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数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。 二.伽罗瓦创建群理论的工作 伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。峰 1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程 =0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群s(n)，s(n)是由n!个元素集合构成的，s(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群g后，开始寻找它的最大子群h1，找到h1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域r，并且在h1的置换下不改变值，但在g的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…于是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恒等变换（即hm为单位群i）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域r也随之一步步扩大为r1,r2,…,rm，每个ri对应于群hi。当hm=i时，rm就是该方程的根域，其余的r1,r2,…,rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) p与q独立，系数域r添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群g，g是s(4)的一个8阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中 e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。 他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的阶数/ h的阶数。对上面的四次方程(3)，h1是g的极大正规子群， h2是h1的极大正规子群，h3又是h2的极大正规子群，即对方程(3)的群g 生成了一个极大正规子群的序列g、h1、h2、h3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=a和t3=b，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是a(n) (实际a(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，a(n)的元素个数为s(n)中的一半，且a(n)的极大正规子群是单位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。 三.伽罗瓦群论的历史贡献 伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
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第25卷 第2期自然辩证法研究Vol. 25, 年2月Studies in Dialectics of NatureFeb. , 2009文章编号:1000 -8934 (2009) 02 -0025 -05穆勒的算术哲学宋 伟(湖北大学哲学学院,武汉430062)摘要:穆勒的算术哲学包含两个方面的内容:一方面是对先天论几何观和唯名论算术观的批判;另一方面是对数的性质和数的形成方式的阐明。尽管这种算术哲学通常被认为具有一种“极端的”或“狭隘的”经验主义特征而受到弗雷格和胡塞尔等人的严厉批判,但这些批判本身也都面临着各自的困难,而这使得穆勒的算术哲学至今都不能被彻底抛弃。关键词:穆勒;算术哲学;数中图分类号:B5504 文献标志码:A收稿日期:2008 -10 -27哥德尔( Kurt Gêdel)在《数学是语言的语法吗?》一文中指出:“经验主义数学观的信条显然是说,归根结底一切知识都是基于(外在的或内在的)感观知觉,我们并不具有一种对某个抽象数学对象领域的直观,而且既然由于数学的先天确定性,这样一个抽象对象领域并不能由经验上得知,所以必须假定它根本不存在”〔1〕335n。穆勒(Jo hn S. Mill)的数学观就具有哥德尔所指出的这种经验主义信条的典型特征,而且由于穆勒坚持认为归纳是一切科学的基础,因而他还进一步否认了数学具有任何的“先天确定性”。这种通常被称为“极端或狭隘的经验主义”的特征在穆勒的数的观念中得到了充分的体现,为了表明这一点让我们首先看看他是如何针对“先天论”的观点对两种先天论几何观进行批判的。1 对先天论几何观的批判先天论的几何观通常存在着两种反对经验论观点的论证。第一种论证:如果有人认为“两条直线不能围成一个空间”这一命题可由感观知觉得到,那么他就必须要实际观察到或感觉到两条直线无论延伸到多远都不会相交这一事实,但他怎么能跟随两条直线到无限远的地方呢?因此,除非人们对这一命题有不同于感观知觉的证明方式,否则就根本没有相信这一命题的理由。第二种论证:几何公理都是普遍必然真的命题,因为人们无法想象它们的反面,对它们的否定不仅是假的而且是不可能的。经验不可能使任何几何命题具有普遍必然真的特征,因为一方面,经验总是有限范围内的经验,并不适用于普遍的情况;另一方面,经验只是观察并记录所发生的什么,并不保证必然要发生什么。因而,对普遍必然真的命题的证明必须依赖于一种与经验无关的更高层次的方式。针对第一种论证,穆勒认为,人们关于几何形式的观念与引起它们的感觉完全相似,几何形式可以与实在一样被描绘在人们的想像中,只要这些几何图像足够精确,它们就可以显示出与实在同样的特征,因而,只要思考直线的观念而不用实际观察到或感觉到它们,人们就能够认识到“两条直线不能围成一个空间”〔2〕154。按照这种看法,似乎可以想像当两条直线在彼此分离又再次接近时,不管这发生在多么远的地方,人们一定会在感观知觉上产生出一种“曲线”而不再是“直线”的印象。只是这里要注意,穆勒并不是说人们可以通过想像的直观(imaginaryint uition)来认识“两条直线不能围成一个空间”这一命题,而是说想像的直线与真实的直线相似,人们可以从想像的直线得出有关真实的直线的结论,这一命题仍是一个来自观察的归纳结果。对于第二种论证,穆勒主要针对普遍必然真的命题的否定或反面的不可想像(inco nceivableness)进行了批判。穆勒认为,并不存在什么人类天性所普遍承认的事实,不可想像只是人们很难想像与长期形成的熟悉的经验以及古老的思维习惯相矛盾的东西,如当人们常常看到和想到两个东西在一起而从没有分别看到和想到它们时,由心理的联想律就作者简介:宋伟(1973 —),安徽临泉人,湖北大学哲学学院讲师,主要研究方向为科学哲学。自然辩证法研究 第25卷 第2期产生了一种可能永远无法超越的分别想像两个东西的困难〔2〕157。显然,在穆勒看来,将普遍必然性归之于某些几何命题仅仅是人们心理联想律的作用,这种普遍必然性并不是什么先天的东西,而是一种来源于经验归纳的现象。在对先天论几何观进行了上述批判后,穆勒认为有必要将这种批判带向另一个领域,因为“我们现在所断定的并不能被认为对于演绎或证明科学普遍成立,除非将它们运用于所有科学中最卓越的数的科学以及运算理论、算术和代数而得到证实”〔2〕166。所以,接下来我们就来看看穆勒如何将其经验论的认识运用于数的科学。2 对唯名论算术观的批判在对数的认识中,存在着一种唯名论的或符号论的观点,这种观点认为:数的科学的命题仅仅是言语(verbal)表达式,数的运算过程仅仅是一个表达式代入另一个表达式的简单语言转换。根据这种观点,“2加1等于3”这一命题并不是一个真理,也不是对一种实际存在的事实的断定,而是“3”这个符号的一个定义,是一个人们同意用“3”这个符号来作为“2加1”的记号的命题,以便用后者这一较长的短语称呼的东西也能用前者来称呼。同样,在这一观点看来,代数中最长的运算过程只是用等值表达式一个代入另一个的一系列术语变化过程,或者说是同一个事实从一种语言到另一种语言的翻译过程。针对这种观点,穆勒指出:仅仅通过语言的人为操作来发现事实和探究自然的隐秘过程是与常识相悖的,而当用代数证明一个新的几何定理时如何解释事实本身的变化正是这种观点的致命困难〔2〕166。不过,唯名论者或符号论者可能会认为,人们在使用算术或代数符号进行运算时并不带有任何观念(i2deas) ,因为符号a、b等并不表示某个确定的线、角或量,所以在人们的思想中就只有符号而没有观念。对此,穆勒指出:这种情况只是反映了算术或代数运算高度综合的本质及其语言的极端概括性,事物和符号在其中相互转换的归纳过程在人们的思想中仅仅是被隐藏起来了〔2〕167。针对另外一种认为算术和代数命题仅仅是言语符号的观点,即认为“2加1等于3”这类命题只是断定了两个名称之间的指示( signification)相同,穆勒反驳说,尽管“2加1”和“3”这两个名称指谓( de2note)相同的东西,但它们的涵谓(co nnotation)却可以不同,3个石子分成两堆和3个石子放在一堆在人们的感官上会留下不同的印象,所以“2加1等于西”〔9〕167。在穆勒看来,数都是对象或事物的名称,“10”意味着10个东西或10种声音或10次心跳等等,并没有脱离对象或事物的抽象的“10”存在。不623”这一命题仍是人们根据以往的经验归纳出的一个关于数的真理〔2〕168。当然,穆勒进一步认为,要是人们愿意,人们可以称命题“3是2加1”为数3的定义并且象断定几何那样断定算术是一门建立在定义上的科学,只是这些定义是几何意义上的而不是逻辑“意义上的定义,其所断定的不只是一个项的意指(meaning) ,而且还有与这个项一起的一个被注意到的事实”〔2〕168。3 数的性质基于以上这些认识,穆勒得出结论说:“所有的数都必须是某种东西的数,没有抽象的数这样的东过,由于一切东西都有量(quantity) ,都由可以被计数的部分构成,因而都具有一种可以被称作数的性质,所以,数虽然必须是某种东西的数,但却可以是任意东西的数,人们只需要想像一个被分成了10等份的东西就可以用“10”这个数的性质来谓述它。对此,穆勒认为代数作了进一步的概括,即“每个数都表示事物的一种无区分的特殊性质,而每个代数符号则表示一切无区分的数”〔2〕167。具体来说,只要人们想像一个东西被分成了若干等份但并不确定是几等份的时候,就可以称这个“几”为a或x并且可将其用于每一个代数公式而不会有犯错误的危险,如“2( a + b) =2 a +2 b”就是一个在一切情况下都为真的命题,只是这一命题的真并不是由于其中言语符号自身性质的缘故,而是由于其与事物的性质相符合从而可由事物的性质来谓述的缘故。在求解一个代数方程时,其中连续进行的推论也是关于事物而不是关于符号的推论,因为像“等量加上等量其和相等”和“等量减去等量其差相等”以及其他以这两个命题为基础的命题虽然运用于a、b、x、y等符号上,但它们所说的是事物的性质而不是那些符号的性质,其中的每一步只有在与事物而不是与符号相关时有关的证据才不会失效。通过以上的论述可以看出,穆勒坚决反对对数作符号的和逻辑的这些抽象意义上的解释,坚持认为数有经验的根源,这种认识显然与其几何观相一致。