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初次看到这个题目，让我说“紧”这个概念，还真不好说。
然后就去百度了一下这个概念；要说起点集拓扑中“紧”这个概念，就得从欧式空间开始说起。
欧式空间其实就是在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
简单的来说，平常我们生活、思考、做题的时候用到的空间都是欧式空间。所以思考这个问题也是要在欧式空间中。
而题目中的点集拓扑，又名一般拓扑，是用点集的方法研究拓扑不变量的拓扑学支。
在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间;弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系;L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究 ，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ;1937年H.嘉当引进了"滤子"的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来。
拓扑学中的紧集在欧氏空间中就是有界闭集的，然而有界闭集一般不必是紧集。满足后者的空间称为Heine-Borel的。紧集可以看作欧式空间中有界闭集到任意空间中这样一类集合。
最后提一句关于学习数学的误区；学习一个数学概念要问的是自己有没有严谨无误地理解它，而不是如何寻找“直观”的类比。一容易误比，使得直观反而比正确的概念更容易被先入为主。二，既然直观，往往是特殊的例子不够本质。
打击你一下，我觉得拓扑学对于初一的孩子来说太难了……不过要是真想写，还是可以写一些东西的。以初一的知识很难接触到拓扑学的核心内容，所以你可以写的就只有比较直观的那些东西了最开始可以写写拓扑学的历史：七桥问题等等的……接下来介绍拓扑学中认为两个物体等价的条件：可以通过拉伸互相转变。重点在于不能粘接，不能打洞。在这种意义下，拓扑学认为圆柱面和环带是一样的，球体和正方体是一样的，烟斗和茶杯是一样的囧。。。还有拓扑学中必不可少的东西：墨笔乌斯带……如果你知识比较丰富的话还可能知道克莱因瓶。还可以讲讲拓扑学的分类：点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，几何拓扑……论文的最后可以写写拓扑学和你们所学的东西的关系啥的。也可以写写拓扑学里现在还未解决的问题，展望一下拓扑学的发展……这就比较困难了单独和我谈谈吧，我可以帮你构思一下比较具体的提纲以上内容均由本人亲自输入，未经本人允许不得拷贝byFizban_Yang
拓扑学是一门重要的数学基础学科，它和代数学一起构成数学的两大支柱。如果说代数学研究的是离散运算的一般理论，那么拓扑学则是研究连续映射的一般理论。 和其他数学分支相比，拓扑学是一门年轻的学科，它在20世纪初才从十九世纪的若干发展结晶成几何的一个分支。拓扑学所研究的是几何图形的那些经过任意变形后，保持不变的性质。这些变形可以是压缩、拉伸或任意的弯曲等等，但是，在变形过程中不允许产生新点，也不允许两点粘合在一起。这就是说，图形相邻近的点，变形后仍然是相邻近的，这种性质称为连续性；此外，图形和变形的点之间存在一个一一对应。因此，要求这个变形是连续的，并且逆变换也是连续的，这种变换称为拓扑等价或同胚。拓扑学有一个形象的外号--橡皮几何学，因为如果图形是用橡皮做成的，就能把许多图形变成同胚的图形。 拓扑学有很多不同的起源，这就使它分立成几个分支，主要是点集拓扑和代数拓扑 点集拓扑，又称一般拓扑，是在Cantor 集合论的强烈影响下形成的，它肇使于Frechet 1906年关于一般度量空间理论的论文和Hausdorff 1912年“集论基础”一书的出现。Hilbert 空间，Banach空间的引进，泛函分析的兴起，展现了把抽象点集引进适当结构而作为空间来研究的重要性。拓扑空间是这样的集合，它上面赋于某种结构，利用这种结构，我们可以谈点或子集之间的邻近性，从而可以谈映射的连续性。 在古典分析以泛函分析中，序列的极限居重要地位，因而使得分析中起作用的那些性质都是拓扑性质。泛函分析中的算子就是从一个空间到另一个空间的映射。因此，拓扑学自然地成为研究泛函分析的工具。 代数拓扑的起源和点集拓扑的起源是不同的，它的历史可以追溯到更为久远，在关于多面体的Euler 定理中已见代数拓扑的端倪。Euler 对于这个定理感兴趣是因为要用它来作多面体的分类。但他没有注意到连续变换下的不变性。 曲面的分类和Riemann的复变函数论方面的工作是推动拓扑学。他引进了基本群和同调群。促使他研究拓扑学是一些经典的几何问题和积分理论。 拓扑学的方法和许多概念已经渗透到数学的几乎所有领域，并在诸如物理学、化学和生物学等学科中得到了应用，今后这些应用定会更加广泛。
真的很难的，在很大程度上，研究拓扑学是需要天赋的！拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。最著名的研究成果有七孔桥问题、欧拉定理和四色问题！
