13所示。
图1-13 系统（1-51）的流形
将式（1-60）代入式（1-51）第一式有
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在x=0附近，上式近似为
非线性岩土力学基础
非线性岩土力学基础
由此可知，中心流形x（t）以 的方式（相应y（t）以 的方式）趋于平衡点。
综上分析可知，非线性系统稳定流形（x=0）上的点以e-βt的方式趋于平衡点，而中心流形上的点以 和 的方式趋于平衡点。两者比较即知，式（1-51）第二式是快变量方程，第一式是慢变量方程。这样，经过较短时间 就已很小，可设快变量方程（1-51）第二式中 ，求得
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慢变量方程（1-51）第一式可以写为
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上式就是确定系统（1-51）演变的控制方程。方程（1-65）是一个梯度系统，其位势为
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nonlinear dynamic是中科院Q4区。
该杂志的范围涵盖了与机械、结构、民用、航空、海洋、电气和控制系统相关的所有非线性动态现象。评论文章和原始贡献是基于分析、计算和实验方法。 还研究了李群、多体动力学、机器人学、流固相互作用、系统建模和识别、摩擦和阻尼模型、信号分析和测量技术。
nonlinear dynamics的指数解析如下：
nonlinear dynamics杂志属于工程技术行业，“工程：机械”子行业的中等级别杂志。 投稿难度评价：影响因子偏低，但是接稿量比较大，容易发表 审稿速度：偏慢，4-8周级别/热度：黑评语：冷门杂志，关注人极少。
说明：指数是根据中国科研工作者（含医学临床，基础，生物，化学等学科）对SCI杂志的认知度，熟悉程度，以及投稿的量等众多指标综合评定而成。当然，具体的，还可以结合“投稿经验分享系统”，进行综合判断，这更是大家的实战经验，更值得分享和参考。
中学物理期刊排名物理学报、光学学报、高能物理与核物理。
一、物理学报
《物理学报》创刊于1933年的《中国物理学报》，1953年更名为《物理学报》；2009年被评为新中国60年有影响力的期刊，2010年获得中国政府出版奖期刊奖，2013年被评为全国百强科技期刊。
据2016年10月中国知网显示，《物理学报》出版文献量26557篇、总下载量3265714次、主要栏目有研究论文、研究快报等，发文领域包括凝聚态物理和材料物理、原子分子物理和光物理、统计物理、非线性物理、等离子体物理、粒子物理与核物理、物理学交叉学科等。
二、光学学报
《光学学报》是1981年创办的中文学术期刊，月刊，中国科学院上海光学精密机械研究所与中国光学学会主办，是中国科学技术学会主管。
学报主要刊登以光学科研为主体（交叉学科须侧重光学领域），有广阔研究前景、具有国内外领先水平或独创意义的学术论文，有一定独立见解的理论论述，有可靠数据的实验报道，有科学依据的技术应用，阶段性科研成果的实验快报。
三、高能物理与核物理
《 高能物理与核物理》为专业性学报，由中国科学院高能物理研究所，中国科学院近代物理研究所主办，月刊，每期96页，国内外公开发行。
主要发表粒子物理、核物理、宇宙线物理、加速器及同步辐射等学科在理论、实验与应用方面的研究论文。设有快报专栏，以最快速度发表最新重要科研成果的简要报导。对国家重大项目、重大基金项目与前沿课题取得的突破性创新成果，提供多发稿与快发稿的优惠。
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临床医学进展，不过是核心不是SCI
北京科技大学学报 英文版
收。Fitoterapia和Enthonalpharmacology这两个杂志主要收载民族药物的一般药理学研究。Enthonalpharmacology审稿时间很长，要有一个漫长的等待。
线性结构是最简单最常用的一种数据结构,线性结构的特点是结构中的元素之间满足线性关系,按这个关系可以把所有元素排成一个线性序列.线性表,串,栈和队列都属于线性结构.而非线性结构是指在该类结构中至少存在一个数据元素,它具有两个或者两个以上的前驱或后继.如树和二叉树等.
数据结构=逻辑结构+存储结构逻辑结构分为四种：数据元素间没有任何关系——集合数据元素间有线性关系——线性结构所谓线性关系：除第一个元素外，其他元素有且只有一个前驱；除最后一个元素外，其他元素有且只有一个后继！数据元素间有层状关系——树结构数据元素间有网状关系——图结构
线性结构和非线性结构同属于数据结构中的逻辑结构类型线性结构是指该结构中的节点之间存在一对一的关系。其特点是开始节点和终端节点都是唯一的，除了开始节点和终端节点外，其余节点都有且仅有一个直接前驱，有且仅有一个直接后继。此类型的存储结构有：顺序表（数组）、链表、堆栈结构、队列结构等非线性结构又包括集合、树形结构、图形结构或网状结构，特点是数据元素之间存在一个对多个或多个对多个的关系，其中集合是一种关系极为松散的结构。
一、两者的特性不同：
1、线性结构的特性：集合中必存在唯一的一个“第一个元素”；集合中必存在唯一的一个“最后的元素”；除最后元素之外，其它数据元素均有唯一的“后继”；除第一元素之外，其它数据元素均有唯一的“前驱”。
2、非线性结构的特性：通过非线性结构，可能实现页面任意跳转。
二、两者的概述不同：
1、线性结构的概述：线性结构是一个有序数据元素的集合。常用的线性结构有线性表，栈，队列，双队列，串。关于广义表、数组，是一种非线性的数据结构。
2、非线性结构的概述：非线性结构，数学用语，其逻辑特征是一个结点元素可能有多个直接前驱和多个直接后继。
三、两者的要求不同：
1、线性结构的要求：数据结构课程中数据的逻辑结构分为线性结构和非线性结构。对于数据结构课程而言，简单地说，线性结构是n个数据元素的有序（次序）集合。
2、非线性结构的要求：有一个以上根结点的数据结构一定是非线性结构。在超文本文件中，可以用一些单词，短语或图像作为连接点。这些连接点通常同其他颜色显示或加下划线来区分，这些形式的文件就成为超文本文件。
参考资料来源：百度百科-线性结构
参考资料来源：百度百科-非线性结构