也正因为如此,穆勒试图进一步表明数的科学在更多的情况下类似于几何学,即算术中同样不存在普遍必然真的命题,归之于算术命题的必然性和确定性同样是虚构的和假定的,它们仅仅是在那些命题从假设为真的前提合法推出的意义上来说的。穆勒的算术哲学在穆勒看来,算术中的归纳命题可以分成两类:一类是“1加1等于2”、“2加1等于3”等等这类可以从几何学的意义上被看做定义的命题;另一类是“等量加上等量其和相等”和“等量减去等量其差相等”这两个算术公理。这两类命题似乎对一切对象都成立,而从中推出的其他命题似乎也都具有绝对的确定性。不过,穆勒认为,“只要再作进一步的思考就会发现,在所有这些关于数的命题中都隐藏着这样一个假设,即所有的数都是相同或相等单位的数,也即是说1 = 1。但因为实际上的1磅①重与另1磅重并不完全相等,1英里②与另1英里也不完全相等,所以,包含无条件真和绝对精确性这两重概念的数学确定性并不是所有数学真理的性质,而只是在不假设数是实际量的准确标记(index)的情况下在更广泛的意义上与量相区别的纯粹数(p ure Number)的真理的性质”〔2〕169。正是基于这一认识,穆勒得出结论说:“一切演绎科学的方法都是假设的方法”〔2〕169。这一结论的得出显然是穆勒坚持其经验主义几何观和算术观的一个必然结果。4 数的形成方式在论述了数的性质之后,穆勒认为:“在所有已知的现象中,在最严格的意义上,惟独数的性质是所有一切东西的性质。并不是所有的东西都有颜色、重量和广延,但所有的东西都有数( numera2ble) ”〔2〕146。在穆勒看来,数的定义与别的定义一样由名称的说明与事实的断定两部分构成,在2、3、4等数中每个数都各自指谓一组对象或一种物理现象并涵谓那组对象或那种物理现象的一种物理性质。对于这种物理性质,穆勒认为:“它是一种我们用数的名称所称呼的对象的聚合(t he agglomeration oft hings)的性质,这种性质是对象的聚合构成和分解的特有方式”〔2〕400。具体来说,当一组对象被人们称为2、3或4时,它们所涵谓的是单个对象为了产生特殊的聚合( aggregate)而必须放在一起的方式。以石子为例,如果人们称一堆石子的聚合为2 ,那么这就意味着一个石子必须与另一个石子放在一起;而如果称它为3 ,则意味着必须把一个石子加一个石子再加一个石子放在一起,或者把一个石子与已经存在的某个被称为2的石子聚合放在一起;对于人们称为4的一堆石子聚合则有更多的形成方式,可以把石子一个加一个地放在一起,也可以将两个被称为2的石子聚合放在一起,或者将一个石子与一个被称为3的石子聚合放在一起。依此类推,每一个上升序列中的后继数都可以通过不断增多的方式与较小的数相结合而形成。除此之外,还可以不通过较小聚合的结合而是通过较大聚合的分解来得到一个新的聚合,如3个石子可以从一个4的聚合中去掉一个石子来形成;2个石子可以由一个4的聚合的平分来形成,如此等等。由此可见,一个数的形成方式可以有许多种,而且当一些数的形成彼此关联时,人们完全可以根据它们的一种形成方式推演出它们的其他形成方式,如当人们知道a从b和c形成、b从c和d形成、c从e和f形成时,从中就可以推演出a从c和d的形成方式、a从d、e、f的形成方式以及b从d、e、f的形成方式。在此认识的基础上,穆勒进一步认为:“每个算术命题和每个算术运算的结果都是关于某个数的某种形成方式的陈述”〔2〕400。对此穆勒举例进行了说明,如当人们说“12的立方是1728”时,其中所断定的是:如果有足够多的石子或别的什么东西,就可以把它们放在一起形成一种被称为“12”的特殊的包(parcel)或聚合,然后把以这种方式得到的多个被称为“12”的特殊的包或聚合以相同的方式放在一起形成新的聚合,最后再由12个这样的聚合构成一个更大的聚合,最后的这个聚合就是一个人们称之为“1728”的聚合。而相反的命题“1728的立方根是12”则可以通过相反的方向分解出构成“1728”这一聚合的被称为“12”的包或聚合。显然,对于包含特殊的数的命题都可以进行类似的说明。不过,由于代数学命题对所有的数都成立或者说对一切可以以任意方式划分的东西都成立,那么对这类命题该如何进行说明呢?对于这一问题,穆勒认为,考虑到不同的数可以由相同的方式来形成,如9可以通过3的“自身相乘”来形成,16可以通过4的“自身相乘”来形成等等,所以可以通过对形成方式或者说函数进行分类的方法来说明代数学命题〔2〕403。在穆勒看来,任何一个由别的某个数形成的数都可以被称为前者的一个函数,而有多少种形成方式就有多少种函数,如通常的简单函数有加、减、乘、除、指数函数、开方函数、对数函数、正弦函数、反正弦函数等,而其他函数则由这些简单函数组合而成。在对函数问题进行一般运算时,只要有一种能够用名称表达任意数的命名法( nomenclat ure) ,就可以在不必指出那些数具体是什么数的情况下而表明它们是其他数的72①1磅=014536千克。②1英里=11 6093公里自然辩证法研究 第25卷 第2期何种函数,或者说表明它们由其他数的形成方式,如表达式a和2 a + 3 a分别指谓了任意一个数和由这个数以一种特定方式所形成的另一个数;表达式a、b、n和( a + b) n分别指谓了任意3个数和由这3个数以一种特定方式所形成的第4个数。在数的科学中,不同的形成方式可以得到相同的结果,如( a +b) n既可以由( a + b)自身相乘n次来形成也可以通过二项式定理由a、b、n直接形成,而“已知一个函数,它是某个别的函数的何种函数?”则成了代数运算的一般问题和目标。5 弗雷格和胡塞尔的异议对于穆勒的数的观念,弗雷格一方面认为穆勒有一种合理的想法,即不是从分析的或综合的、后天的或先天的角度来看待数的定律和数的公式,而是象莱布尼兹( Gottf ried W. Leibniz)一样对单个的数进行定义并进而希望将数的科学建立在定义的基础上;但另一方面,弗雷格认为由于穆勒坚持一种先入之见即所有知识都是经验的而使得上述那种合理的想法遭到了破坏〔3〕9。通过对“数的公式是可证的吗?”、“算术定律是归纳真理吗?”、“算术定律是先天综合的还是分析的?”以及“数是外在事物的性质吗?”这些问题的讨论,弗雷格在其《算术基础》一书中对穆勒算术观中的一切经验因素进行了全面、深入的批判并讥笑这种算术观为“小姜饼或小石子的算术”〔3〕xix。在从集合的角度通过对“概念”(con2cept)、“等同”(identity)、“一一对应”的讨论定义出从0到∞的全部自然数并满怀信心地认为有理数、复数也都可以还原为纯粹逻辑之后,弗雷格得出结论说:“..数既不是一堆东西也不是这堆东西的一种性质,同时也不是心理过程的一种主观产物,我们的结论是:数的命题断定了概念所具有的某种客观的东西。..很清楚,算术所研究的数绝不能被认为是一种依附的性质,而是实体性的。这样,数作为对象才能被反复认识到,尽管这不是作为物理的甚或仅仅空间的对象,也不是作为我们通过想象而形成的图像的对象”〔3〕115 -116。显然,弗雷格表明了一种与穆勒完全相反的数的观念:穆勒认为数必须是某种东西的数,是对象或事物的一种物理性质,没有独立、客观的存在;而弗雷格则认为数是“概念”的数(如属于“等于0又不等于0”这一概念的数是0) ,有独立的存在。正是由于弗雷格和穆勒数的观念的这种基本差异,导致两人对数的定律的认识也全然不同。穆勒坚持认为数的定律是自然定律,象其他科学定律一样是归纳的结果,因而可应用于外界事物;而弗雷格则认为:“数的定律并不应用于外界事物,它们不是自然定律。它们只应用于对外界事物有效的判断:它们是自然定律的定律。它们并不断定现象之间的联系,而是断定判断之间的联系,自然定律就包含在判断之中”〔3〕99。总的来看,弗雷格的算术观是与其所坚持的“把心理的和逻辑的东西、主观的和客观的东西区别开来”、“把概念和对象区别开来”以及“只在命题的语境中而不是孤立地探讨语词的意指”这三条基本原则相一致的,也完全表明了弗雷格希望在算术中彻底摆脱一切心理的和经验的因素而仅仅由合乎逻辑的纯粹理性来建立起整个数的科学的一种努力。只是遗憾的是,在罗素悖论被发现之后,弗雷格不得不承认他的这种努力彻底失败了。在其后期的一篇文章《算术基础的新尝试》中,尽管弗雷格仍然坚持算术证明中不需要求助于感观知觉并且坚持数的命题包含对概念的断定,但却放弃了认为算术证明中不需要求助于直观(int uition)的观点,同时希望能为算术重新找到一种先天的几何学基础〔4〕278。只是这样一来,弗雷格就不得不重新面对穆勒对先天论几何观的批判了。胡塞尔( Edmund Husserl)在其《算术哲学》一书中对穆勒的数的观念也提出了异议。针对穆勒认为数的定义中所断定的事实都是物理事实而象2、3、4等等这样的数都各自指谓不同的可感知的物理现象并涵谓那些现象的一种物理性质这种观点,胡塞尔认为:“这种观点显然是错误的,人们肯定疑惑一个穆勒级水平的思想家怎么会对此感到满意。无疑,两个苹果与三个苹果可以在物理上区分开来,但两个判断与三个判断或两种不可能性与三种不可能性等等肯定不能进行这样的区分。因而,这些情况下数的差别不可能是一种看得见摸得着的物理差别。只要一提到完全可以象物理的东西一样被进行计数的心理的行为或状态,穆勒的理论就被驳倒了”〔5〕18。显然,胡塞尔在指责穆勒的数的观念只局限于物理现象而忽视了同样可被计数的人的心理行为或状态,因为一个明显的事实是,当人们谈论“两个判断与三个判断”或“两种不可能性与三种不可能性”时,其中的“判断”和“不可能性”并不是什么物理现象而“两个”和“三个”也并不涵谓什么物理现象的物理性质。确实,尽管穆勒认为“数可以是一切东西的数”、“一切东西都有量”,但这似乎主要是针对物理现象来说的,而对于心理行为或状态的可计数性穆勒似乎并没有作出更多的说明。不过,通过上述对穆勒数的观念的讨论,我们可以看出,穆勒虽然不承认数有抽象的存在,但他似乎并不反对数有抽象82穆勒的算术哲学的即“语言的极端概括性”意义上的应用,只是要求人们知道归根结底数有归纳的来源就行了。针对穆勒认为数的命题中隐藏着一种假设即所有的数都是相同或相等单位的数或者说1=1这一观点,胡塞尔认为:“轻而易举就能反驳这种错误的观点,要求算术预设1=1这一命题完全是弄错了算术的意思。算术作为数的理论与具体的对象无关,而是与一般的数有关”〔5〕156。胡塞尔进一步解释说:“由我们的心理分析而来的单元的相同显然是一种绝对的相同。事实上,只要想到近似就会是荒谬的。因为这是关于它们有具体内容这一事实的具体内容的同一问题,否认这种相同就是否认内在感知的明证性(evidence) ”〔5〕158。显然,胡塞尔反对穆勒认为们构造这样那样一些并不直接明了的数的特征时的实际行为说什么。..相反,它们只关心具有抽象纯粹性和理想性的绝对的数和数的组合。..所有这些命题没有一个可以还原为具有经验普遍性并且能够毫无例外地应用于整个实际世界的命题,即使是在普遍性最宽泛的意义上也不行”〔6〕110。与弗雷格相比,胡塞尔也承认算术是一门先天的科学,只是在追求对数进行基于纯粹逻辑的理解上胡塞尔远远没有弗雷格走得那么远。较小的数的理解应当基于对“同一”(identity)、“某个东西”( some2t hing)、“多元”(multiplicity)等这些更为直观的初始概念的理解,但是这些概念不可定义而只能进行心理分析。正是基于这种认识,胡塞尔在其《算术哲学》一书中不仅对穆勒的数的观念进行了批评而且也对弗雷格按照“一一对应”来定义数的做法进行了批评。不过,在接受了弗雷格批评他将概念和表象(presentation)混为一谈以及在对数的解释中求助于抽象(abstrac2tion)的做法之后,胡塞尔就彻底转向了致力于消除其算术观中的心理主义因素的方向,这一点在其对心理主义进行大力批判的《逻辑研究》一书中有充分的体现:算术命题与那些理想的单元有关,..