随机环境中经济增长模型研究广义生产函数假设下的经济增长模型分析考虑市场预期的供求关系模型基于Matlab的离散事件模拟用风险预算进行资产配置有向图上的PAR贯序模拟系统单圈图的一般Randic指标的极值问题模糊数学在公平评奖问题中的应用模糊矩阵在环境评估中的初步应用模糊评判在电脑中的初步应用数学家的数学思想Riemann积分定义的网收敛表述微积分思想在不等式证明中的应用用有限的尺度标量无限的过程-略论极限ε语言在微积分及现代数学中的位置及意义微积分思想在几何问题中的应用齐次平衡法求KdV-Burgers方程的Backlund变换Painleve分析法判定MKdV-Burgers方程的可积性直接法求KdV-Burgers方程的对称及精确解行波求解KdV-Burgers方程因子有向图的矩阵刻划简单图上的lit-only sigma-game半正则图及其线图的特征多项式与谱分数有向图的代数表示WWW网络的拓扑分析作者合作网络等的拓扑分析古诺模型价格歧视用数学软件做计算微分方程的计算器用数学软件做矩阵计算的计算器弹簧－质点系统的反问题用线性代数理论做隐含语义搜索对矩阵若当标准型理论中变换阵求法的探讨对矩阵分解理论的探讨对矩阵不等式理论的探讨(1)对矩阵不等式理论的探讨(2)函数连续性概念及其在现代数学理论中的延伸从有限维空间到无限维空间Banach空间中脉冲泛函微分方程解的存在性高阶脉冲微分方程的振动性具有积分边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性分数阶微分方程的正则摄动一个形态形成模型的摄动解一个免疫系统常微分方程模型的渐近解前列腺肿瘤连续性激素抑制治疗的数学模型前列腺肿瘤间歇性激素抑制治疗的数学模型病毒动力学数学模型肿瘤浸润数学模型耗散热方程初边值问题解的正则性耗散波方程初边值问题解的正则性耗散Schrodinger方程初边值问题解的正则性非线性发展方程解得稳定性消费需求的鲁棒调节生产函数的计量分析企业的成本形态分析的研究分数阶Logistic方程的数值计算分数阶捕食与被捕食模型的数值计算AIDS传播模型的全局性分析HIV感染模型的全局性分析风险度量方法的比较及其应用具有区间值损益的未定权益定价分析模糊规划及其在金融分析中的应用长依赖型金融市场股票价格与长相依性分数布朗运动下的外汇期权定价不确定性与资产定价加油站点的分布与出租车行业的关系
有人告诉我，数学拓扑学博士毕业很难。为什么？拓扑学真的那么难吗？因为什么是拓扑？拓扑学的英文名是Topology，直译是地理学，即类似于研究地形地貌的相关学科。在中国早期被翻译成“情境几何”、“连续几何”、“一对一连续变换群下的几何”。然而，这些翻译并不容易理解。1956年，统一数学命名法将其确定为拓扑学，是音译。拓扑学是几何学的一个分支，但这个几何学不同于通常的平面几何学和立体几何学。通常平面几何或立体几何的研究对象是点、线、面之间的位置关系及其度量性质。拓扑学与研究对象的长度、大小、面积、体积等度量属性之间的数量关系无关。例如，在通常的平面几何中，将平面上的一个图形移动到另一个图形。如果两个图形完全重合，那么这两个图形称为同余。然而，拓扑学中所研究的图形无论其大小或形状在运动中都是变化的。在拓扑学中，没有不可弯曲的元素，每个图形的大小和形状都是可以改变的。比如前面提到的欧拉解决哥尼斯堡七桥问题时，他画的图形没有考虑它的大小和形状，只考虑了点和线的数量。这些都是拓扑思维的起点。拓扑性质是什么？首先我们引入拓扑等价，这是一个很容易理解的拓扑性质。拓扑学中不讨论两个图之间的同余的概念，而是讨论拓扑等价的概念。比如圆、正方形、三角形虽然形状大小不同，但都是拓扑变换下的等价图形。左图中的三个东西在拓扑上是等价的，换句话说，从拓扑学的角度来看是完全一样的。在一个球面上选择一些点，用不相交的线连接起来，这样球面就被这些线分割成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍与原数相同，这就是拓扑等价。一般来说，对于任意形状的封闭曲面，只要曲面不被撕裂或切割，其变换就是拓扑变化，存在拓扑等价。需要指出的是，torus不具备这种性质。比如左图所示，如果把圆环体切开，就不会分成很多块，而是变成一个弯曲的桶形。在这种情况下，我们说球面在拓扑上不能变成环面。所以球面和圆环面在拓扑学上是不同的曲面。一条直线上的点与线之间的组合关系和序列关系在拓扑变换下不变，这是一种拓扑性质。在拓扑学中，曲线和曲面的封闭性质也是拓扑性质。我们平时说的平面和曲面，通常都是有两面的，就像一张纸有两面一样。但是德国数学家莫比乌斯(1790 ~ 1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种表面不能两面涂不同的颜色。拓扑的不变量和不变量有很多，这里就不介绍了。拓扑学建立后，由于其他数学学科的发展需要，也得到迅速发展。特别是黎曼创立黎曼几何后，他把拓扑的概念作为解析函数论的基础，进一步推动了拓扑学的进步。20世纪以来，集合论被引入拓扑学，开辟了拓扑学的新面貌。