它1=1是一种假设的观点,而是认为1=1是可以通”么?这一问题的争论提供一些更为丰富的历史背过心理分析而得到的一种无可置疑的结果。在胡塞景,同时为理解现代各种具有经验主义特征但却不尔看来,人们对各种抽象的数的理解尤其是对一些“单元”( unity)、同于极端经验主义特征的数学观提供一种可供对比通过以上对穆勒算术哲学的论述,我们希望能够详尽地展现一种极为朴素的数的观念或一种归纳的数的解释理论或者说一种极端经验主义的算术观以及这种观念或理论所面临的挑战,从而为“数是什“们并不告诉我们任何实际的东西,既不对被计数的实际东西说什么,也不对计数那些东西时或者为我的参照。参考文献〔1〕Gêdel K. IsMathematicsSyntaxofLanguage?[M]//Col2lected Works : Vol. 3. New York :Oxford University Press ,1995.〔2〕Mill J S. A System of Logic [M]. London: Longmans,Green , And Co. , 1886.〔3〕Frege G. The Foundationsof Arithmetic[M]. New York:Happer & Brothers , 1960.〔4〕Frege G. A New Attempt at A Foundation for Arithmetic[M]// Posthumous Writings. Chicago: The University ofChicago Press , 1979 :278.〔5〕Husserl E. Philosophyof Arithmetic[M]. Dordrecht: Klu2wer Academic Publishers , 2003.〔6〕Husserl E. Logical Investigation:[M]. New York:Routledge , ’s Philosophy of ArithmeticSON G Wei(Faculty of Philosophy , Hubei University , Wuhan 430062 , China )Abstract :Mill’s philosophy of arithmetic consists of two parts: one is his critique of a priori views of geometry and that of nominalist views ofarithmetic,andtheotherishiselucidationonthenatureofnumberandthewaysofconstructionofnumbers. Itisordinarilybelievedtobepro2videdwitha’narrow’or’extreme’empiricistcharacteristic. ButalthoughmanywritersincludingFregeandHusserlhavecriticizeditheavily,Mill’s philosophy of arithmetic cannot yet been thoroughly put away , since the criticisms themselves have respectively encountered some words : Mill; philosophyof arithmetic; number(本文责任编辑 费多益)
根据自己课题情况自己决定保留几位小数。对于理工科而言，数据处理就涉及到小数点的保留。这个没有固定的格式，我们一般情况下，小数点最后有效位数的保留，主要参照的是你使用过程中各个参数能够确定的最准确位数的那一个参数。比如说你的测量长度的有效位数是二，质量的有效位数是四。那我们一般取二位有效数字。
、内容要求 毕业设计报告正文要求： （一）理、工科类专业毕业设计报告正文内容应包括：问题的提出；设计的指导思想；方案的选择和比较论证；根据任务书指出的内容和指标要求写出设计过程、课题所涉及元件结构和相关参数的设计计算，有关基本原理的说明与理论分析；给出所设计课题实际运行的数据或参数，并与理论设计参数进行比较和分析，说明产生误差的原因。最后要对所设计课题实用价值做出评估说明；设计过程中存在的问题，改进意见或其它更好的方案设想及未能采纳的原因等。 （二）经济、管理类专业毕业设计报告或论文正文应包括：问题的提出、设计的指导思想；设计方案提出的依据，设计方案的选择和比较；设计过程；所运用的技术经济分析指标和方法；数学模型及其依据，数据计算方法；对设计方案的实用性和经济效益等方面做出评估；对设计实施过程中存在的问题 （ 或可能发生的问题 ） 提出合理化建议。毕业论文的基本论点、主要论据；根据国家有关方针、政策及规定联系实际展开理论分析。 （三）文科类专业毕业设计报告或论文正文应包括：问题的提出、解决问题的指导思想；解决方案提出的依据，解决方案的选择和比较，结论。 二、论文印装 毕业论文用毕业设计专用纸打印。正文用宋体小四号字，行间距为24磅；版面页边距上3cm，下、左，右2cm。 三、论文结构、装订顺序及要求 毕业论文由以下部分组成： （一）封面。论文题目不得超过20个字，要简练、准确，可分为两行。 （二）内容。 1、毕业设计（论文）任务书。任务书由指导教师填写，经系主任、教务部审查签字后生效。 2、毕业设计（论文）开题报告； 3、毕业设计（论文）学生申请答辩表与指导教师毕业设计（论文）评审表； 4、毕业设计（论文）评阅人评审表； 5、毕业设计（论文）答辩表； 6、毕业设计（论文）成绩评定总表； 7、中英文内容摘要和关键词。 （1）摘要是论文内容的简要陈述，应尽量反映论文的主要信息，内容包括研究目的、方法、成果和结论，不含图表，不加注释，具有独立性和完整性。中文摘要一般为200-400字左右，英文摘要应与中文摘要内容完全相同。“摘要”字样位置居中。 （2）关键词是反映毕业设计（论文）主题内容的名词，是供检索使用的。主题词条应为通用技术词汇，不得自造关键词。关键词一般为3-5个，按词条外延层次（学科目录分类），由高至低顺序排列。关键词排在摘要正文部分下方。 （3）中文摘要与关键词在前，英文的在后。 8、目录。 目录按三级标题编写，要求层次清晰，且要与正文标题一致。主要包括绪论、正文主体、结论、致谢、主要参考文献及附录等。 9、正文。论文正文部分包括：绪论（或前言、序言）、论文主体及结论。 （1）绪论。综合评述前人工作，说明论文工作的选题目的和意义，国内外文献综述，以及论文所要研究的内容。 （2）论文主体。论文的主要组成部分，主要包括选题背景、方案论证、过程论述、结果分析、结论或总结等内容。要求层次清楚，文字简练、通顺，重点突出，毕业设计（论文）文字数，一般应不少于8000字（或20个页码）。外文翻译不少于3000字符，外文参考资料阅读量不少于3万字符。 中文论文撰写通行的题序层次采用以下格式： 1 格式是保证文章结构清晰、纲目分明的编辑手段，毕业论文所采用的格式必须符合上表规定，并前后统一，不得混杂使用。格式除题序层次外，还应包括分段、行距、字体和字号等。 第一层次（章）题序和标题居中放置，其余各层次（节、条、款）题序和标题一律沿版面左侧边线顶格安排。第一层次（章）题序和标题距下文双倍行距。段落开始后缩两个字。行与行之间，段落和层次标题以及各段落之间均为24磅行间距。 第一层次（章）题序和标题用小二号黑体字。题序和标题之间空两个字，不加标点，下同。 第二层次（节）题序和标题用小三号黑体字。 第三层次（条）题序和标题用四号黑体字。 第四层次及以下各层次题序及标题一律用小四号黑体字。 （3）结论（或结束语）。作为单独一章排列，但标题前不加“第XXX章”字样。结论是整个论文的总结，应以简练的文字说明论文所做的工作，一般不超过两页。 10、致谢。对导师和给予指导或协助完成毕业设计（论文）工作的组织和个人表示感谢。文字要简洁、实事求是，切忌浮夸和庸俗之词。 11、参考文献及引用资料目录（规范格式见附文）。 12、附录。 13、实验数据表、有关图纸(大于3#图幅时单独装订)。 (三)封底。 附：规范的参考文献格式 参考文献（即引文出处）的类型以单字母方式标识：M——专著，C——论文集，N——报纸文章，J——期刊文章，D——学位论文，R——报告，S——标准，P——专利；对于不属于上述的文献类型，采用字母“Z”标识。 参考文献一律置于文末。其格式为： 1、专著 示例 [1] 张志建.严复思想研究[M]. 桂林：广西师范大学出版社，1989. [2] 马克思恩格斯全集：第1卷[M]. 北京：人民出版社，1956. [3] [英]蔼理士.性心理学[M]. 潘光旦译注.北京：商务印书馆，1997. 2、论文集 示例 [1] 伍蠡甫.西方文论选[C]. 上海：上海译文出版社，1979. [2] 别林斯基.论俄国中篇小说和果戈里君的中篇小说[A]. 伍蠡甫.西方文论选：下册[C]. 上海：上海译文出版社，1979. 凡引专著的页码，加圆括号置于文中序号之后。 3、报纸文章 示例 [1] 李大伦.经济全球化的重要性[N]. 光明日报，1998-12-27，（3） 4、期刊文章 示例 [1] 郭英德.元明文学史观散论[J]. 北京师范大学学报（社会科学版），1995（3）. 5、学位论文 示例 [1] 刘伟.汉字不同视觉识别方式的理论和实证研究[D]. 北京：北京师范大学心理系，1998. 6、报告 示例 [1] 白秀水，刘敢，任保平. 西安金融、人才、技术三大要素市场培育与发展研究[R]. 西安：陕西师范大学西北经济发展研究中心，1998. 7、对论文正文中某一特定内容的进一步解释或补充说明性的注释，置于本页地脚，前面用圈码标识。 8、其他要求 （1）文字 论文中汉字应采用严格执行汉字的规范。所有文字字面清晰，不得涂改。 （2）表格 论文的表格可以统一编序，也可以逐章单独编序，采用哪种方式应和插图及公式的编序方式统一。表序必须连续，不得重复或跳跃。表格的结构应简洁。 表格中各栏都应标注量和相应的单位。表格内数字须上下对齐，相邻栏内的数值相同时，不能用‘同上’、‘同左’和其它类似用词，应一一重新标注。 表序和表题置于表格上方中间位置，无表题的表序置于表格的左上方或右上方（同一篇论文位置应一致）。 （3）插图 插图要精选。图序可以连续编序，也可以逐章单独编序，采用哪种方式应与表格、公式的编序方式统一，图序必须连续，不得重复或跳跃。仅有一图时，在图题前加‘附图’字样。毕业设计（论文）中的插图以及图中文字符号应打印，无法打印时一律用钢笔绘制和标出。 由若干个分图组成的插图，分图用a,b,c,……标出。 图序和图题置于图下方中间位置。 （4）公式 论文中重要的或者后文中须重新提及的公式应注序号并加圆括号，序号一律用阿拉伯数字连续编序，或逐章编序，序号排在版面右侧，且距右边距离相等。公式与序号之间不加虚线。 （5）数字用法 公历世纪、年代、年、月、日、时间和各种计数、计量，均用阿拉伯数字。年份不能简写。数值的有效数字应全部写出。 （6）软件 软件流程图和源程序清单要按软件文档格式附在论文后面，特殊情况可在答辩时展示，不附在论文内。 （7）工程图按国标规定装订 图幅小于或等于3#图幅时应装订在论文内，大于3#图幅时按国标规定单独装订作为附图。 （8）艺术设计作品 无法用纸质文档保存的艺术设计作品应用光盘或照片保存。 (9)计量单位的定义和使用方法按国家计量局规定执行。 以上是我的毕业论文要求，全国各个学校其实都是一样的. 回答完毕.
写本科论文但没有数据的解决方法如下：。 1、多翻阅同研究方向的文献。2、可以请教老师或者有经验的学长学姐。写论文的数据一般来源于实验或者其他实践，如果没有这方面的经验数据可能就不那么客观真实。
不可以，毕业论文没有调查数据，则会导致论文内容的不严谨。毕业论文的撰写及答辩考核是顺利毕业的重要环节之一，也是衡量毕业生是否达到要求重要依据之一毕业论文是应考者的总结性独立作业，目的在于总结学习专业的成果，培养综合运用所学知识解决实际问题的能力。从文体而言，它也是对某一专业领域的现实问题或理论问题进行科学研究探索的具有一定意义的论说文。完成毕业论文的撰写可以分两个步骤，即选择课题和研究课题。调查法调查是科学研究中最常用的方法之一。它是一种有目的、有计划、有系统的收集研究课题的实际或历史情况的资料的方法。综合运用历史、观察、对话、问卷、案例研究、测试等科学方法，有计划、深入、系统地了解教育现象。对调查中收集的大量数据进行分析、综合、比较和总结，为人们提供常规知识。调查方法中最常用的方法是问卷调查法，这是一种以书面方式收集数据的研究方法，即调查人员为调查项目编制表格，分发或邮寄给有关人员，要求指示填写答案，然后回收、统计和研究。2、观察法观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究大纲或观察表，用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象，以获取数据的方法。3、实验法实验方法是通过改革主体，控制研究对象，发现和确认事物之间因果关系的一种科学研究方法。回答于 2021-11-12毕业 论文_先审稿后收费_合格通过后付款毕业 论文，专职老师24小时在线为您服务，不成功不收费，合格通过后付款专业论文咨询，录用后付费，免费检测，免费咨询，应届生毕业好帮手西宁市城北区锦尚网络技术服务部广告理财原来这么简单！每月投入500，1年收入竟然有这么多01:2912天小白理财课广告更多专家毕业论文中的数据必须真实吗？专家1对1在线解答问题5分钟内响应 | 万名专业答主马上提问最美的花火 咨询一个教育问题，并发表了好评lanqiuwangzi 咨询一个教育问题，并发表了好评garlic 咨询一个教育问题，并发表了好评188****8493 咨询一个教育问题，并发表了好评篮球大图 咨询一个教育问题，并发表了好评动物乐园 咨询一个教育问题，并发表了好评AKA 咨询一个教育问题，并发表了好评无观点，不青春暂时还没有评论— 你看完啦，以下内容更有趣 —本科毕业论文伪造数据会很严重吗近年来，教育部对于学术不良风起严厉打击，从2021年1月1日起，本科毕业论文每年抽检一次，不少毕业生表示毕业太难了，那么，抽检的内容到底是有多严格？下面八宝网小编就来说说。本科毕业论文每年抽检一次是真的吗近日，教育部公布《本科毕业论文(设计)抽检办法(试行)》。2021年1月1日起，本科毕业论文每年抽检一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，抽检比例原则上应不低于2%。如查实毕业论文存在抄袭、剽窃、伪造、篡改、买卖、代写等学术不端行为，将撤销已授予学位，并注销学位证书。本科毕业论文水分有多重？一方面是存在着造假;另一方面就是“胡编乱造，不知所云”，甚至有很多的本科毕业生对毕业论文答辩完之后还不知道自己的论文课题的意义到底在哪?又或者说毕业论文(设计)只不过是应付毕业的手段罢了!2020年12月24日，教育部最新发文强调：将会试行本科毕业论文抽检，每年都会进行。很多的学生看完详细内容，都不自觉得慌了起来，不乏有人说道：真的难毕业了!抽检的内容到底是有多严格根据办法内容得知：试行本科论文抽检工作，其重要意义就是为了保障本科人才培养的基本质量。该项工作是由教育部直接负责，进行统一的组织和监督，任何单位及个人都无法对该抽检工作造成影响，违者必究!此次划分的抽检比例也做出了明确性的要求：不低于2%，抽检的对象就是上一学年度毕业的学生，如果论文存在较大的问题，其本科学历也将被追回，不被承认。查重并不是重点，而重点就在于论文课题的选题意义、相关的写作安排、以及论文内容的逻辑构建、专业能力和学术规范等等。被送往抽检的论文是需要经过多位专家的评审，一次评审不合格，还会进行二次复审，若均不合格，则该论文就被认定为“问题论文”。问题论文的发现后果将会如何?其所在的高校将会被进行质量约谈，要求整改，并且招生计划将会减少，相关人员的责任依法必究。如果说某个学校有连续三年出现抽检不合格的情况，学校的招生资格都会被暂停!可以看得出来，当前教育部门对于高校的要求就是“宽进严出”，如果学生还是只知道上课就睡大觉，毕业论文水分过多，拿不到学位证书就等于说是大学白上。该通告一出，更让人感觉颇有趣味的就是，有不少的学生抱着侥幸心理说：“千万别抽到我”，目前阶段初步制定的计划是2%，试行阶段，根据具体情况再做安排，后续应该是高于这个比例。相关的内容要求如此严格，这就给学校释放了信号：各院级指导老师应当从严分析学生论文，保证抽检工作的合格率。以上就是有关全部内容介绍，想了解更多信息请继续关注。猥琐De星星猪 回答于 2021-04-0715点赞万浏览本科毕业论文数据假造会不会被老师发现？一般不会，但是最好还是自己做数据。没必要为了证明你的命题而造假数据，如果真实数据证明不了你的命题就大大方方把结论和下一步猜想写出来，科学本来就是探究性的，没人能保证自己的设想一定是对的。有的硕士导师就会告诉学生，自然科学不是人文科学，像政治、法律之类的都是先设定命题，然后搜集证据去支持命题，只要自身前后逻辑和上了就行，不管对错；然而自然科学是提出假设，然后用真实数据去验证假设，对就是对错就是错，错了也算有收获，至少说明这条路走不通。假造数据说明自己的思维模式就不在自然科学这一挂。毕业论文的基本教学要求是：1、培养学生综合运用、巩固与扩展所学的基础理论和专业知识，培养学生独立分析、解决实际问题能力、培养学生处理数据和信息的能力。2、培养学生正确的理论联系实际的工作作风，严肃认真的科学态度。3、培养学生进行社会调查研究；文献资料收集、阅读和整理、使用；提出论点、综合论证、总结写作等基本技能。以上内容参考：百度百科-毕业论文阿藏聊教育 回答于 2021-08-099点赞万浏览毕业论文一定要有数据分析吗我们在场在写毕业论文的时候都是需要有数据分析的，毕竟是毕业论文是需要达到要求的，所以需要用数据来进行支撑自己
可以的,自己调查的数据资料可以作为毕业论文的依据!毕业论文里的数据,最好在论文中注明来源,做好注释,例如【数据来源:中国统计年鉴2011】等。如果论文顺利...
数学系要写毕业论文的加群236123796大家一起讨论相互学习。。。。。
我不是数学系本科，也不甚了解。我觉得对我将来有用的数学分支是泛函分析，拓扑，微分数理方程等，偏向物理理论研究的。别的专业如计算机、信息技术很需要离散数学方面的知识，土木力学方面的连续介质力学，分析力学方面都对数学有很高要求。你将来应该会去读研究生吧，现在就是尽可能扩展视野，多去图书馆看看书，了解发展分支，寻找兴趣，究其是一些交叉学科的书籍挂的是别的学科名其实就适合搞数学的人看了。现在的确学得都是一些解题的理论，但我觉得一门学科一方面是为适应应用在发展，另一方面是学科本身在自我完善的过程中自发的发展。后者更有美感，或许吧。祝好运！
论文的内容不需要深刻，只需要让读者读懂，你想的太多了。
孩纸，四大苦系欢迎你~ 我们院的网站数学科学学院 复旦大学数学科学学院师资力量雄厚，图书资料齐全，在国内外享有盛名，是“国家教委理科基础科学研究和教学人才培养基地”。全院拥有中国科学院院士4名，教授39名，其中博士生导师25名，还有35名副教授，长江特聘教授4名。现建有国家教委数学科学开放实验室，中法应用数学研究所、数学金融研究所、AIA友邦-复旦精算中心等。在人才培养方面，本科生和研究生并重。本科生设有数学与应用数学、信息与计算科学2个专业。研究生设有基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计5个专业，并均为博士点。其中基础数学、应用数学、运筹学与控制论是全国重点学科，计算数学是上海市重点学科。1994年成为国家理科科学研究和教学人才培养基地。在科学研究方面，曾获得国家自然科学奖二、三、四等奖；国家科技进步奖一、二等奖；华罗庚数学奖、何梁何利基金科学与技术成就奖和科技进步奖、陈省身数学奖等诸多科技奖励。数学与应用数学专业 该专业以基础数学和应用数学为主要方向。基础数学是数学科学的核心。它不仅是其它应用性数学分支的基础，而且也为自然科学、技术科学及社会科学提供必不可少的语言、工具和方法；应用数学则以数学方法和计算机技术及信息技术为主要工具，通过研究和建立数学模型，解决现代科学技术及信息、管理、经济、金融、社会和人文科学中提出的大量实际问题和理论问题。该专业的毕业生具有扎实的数学理论基础和借助数学和计算机技术解决实际课题的能力，从而具备了较广泛的适应性和较强的发展潜力。 该专业为高等院校和科研机构输送数学、应用数学及相关学科的研究生。毕业生可以在工农业、交通运输、天文气象、航空航天、地质矿产、财政金融、保险核算、军事等部门从事与应用数学相关的工作、在高等学院校担任基础数学或应用数学的教学与科研；在自然科学、技术科学、管理科学和工程设计等研究院所承担理论和实际课题；在计算中心、计算站承担数学模型和应用软件的研究与开发的工作。信息与计算科学专业 该专业是研究以信息产业（计算机、自动化、通讯等）为中心的基础理论、应用基础理论并密切联系实际的应用性学科，包括四个研究方向：计算数学、控制科学、信息科学和运筹科学。计算数学方向主要研究与各类科学计算相关的计算方法、对各种算法作理论研究和数值分析，设计数值模拟方法，研制专用或通用的应用软件和数值软件；控制科学方向以数学和计算机为主要工具，研究社会、经济、金融、军事等各种系统的建模、分析、设计和控制问题；信息科学方向研究用计算机对信号、语言、文字、图形、图像进行信息处理的原理、方法和相应的软硬件系统；运筹科学方向结合数学、计算机科学，为各类系统的规划设计、管理运行和优化决策提供理论依据。该专业为计算、控制、信息、运筹及相关学科输送研究生。毕业生适应于在科研单位、高等院校、企业集团、计算中心、经济信息等部门从事科学计算和软件研制、系统分析、计算机辅助管理和控制等。 主要课程设置：数学分析、高等代数、解析几何、程序设计、普通物理、常微分方法、数学模型、复变函数、数学模型、复变函数、数学物理方程、概率论、抽象代数、实变函数、泛函分析、基础力学、微分几何、应用几何、应用偏微分方程、拓扑学、 控制理论基础、数学金融学、生物学、动力系统、小波分析、数学模型与实验、数据结构、多媒体技术、计算机辅助几何设计、计算机图形学、计算机网络原理、数字信号理论、金融经济学、数理统计、精算概论等。 数学与应用数学专业教学培养方案 一 培养目标及培养要求： " 本专业培养掌握数学科学的基本理论和方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。要求学生掌握数学和应用数学的基本理论、基本方法，受到数学模型、计算机和数学软件方面的基本训练，具有较好的科学素养和宽广的知识面；熟练掌握一门外语；并有较强的创新意识、开拓精神以及较强的实际应用能力和适应能力。" 二 学位及学分要求： 学生在学期间必须修满教学计划规定的142学分方能毕业。其中通识教育课程41学分，文理基础课程28学分，专业教育课程61学分（含毕业论文6学分），任意选修12学分。达到学位要求者授予理学学士学位。 三 课程设置：(142学分) (一) 通识教育课程(41学分) 修读要求：I类核心课程，修满24学分；II类专项教育课程，修满15学分（计算机Ⅱ组课程除外）；III类通识教育选修课程，修满2学分。 (二) 文理基础课程(28学分) 学生应在文理基础课程中的数学类基础课程中修满28学分。 (三) 专业教育课程(61学分) 1.专业必修课(53学分) 课程名称 课程代码 学分 周学时 "开课学期" "应修学分" 备注 数学分析III MATH130001 5 4+2 3 5 高等代数II MATH130002 5 4+2 3 5 程序设计 MATH130003 4 4+2 3 4 常微分方程 MATH130004 3 3+1 3 3 抽象代数 MATH130005 3 3+1 4 3 复变函数 MATH130006 3 3+1 4 3 实变函数 MATH130007 3 3+1 4 3 数学模型 MATH130008 3 3 4 3 概率论 MATH130009 3 3+1 5 3 拓扑学 MATH130010 3 3+1 5 3 泛函分析 MATH130011 3 3+1 5 3 数理方程 MATH130012 3 3+1 6 3 微分几何 MATH130013 3 3+1 6 3 基础力学 MECH130084 3 3+1 6 3 毕业论文(含专题讨论) MATH130015 6 8 6 2.专业选修课程(8学分) 课程名称 课程代码 学分 周学时 "开课学期" 备注 微分流形 MATH130017 3 3 春秋 小波分析 MATH130018 3 3 春秋 运筹学A MATH130019 3 3 春秋 变分法与积分方程 MATH130020 3 3 春秋 计算几何 MATH130021 3 3 春秋 应用偏微分方程 MATH130022 3 3 春秋 计算机图形学A MATH130023 3 3 春秋 计算机辅助几何设计 MATH130024 3 3 春秋 系统模型选讲 MATH130025 3 3 春秋 生物数学 MATH130026 3 3 春秋 数学金融学 MATH130027 3 3 春秋 多媒体技术 MATH130028 3 3 春秋 应用几何 MATH130029 3 3 春秋 专题讨论 MATH130030 2 3 春秋 计算机网络原理 MATH130031 3 3 春秋 动力系统 MATH130032 3 3 春秋 利息理论 MATH130033 3 3 春秋 精算数学 MATH130034 3 3 春秋 编码理论 MATH130035 3 3 春秋 计算方法 MATH130036 3 3 5 非线性规划 MATH130037 3 3 春秋 组合优化 MATH130038 3 3 春秋 最优控制理论 MATH130039 3 3 春秋 分形几何 MATH130040 3 3 春秋 多复变函数论 MATH130041 3 3 春秋 积分方程及其应用 MATH130042 3 3 春秋 数论基础 MATH130043 3 3 春秋 随机过程 MATH130044 3 3 春秋 数学应用软件与实习 MATH130045 3 3 春秋 数理方程续论 MATH130047 3 3 春秋 人口数学 MATH130048 3 3 春秋 金融经济学 MATH130049 3 3 春秋 组合分析 MATH130050 3 3 春秋 人寿保险 MATH130051 3 3 春秋 Fourier分析 MATH130052 3 3 春秋 保险学引论 MATH130053 3 3 春秋 非寿险精算数学 MATH130055 3 3 春秋 复分析 MATH130056 3 3 春秋 控制理论基础 MATH130057 3 3 春秋 寿险精算数学 MATH130058 3 3 春秋 数据结构 MATH130059 3 3 春秋 数理统计 MATH130060 3 3 6 数字信号处理 MATH130061 3 3 春秋 线性规划 MATH130062 3 3 春秋 信息论基础 MATH130063 3 3 春秋 数据库系统基础 MATH130064 3 3 春秋 数学建模与实验(上) MATH130077 3 4 春秋 数学建模与实验(下) MATH130078 3 4 春秋 时间序列分析 MATH130067 3 3 春秋 抽象代数续论 MATH130068 3 3 春秋 微分方程数值解法 MATH130069 3 3 春秋 测度论 MATH130070 3 3 春秋 应用软件开发方法 MATH130071 3 3 春秋 现代数学讲座 MATH130079 3 3 春秋 科学计算 MATH130080 3 3 春秋 数学分析原理 MATH130084 4 4 春秋 风险理论 MATH130085 3 3 春秋 生存模型 MATH130086 3 3 春秋 概率模型选讲 MATH130087 3 3 春秋 特殊函数论 MATH130088 3 3 春秋 现代分析基础I MATH130089 3 3 春秋 现代分析基础II MATH130090 3 3 春秋 生产实习 MATH130014 1 7 (四) 任意选修(12学分)数学与应用数学专业指导性修读计划 "分类" 课程代码 课程名称 "学分" 周学时按学期分配 备注 一 二 三 四 五 六 七 八 通识教育 核心课程 思想政治理论课模块 12 2 4 3 3 "I类核心课程24学分" 六大模块 12 2 2 2 2 2 2 体育 4 2 2 2 2 II类课程15学分 军事理论 1 大学英语 大学英语 8 4+1 4+1 计算机应用基础I组 计算机应用基础I组 2 2+2 通识教育选修课程 其他综合教育选修课程 2 2 III类课程2学分 "基础教育" MATH120010 解析几何 解析几何 3 3+1 "数学类基础课程28学分" MATH120008 数学分析I 数学分析I 5 4+2 MATH120009 数学分析II 数学分析II 5 4+2 MATH120011 高等代数I 高等代数I 5 4+2 PHYS120001 大学物理（上） 大学物理（上） 4 4+1 PHYS120002 大学物理（下） 大学物理（下） 4 4+1 PHYS120004 普通物理实验 普通物理实验 2 3 "专业教育" MATH130001 数学分析III 5 4+2 "必修课程53学分" MATH130002 高等代数II 高等代数II 5 4+2 MATH130003 程序设计 程序设计 4 4+2 MATH130004 常微分方程 常微分方程 3 3+1 MATH130005 抽象代数 抽象代数 3 3+1 MATH130006 复变函数 复变函数 3 3+1 MATH130007 实变函数 实变函数 3 3+1 MATH130008 数学模型 数学模型 3 3 MATH130009 概率论 概率论 3 3+1 MATH130010 拓扑学 拓扑学 3 3+1 MATH130011 泛函分析 泛函分析 3 3+1 MATH130012 数理方程 数理方程 3 3+1 MATH130013 微分几何 微分几何 3 3+1 MECH130084 基础力学 基础力学 3 3+1 MATH130015 毕业论文(含专题讨论) 毕业论文(含专题讨论) 6 * MATH130022 应用偏微分方程 应用偏微分方程 3 3 "读研选修" "选修课程8学分" MATH130069 微分方程数值解法 微分方程数值解法 3 3 MATH130077 数学建模与实验（上） 数学建模与实验（上） 3 4 MATH130014 生产实习 生产实习 1 * 其它专业选修课 其它专业选修课 * * * * * * 任意选修 12 3 3 3 3 12学分 应修学分小计 142 26 24 25 20 17 18 6 6 周学时小计 32 30 32 24 20 21 5 0
文章结构 第一章：相关文献综述以及本论文选题意义 第二章：数学与哲学的联系：1，古希腊（如毕达哥拉斯），2近代（如笛卡尔），3，现代（如现代数理逻辑，罗素，弗雷格等）。 第三章，数学与哲学的相互作用对科学发展的启示 采纳哦
人工智能与现今逻辑学的发展-.〔摘要〕 本文认为，计算机科学和人工智能将是21世纪逻辑学发展的主要动力源泉，并且在很大程度上将决定21世纪逻辑学的面貌。至少在21世纪早期，逻辑学将重点关注下列论题：（1）如何在逻辑中处理常识推理的弗协调、非单调和容错性因素？（2）如何使机器人具有人的创造性智能，如从经验证据中建立用于指导以后行动的可错的归纳判断？（3）如何进行知识表示和知识推理，特别是基于已有的知识库以及各认知主体相互之间的知识而进行的推理？（4）如何结合各种语境因素进行自然语言理解和推理，使智能机器人能够用人的自然语言与人进行成功的交际？等等。 〔关键词〕 人工智能，常识推理，归纳逻辑，广义内涵逻辑，认知逻辑，自然语言逻辑 现代逻辑创始于19世纪末叶和20世纪早期，其发展动力主要来自于数学中的公理化运动。当时的数学家们试图即从少数公理根据明确给出的演绎规则推导出其他的数学定理，从而把整个数学构造成为一个严格的演绎大厦，然后用某种程序和方法一劳永逸地证明数学体系的可靠性。为此需要发明和锻造严格、精确、适用的逻辑工具。这是现代逻辑诞生的主要动力。由此造成的后果就是20世纪逻辑研究的严重数学化，其表现在于：一是逻辑专注于在数学的形式化过程中提出的问题；二是逻辑采纳了数学的方法论，从事逻辑研究就意味着象数学那样用严格的形式证明去解决问题。由此发展出来的逻辑被恰当地称为“数理逻辑”，它增强了逻辑研究的深度，使逻辑学的发展继古希腊逻辑、欧洲中世纪逻辑之后进入第三个高峰期，并且对整个现代科学特别是数学、哲学、语言学和计算机科学产生了非常重要的影响。 本文所要探讨的问题是：21世纪逻辑发展的主要动力将来自何处？大致说来将如何发展？我个人的看法是：计算机科学和人工智能将至少是21世纪早期逻辑学发展的主要动力源泉，并将由此决定21世纪逻辑学的另一幅面貌。由于人工智能要模拟人的智能，它的难点不在于人脑所进行的各种必然性推理（这一点在20世纪基本上已经做到了，如用计算机去进行高难度和高强度的数学证明，“深蓝”通过高速、大量的计算去与世界冠军下棋），而是最能体现人的智能特征的能动性、创造性思维，这种思维活动中包括学习、抉择、尝试、修正、推理诸因素，例如选择性地搜集相关的经验证据，在不充分信息的基础上作出尝试性的判断或抉择，不断根据环境反馈调整、修正自己的行为，……由此达到实践的成功。于是，逻辑学将不得不比较全面地研究人的思维活动，并着重研究人的思维中最能体现其能动性特征的各种不确定性推理，由此发展出的逻辑理论也将具有更强的可应用性。 实际上，在20世纪中后期，就已经开始了现代逻辑与人工智能（记为AI）之间的相互融合和渗透。例如，哲学逻辑所研究的许多课题在理论计算机和人工智能中具有重要的应用价值。AI从认知心理学、社会科学以及决策科学中获得了许多资源，但逻辑（包括哲学逻辑）在AI中发挥了特别突出的作用。某些原因促使哲学逻辑家去发展关于非数学推理 的理论；基于几乎同样的理由，AI研究者也在进行类似的探索，这两方面的研究正在相互接近、相互借鉴，甚至在逐渐融合在一起。例如，AI特别关心下述课题： ·效率和资源有限的推理； ·感知； ·做计划和计划再认； ·关于他人的知识和信念的推理； ·各认知主体之间相互的知识； ·自然语言理解； ·知识表示； ·常识的精确处理； ·对不确定性的处理，容错推理； ·关于时间和因果性的推理； ·解释或说明； ·对归纳概括以及概念的学习。[①] 21世纪的逻辑学也应该关注这些问题，并对之进行研究。为了做到这一点，逻辑学家们有必要熟悉AI的要求及其相关进展，使其研究成果在AI中具有可应用性。 我认为，至少是21世纪早期，逻辑学将会重点关注下述几个领域，并且有可能在这些领域出现具有重大意义的成果：（1）如何在逻辑中处理常识推理中的弗协调、非单调和容错性因素？（2）如何使机器人具有人的创造性智能，如从经验证据中建立用于指导以后行动的归纳判断？（3）如何进行知识表示和知识推理，特别是基于已有的知识库以及各认知主体相互之间的知识而进行的推理？（4）如何结合各种语境因素进行自然语言理解和推理，使智能机器人能够用人的自然语言与人进行成功的交际？等等。 1．常识推理中的某些弗协调、非单调和容错性因素 AI研究的一个目标就是用机器智能模拟人的智能，它选择各种能反映人的智能特征的问题进行实践，希望能做出各种具有智能特征的软件系统。AI研究基于计算途径，因此要建立具有可操作性的符号模型。一般而言，AI关于智能系统的符号模型可描述为：由一个知识载体（称为知识库KB）和一组加载在KB上的足以产生智能行为的过程（称为问题求解器PS）构成。经过20世纪70年代包括专家系统的发展，AI研究者逐步取得共识，认识到知识在智能系统中力量，即一般的智能系统事实上是一种基于知识的系统，而知识包括专门性知识和常识性知识，前者亦可看做是某一领域内专家的常识。于是，常识问题就成为AI研究的一个核心问题，它包括两个方面：常识表示和常识推理，即如何在人工智能中清晰地表示人类的常识，并运用这些常识去进行符合人类行为的推理。显然，如此建立的常识知识库可能包含矛盾，是不协调的，但这种矛盾或不协调应不至于影响到进行合理的推理行为；常识推理还是一种非单调推理，即人们基于不完全的信息推出某些结论，当人们得到更完全的信息后，可以改变甚至收回原来的结论；常识推理也是一种可能出错的不精确的推理模式，是在容许有错误知识的情况下进行的推理，简称容错推理。而经典逻辑拒斥任何矛盾，容许从矛盾推出一切命题；并且它是单调的，即承认如下的推理模式：如果p?r，则pùq?r；或者说，任一理论的定理属于该理论之任一扩张的定理集。因此，在处理常识表示和常识推理时，经典逻辑应该受到限制和修正，并发展出某些非经典的逻辑，如次协调逻辑、非单调逻辑、容错推理等。有人指出，常识推理的逻辑是次协调逻辑和非单调逻辑的某种结合物，而后者又可看做是对容错推理的简单且基本的情形的一种形式化。[②] “次协调逻辑”（Paraconsistent Logic）是由普里斯特、达·科斯塔等人在对悖论的研究中发展出来的，其基本想法是：当在一个理论中发现难以克服的矛盾或悖论时，与其徒劳地想尽各种办法去排除 或防范它们，不如干脆让它们留在理论体系内，但把它们“圈禁”起来，不让它们任意扩散，以免使我们所创立或研究的理论成为“不足道”的。于是，在次协调逻辑中，能够容纳有意义、有价值的“真矛盾”，但这些矛盾并不能使系统推出一切，导致自毁。因此，这一新逻辑具有一种次于经典逻辑但又远远高于完全不协调系统的协调性。次协调逻辑家们认为，如果在一理论T中，一语句A及其否定?A都是定理，则T是不协调的；否则，称T是协调的。如果T所使用的逻辑含有从互相否定的两公式可推出一切公式的规则或推理，则不协调的T也是不足道的(trivial)。因此，通常以经典逻辑为基础的理论，如果它是不协调的，那它一定也是不足道的。这一现象表明，经典逻辑虽可用于研究协调的理论，但不适用于研究不协调但又足道的理论。达·科斯塔在20世纪60年代构造了一系列次协调逻辑系统Cn（1≤n≤w），以用作不协调而又足道的理论的逻辑工具。对次协调逻辑系统Cn的特征性描述包括下述命题：(i)矛盾律?(Aù?A)不普遍有效；(ii)从两个相互否定的公式A和?A推不出任意公式；即是说，矛盾不会在系统中任意扩散，矛盾不等于灾难。(iii)应当容纳与(i)和(ii)相容的大多数经典逻辑的推理模式和规则。这里，(i)和(ii)表明了对矛盾的一种相对宽容的态度，(iii)则表明次协调逻辑对于经典逻辑仍有一定的继承性。 在任一次协调逻辑系统Cn(1≤n≤w)中，下述经典逻辑的定理或推理模式都不成立： ?(Aù?A) Aù?A→B A→(?A→B) (AA)→B (AA)→?B A→A (?Aù(AúB))→B (A→B)→(?B→?A) 若以C0为经典逻辑，则系列C0, C1, C2,… Cn,… Cw使得对任正整数i有Ci弱于Ci-1，Cw是这系列中最弱的演算。已经为Cn设计出了合适的语义学，并已经证明Cn相对于此种语义是可靠的和完全的，并且次协调命题逻辑系统Cn还是可判定的。现在，已经有人把次协调逻辑扩展到模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、多值逻辑、集合论等领域的研究中，发展了这些领域内的次协调理论。显然，次协调逻辑将会得到更进一步的发展。[③] 非单调逻辑是关于非单调推理的逻辑，它的研究开始于20世纪80年代。1980年，D·麦克多莫特和J·多伊尔初步尝试着系统发展一种关于非单调推理的逻辑。他们在经典谓词演算中引入一个算子M，表示某种“一致性”断言，并将其看做是模态概念，通过一定程序把模态逻辑系统T、S4和S5翻译成非单调逻辑。B·摩尔的论文《非单调逻辑的语义思考》（1983）据认为在非单调逻辑方面作出了令人注目的贡献。他在“缺省推理”和“自动认知推理”之间做了区分，并把前者看作是在没有任何相反信息和缺少证据的条件下进行推理的过程，这种推理的特征是试探性的：根据新信息，它们很可能会被撤消。自动认知推理则不是这种类型，它是与人们自身的信念或知识相关的推理，可用它模拟一个理想的具有信念的有理性的代理人的推理。对于在计算机和人工智能中获得成功的应用而言，非单调逻辑尚需进一步发展。 2．归纳以及其他不确定性推理 人类智能的本质特征和最高表现是创造。在人类创造的过程中，具有必然性的演绎推理固然起重要作用，但更为重要的是具有某种不确定性的归纳、类比推理以及模糊推理等。因此，计算机要成功地模拟人的智能，真正体现出人的智能品质，就必须对各种具有不确定性的推理模式进行研究。 首先是对归纳推理和归纳逻辑的研究。这里所说的“归纳推理”是广义的，指一切扩展性推理，它们的结论所断定的超出了其前提所断定的范围，因而前提的真无法保证结论的真，整个推理因此缺乏必然性。具体说来，这种意义的“归纳”包括下述内容：简单枚举法；排除归纳法，指这样一些操作：预先通过观察或实验列出被研究现象的可能的原因，然后有选择地安排某些事例或实验，根据某些标准排除不相干假设，最后得到比较可靠的结论；统计概括：从关于有穷数目样本的构成的知识到关于未知总体分布构成的结论的推理；类比论证和假说演绎法，等等。尽管休谟提出着名的“归纳问题”，对归纳推理的合理性和归纳逻辑的可能性提出了深刻的质疑，但我认为，（1）归纳是在茫茫宇宙中生存的人类必须采取也只能采取的认知策略，对于人类来说具有实践的必然性。（2）人类有理由从经验的重复中建立某种确实性和规律性，其依据就是确信宇宙中存在某种类似于自然齐一律和客观因果律之类的东西。这一确信是合理的，而用纯逻辑的理由去怀疑一个关于世界的事实性断言则是不合理的，除非这个断言是逻辑矛盾。（3）人类有可能建立起局部合理的归纳逻辑和归纳方法论。并且，归纳逻辑的这种可能性正在计算机科学和人工智能的研究推动下慢慢地演变成现实。恩格斯早就指出，“社会一旦有技术上的需要，则这种需要比十所大学更能把科学推向前进。”[④] 有人通过指责现有的归纳逻辑不成熟，得出“归纳逻辑不可能”的结论，他们的推理本身与归纳推理一样，不具有演绎的必然性。（4）人类实践的成功在一定程度上证明了相应的经验知识的真理性，也就在一定程度上证明了归纳逻辑和归纳方法论的力量。毋庸否认，归纳逻辑目前还很不成熟。有的学者指出，为了在机器的智能模拟中克服对归纳模拟的困难而有所突破，应该将归纳逻辑等有关的基础理论研究与机器学习、不确定推理和神经网络学习模型与归纳学习中已有的成果结合起来。只有这样，才能在已有的归纳学习成果上，在机器归纳和机器发现上取得新的突破和进展。[⑤] 这是一个极有价值且极富挑战性的课题，无疑在21世纪将得到重视并取得进展。 再谈模糊逻辑。现实世界中充满了模糊现象，这些现象反映到人的思维中形成了模糊概念和模糊命题，如“矮个子”、“美人”、“甲地在乙地附近”、“他很年轻”等。研究模糊概念、模糊命题和模糊推理的逻辑理论叫做“模糊逻辑”。对它的研究始于20世纪20年代，其代表性人物是L·A·查德和P·N·马林诺斯。模糊逻辑为精确逻辑（二值逻辑）解决不了的问题提供了解决的可能，它目前在医疗诊断、故障检测、气象预报、自动控制以及人工智能研究中获得重要应用。显然，它在21世纪将继续得到更大的发展。 3．广义内涵逻辑 经典逻辑只是对命题联结词、个体词、谓词、量词和等词进行了研究，但在自然语言中，除了这些语言成分之外，显然还存在许多其他的语言成分，如各种各样的副词，包括模态词“必然”、“可能”和“不可能” 、时态词“过去”、“现在”和“未来”、道义词“应该”、“允许”、“禁止”等等，以及各种认知动词，如“思考”、“希望”、“相信”、“判断”、“猜测”、“考虑”、“怀疑”，这些认知动词在逻辑和哲学文献中被叫做“命题态度词”。对这些副词以及命题态度词的逻辑研究可以归类为“广义内涵逻辑”。 大多数副词以及几乎所有命题态度词都是内涵性的，造成内涵语境，后者与外延语境构成对照。外延语境又叫透明语境，是经典逻辑的组合性原则、等值置换规则、同一性替换规则在其中适用的语境；内涵语境又称晦暗语境，是上述规则在其中不适用的语境。相应于外延语境和内涵语境的区别，一切语言表达式（包括自然语言的名词、动词、形容词直至语句）都可以区分为外延性的和内涵性的，前者是提供外延语境的表达式，后者是提供内涵性语境的表达式。例如，杀死、见到、拥抱、吻、砍、踢、打、与…下棋等都是外延性表达式，而知道、相信、认识、必然、可能、允许、禁止、过去、现在、未来等都是内涵性表达式。 在内涵语境中会出现一些复杂的情况。首先，对于个体词项来说，关键性的东西是我们不仅必须考虑它们在现实世界中的外延，而且要考虑它们在其他可能世界中的外延。例如，由于“必然”是内涵性表达式，它提供内涵语境，因而下述推理是非有效的： 晨星必然是晨星， 晨星就是暮星， 所以，晨星必然是暮星。 这是因为：这个推理只考虑到“晨星”和“暮星”在现实世界中的外延，并没有考虑到它们在每一个可能世界中的外延，我们完全可以设想一个可能世界，在其中“晨星”的外延不同于“暮星”的外延。因此，我们就不能利用同一性替换规则，由该推理的前提得出它的结论：“晨星必然是暮星”。其次，在内涵语境中，语言表达式不再以通常是它们的外延的东西作为外延，而以通常是它们的内涵的东西作为外延。以“达尔文相信人是从猿猴进化而来的”这个语句为例。这里，达尔文所相信的是“人是从猿猴进化而来的”所表达的思想，而不是它所指称的真值，于是在这种情况下，“人是从猿猴进化而来的”所表达的思想（命题）就构成它的外延。再次，在内涵语境中，虽然适用于外延的函项性原则不再成立，但并不是非要抛弃不可，可以把它改述为新的形式：一复合表达式的外延是它出现于外延语境中的部分表达式的外延加上出现于内涵语境中的部分表达式的内涵的函项。这个新的组合性或函项性原则在内涵逻辑中成立。 一般而言，一个好的内涵逻辑至少应满足两个条件：（i）它必须能够处理外延逻辑所能处理的问题；（ii）它还必须能够处理外延逻辑所不能处理的难题。这就是说，它既不能与外延逻辑相矛盾，又要克服外延逻辑的局限。这样的内涵逻辑目前正在发展中，并且已有初步轮廓。从术语上说，内涵逻辑除需要真、假、语句真值的同一和不同、集合或类、谓词的同范围或不同范围等外延逻辑的术语之外，还需要同义、内涵的同一和差异、命题、属性或概念这样一些术语。广而言之，可以把内涵逻辑看作是关于象“必然”、“可能”、“知道”、“相信”，“允许”、“禁止”等提供内涵语境的语句算子的一般逻辑。在这种广义之下，模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、认知逻辑、问题逻辑等都是内涵逻辑。不过，还有一种狭义的内涵逻辑，它可以粗略定义一个内涵逻辑是一个形式语言，其中包括（1）谓词逻辑的算子、量词和变元，这里的谓词逻辑不必局限于一阶谓词逻辑，也可以是高阶谓词逻辑；（2）合式的λ—表达式，例如(λx)A，这里A是任一类型的表达式，x是任一类型的变元，(λx)A本身是一函项，它把变元x在其中取值的那种类型的对象映射到A所属的那种类型上；（3）其他需要的模态的或内涵的算子，例如�，ù、ú。而一个内涵逻辑的解释，则由下列要素组成：（1）一个可能世界的非空集W；（2）一个可能个体的非空集D；（3）一个赋值，它给系统内的表达式指派它们在每w∈W中的外延。对于任一的解释Q和任一的世界w∈W，判定内涵逻辑系统中的任一表达式X相对于解释Q在w∈W中的外延总是可能的。这样的内涵逻辑系统有丘奇的LSD系统，R·蒙塔古的IL系统，以及E·N·扎尔塔的FIL系统等。[⑥] 在各种内涵逻辑中，认识论逻辑（epistemic logic）具有重要意义。它有广义和狭义之分。广义的认识论逻辑研究与感知（perception）、知道、相信、断定、理解、怀疑、问题和回答等相关的逻辑问题，包括问题逻辑、知道逻辑、相信逻辑、断定逻辑等；狭义的认识论逻辑仅指知道和相信的逻辑，简称“认知逻辑”。冯·赖特在1951年提出了对“认知模态”的逻辑分析，这对建立认知逻辑具有极大的启发作用。J·麦金西首先给出了一个关于“知道”的模态逻辑。A·帕普于1957年建立了一个基于6条规则的相信逻辑系统。J·亨迪卡于60年代出版的《知识和信念》一书是认知逻辑史上的重要着作，其中提出了一些认知逻辑的系统，并为其建立了基于“模型集”的语义学，后者是可能世界语义学的先导之一。当今的认知逻辑纷繁复杂，既不成熟也面临许多难题。由于认知逻辑涉及认识论、心理学、语言学、计算机科学和人工智能等诸多领域，并且认知逻辑的应用技术，又称关于知识的推理技术，正在成为计算机科学和人工智能的重要分支之一，因此认知逻辑在20世纪中后期成为国际逻辑学界的一个热门研究方向。这一状况在21世纪将得到继续并进一步强化，在这方面有可能出现突破性的重要结果。 4．对自然语言的逻辑研究 对自然语言的逻辑研究有来自几个不同领域的推动力。首先是计算机和人工智能的研究，人机对话和通讯、计算机的自然语言理解、知识表示和知识推理等课题，都需要对自然语言进行精细的逻辑分析，并且这种分析不能仅停留在句法层面，而且要深入到语义层面。其次是哲学特别是语言哲学，在20世纪哲学家们对语言表达式的意义问题倾注了异乎寻常的精力，发展了各种各样的意义理论，如观念论、指称论、使用论、言语行为理论、真值条件论等等，以致有人说，关注意义成了20世纪哲学家的职业病。再次是语言学自身发展的需要，例如在研究自然语言的意义问题时，不能仅仅停留在脱离语境的抽象研究上面，而要结合使用语言的特定环境去研究，这导致了语义学、语用学、新修辞学等等发展。各个方面发展的成果可以总称为“自然语言逻辑”，它力图综合后期维特根斯坦提倡的使用论 ，J·L·奥斯汀、J·L·塞尔等人发展的言语行为理论，以及P·格赖斯所创立的会话含义学说等成果，透过自然语言的指谓性和交际性去研究自然语言中的推理。 自然语言具有表达和交际两种职能，其中交际职能是自然语言最重要的职能，是它的生命力之所在。而言语交际总是在一定的语言环境（简称语境）中进行的，语境有广义和狭义之分。狭义的语境仅指一个语词、一个句子出现的上下文。广义的语境除了上下文之外，还包括该语词或语句出现的整个社会历史条件，如该语词或语句出现的时间、地点、条件、讲话的人（作者）、听话的人（读者）以及交际双方所共同具有的背景知识，这里的背景知识包括交际双方共同的信念和心理习惯，以及共同的知识和假定等等。这些语境因素对于自然语言的表达式（语词、语句）的意义有着极其重要的影响，这具体表现在：（i）语境具有消除自然语言语词的多义性、歧义性和模糊性的能力，具有严格规定语言表达式意义的能力。（ii）自然语言的句子常常包含指示代词、人称代词、时间副词等，要弄清楚这些句子的意义和内容，就要弄清楚这句话是谁说的、对谁说的、什么时候说的、什么地点说的、针对什么说的，等等，这只有在一定的语境中才能进行。依赖语境的其他类型的语句还有：包含着象“有些”和“每一个”这类量化表达式的句子的意义取决于依语境而定的论域，包含着象“大的”、“冷的”这类形容词的句子的意义取决于依语境而定的相比较的对象类；模态语句和条件语句的意义取决于因语境而变化的语义决定因素，如此等等。（iii）语言表达式的意义在语境中会出现一些重要的变化，以至偏离它通常所具有的意义（抽象意义），而产生一种新的意义即语用涵义。有人认为，一个语言表达式在它的具体语境中的意义，才是它的完全的真正的意义，一旦脱离开语境，它就只具有抽象的意义。语言的抽象意义和它的具体意义的关系，正象解剖了的死人肢体与活人肢体的关系一样。逻辑应该去研究、理解、把握自然语言的具体意义，当然不是去研究某一个（或一组）特定的语句在某个特定语境中唯一无二的意义，而是专门研究确定自然语言具体意义的普遍原则。[⑦] 美国语言学家保罗·格赖斯把语言表达式在一定的交际语境中产生的一种不同于字面意义的特殊涵义，叫做“语用涵义”、“会话涵义”或“隐涵”（implicature），并于1975年提出了一组“交际合作原则”，包括一个总则和四组准则。总则的内容是：在你参与会话时，你要依据你所参与的谈话交流的公认目的或方向，使你的会话贡献符合这种需要。仿照康德把范畴区分为量、质、关系和方式四类，格赖斯提出了如下四组准则： （1）数量准则：在交际过程中给出的信息量要适中。 a．给出所要求的信息量； b．给出的信息量不要多于所要求的信息量。 （2）质量准则：力求讲真话。 a．不说你认为假的东西。 b．不说你缺少适当证据的东西。 （3）关联准则：说话要与已定的交际目的相关联。 （4）方式准则：说话要意思明确，表达清晰。 a．避免晦涩生僻的表达方式； b．避免有歧义的表达方式； c．说话要简洁； d．说话要有顺序性。[⑧] 后来对这些原则提出了不少修正和补充，例如有人还提出了交际过程中所要遵守的“礼貌原则”。只要把交际双方遵守交际合作原则之类的语用规则作为基本前提，这些原则就可以用来确定和把握自然语言的具体意义（语用涵义）。实际上，一个语句p的语用涵义，就是听话人在具体语境中根据语用规则由p得到的那个或那些语句。更具体地说，从说话人S说的话语p推出语用涵义q的一般过程是： （i）S说了p； （ii）没有理由认为S不遵守准则，或至少S会遵守总的合作原则； （iii）S说了p而又要遵守准则或总的合作原则，S必定想表达q； （iv）S必然知道，谈话双方都清楚：如果S是合作的，必须假设q； （v）S无法阻止听话人H考虑q； （vi）因此，S意图让H考虑q，并在说p时意味着q。 试举二例： （1）a站在熄火的汽车旁，b向a走来。a说：“我没有汽油了。”b说：“前面拐角处有一个修车铺。”这里a与b谈话的目的是：a想得到汽油。根据关系准则，b说这句话是与a想得到汽油相关的，由此可知：b说这句话时隐涵着：“前面的修车铺还在营业并且卖汽油。” （2）某教授写信推荐他的学生任某项哲学方面的工作，信中写到：“亲爱的先生：我的学生c的英语很好，并且准时上我的课。”根据量的准则，应该提供所需要的信息量；作为教授，他对自己的学生的情况显然十分熟悉，也可以提供所需要的信息量，但他有意违反量的准则，在信中只用一句话来介绍学生的情况，任用人一旦接到这封信，自然明白：教授认为c不宜从事这项哲学工作。 并且，语用涵义还具有如下5个特点：（i）可取消性：在给原话语附加上某些话语之后，它原有的语用涵义可被取消。在例（1）中，若b在说“前面拐角处有一个修车铺”之后又补上一句：“不过它这时已经关门了”，则原有的语用涵义“你可从那里得到汽油”就被取消了。（ii）不可分离性：如果某话语在特定的语境中产生了语用涵义，则无论采用什么样的同义结构，该含义始终存在，因为它所依附的是话语的内容，而不是话语的形式。（iii）可推导性，前面已说明这一点。（iv）非规约性：语用涵义不能单独从话语本身推出来，除要考虑交际合作原则之类的语用规则之外，也需要假定通常的逻辑推理规则，并需要把上文语句、交际双方所共有的背景知识作为附加前提考虑在内。（v）不确定性：同一句话语在不同的语境中可以产生不同的语用涵义。显然，确定某个话语的语用涵义是一个极其复杂的过程，需要综合和分析、归纳和演绎的统一应用，因此具有一定的或然性。研究如何迅速有效地把握自然语言表达式在具体语境中的语用涵义，这正是自然语言逻辑所要完成的任务之一，它将在21世纪取得进展。
本科毕业论文撰写格式参考示例 摘要 （选题动机与研究动态简要描述） 资产证券化融资方式是……。近年来，国内外学者围绕这一主题的研究成果甚丰……但与……有一定差距，特别是从风险角度分析更有许多问题值得研究。 （中心思想的概括性描述） 本文集中阐述了资产证券化的相关概念及内涵，围绕资产证券化实施可能引起的问题做了相应的分析……，剖析了……，讨论了……，就……提出了个人的看法，并预测了……。 （研究方法与研究内容简要描述） 本文系运用规范研究方法进行的专题研究。全文分X个部分：首先（第一部分），是讨论了资产证券化的内涵、运作原理以及……其次（第二部分），是对其业务拓展及投资效益进行了分析……最后，是对资产证券化……做了展望与分析。 （作者文中创新观点的简要归纳） 本文主要创新体现在……… 关键词：资产证券化；效益 目录 引论……………………………………………………………………………1一、资产证券化的基本原理………………………………………………1（一）资产证券化内涵与分类……………………………………………………………1 （二）资产证券化的交易特点……………………………………………………………X （三）资产证券化的运作方式……………………………………………………………X （四）…… ………… 二、资产证券化涉及问题分析………………………………………X（一）…… ………… 结语……………………………………………………………………………X主要参考文献…………………………………………………………………X附 录………………………………………………………………………X附录一 XXXXXXXXXXXXXXXX…………………………………………………X 附录X XXXXXXXXXXXXXXXX…………………………………………………X 后记…………………………………………………………………………X 引论 资产证券化是近三十年来国际金融领域最为重要的金融创新之一。它最早出现在20世纪70年代的美国。1977年，美国投资银行家莱维斯�6�1S. 瑞尼尔（Lewis S. Rabieri）首次使用了“资产证券化（Asset Securitization）”一词……。国内学者也已经开展了一些这方面的研究，其中有代表性的成果有……。笔者认为现有研究中，迫切需要解决的问题是……，但相应成果并不多见。本文试就资产证券化问题与考评方法作初步分析和探讨。 一、资产证券化的基本原理 （一）资产证券化的内涵与分类 1.资产证券化的内涵 有关资产证券化的内涵问题，国内研究中引用最多的是格顿（Gardener）的定义和所谓的一级证券化、二级证券化的分类，以及融资证券化和资产证券化的分类，但学者们的分类并不一致，比较有影响的是何小锋的分类方法[①]。若按照标的资产分类，资产证券化主要包括资产支持证券（Asset-backed Securities，简称ABS）和抵押支持证券（Mortgage-backed Securities，简称MBS）[②]。目前，在学界较受认可的定义是：“资产证券是指主要由现金流支持的，这个现金流是由一组应收账款或者其他金融资产构成的资产池（asset pool）提供的，并通过条款确保资产在一个限定的时间内转换成现金以及拥有必要的权力，这种证券也可以是由那些能够通过服务条款或者具有合适的分配程序给证券持有人提供收入的资产支持的证券。”[③] ………… 本文转自华人论文网:
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