拓扑学变成了关于任意点集对应的概念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。由于大量自然现象的连续性，拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的可能性。通过对拓扑学的学习，可以明确空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。自20世纪30年代以来，数学家们对拓扑学进行了更深入的研究，提出了许多新概念。比如一致结构、抽象距离、近似空间等概念。数学中有一个分支叫微分几何，用微分工具研究线和面在一个点附近的弯曲，拓扑学研究面的全局关系，所以两个学科之间应该有某种本质的联系。1945年，美国华裔数学家陈省身在代数拓扑和微分几何之间建立了联系，促进了全球几何的发展。到目前为止，拓扑学在理论上已经明确分为两个分支。一个分支侧重于用分析方法进行研究，称为点集拓扑学，或解析拓扑学。另一个分支侧重于代数方法，称为代数拓扑。现在，这两个分支有了统一的趋势。拓扑学广泛应用于泛函分析、李群理论、微分几何、微分方程等许多数学分支。一般来说，拓扑学很难。
打击你一下，我觉得拓扑学对于初一的孩子来说太难了……不过要是真想写，还是可以写一些东西的。以初一的知识很难接触到拓扑学的核心内容，所以你可以写的就只有比较直观的那些东西了最开始可以写写拓扑学的历史：七桥问题等等的……接下来介绍拓扑学中认为两个物体等价的条件：可以通过拉伸互相转变。重点在于不能粘接，不能打洞。在这种意义下，拓扑学认为圆柱面和环带是一样的，球体和正方体是一样的，烟斗和茶杯是一样的囧。。。还有拓扑学中必不可少的东西：墨笔乌斯带……如果你知识比较丰富的话还可能知道克莱因瓶。还可以讲讲拓扑学的分类：点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，几何拓扑……论文的最后可以写写拓扑学和你们所学的东西的关系啥的。也可以写写拓扑学里现在还未解决的问题，展望一下拓扑学的发展……这就比较困难了单独和我谈谈吧，我可以帮你构思一下比较具体的提纲以上内容均由本人亲自输入，未经本人允许不得拷贝byFizban_Yang
郇真的读音是xún zhēn。
郇真于2006年获得北京大学数学学士，本科毕业论文研究的是拓扑学上的莫尔斯理论与博特周期性定理，随后赴美深造，于2009年在印第安纳大学布卢明顿分校取得数学硕士。在此期间，她的研究兴趣转向了代数拓扑（使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支），在2010年转入此领域内更有声势的伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校，最终于2017年取得数学博士学位。
人物拓展：
2017年，郇真回国赴中山大学任特聘副研究员，两年后转赴华中科技大学数学中心工作。郇真曾于2017年至2019年在中山大学担任research associate（助理研究员），2019年6月转入华中科技大学数学中心任associate professor（副研究员）。
近日，华中科技大学数学与统计学院、华中科技大学数学中心发布消息，祝贺郇真副研究员的文章“Representations of Lie 2-groups and 2-Vector Bundles"被顶刊Acta Mathematica接收。Acta Mathematica被誉为世界四大数学顶级期刊之一。
郇真在社交平台发文，“其实我觉得一个数学工作者所面对的世界就像王尔德和安徒生的童话中的一样……而这个世界上的其他人其实并不知道我们在做什么，付出了多少，从他们的角度，我们多多少少是很奇怪的人。”
拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。具体参看
1981年毕业于陕西师范大学数学系，次年在我国著名数学家，陕西师范大学王国俊先生指导下攻读拓扑专业硕士学位；1988年赴英国剑桥大学攻读博士，师从英国著名数学家Peter Johnstone，1993年获得剑桥大学博士学位。1994年至今在新加坡南洋理工大学国立教育学院从事教学、研究。赵东升教授在拓扑学领域有着很深的学术造诣，对世界拓扑学的发展做出了卓越的贡献，读大学时，不仅本科生阶段的毕业论文《函数网上极限函数的连续性》对拓扑空间的极限函数提出了自己的见解，而且在此后研究生的学习阶段（导师王国俊）和教学科研工作中取得了突出的成就，学生时代结束后，他在工作岗位上发光发热，继续为数学这门学科做着自己的贡献。
据悉，郇真，2006年本科毕业于北京大学，2009年硕士毕业于美国印第安纳大学伯明顿分校（Indiana University Bloomington），2017年博士毕业于美国伊利诺伊大学香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign）。博士毕业后，郇真于2017年回国赴中山大学任特聘副研究员，两年后转赴华中科技大学数学中心工作至今。据华中科技大学数学中心官网信息，郇真现为该中心几何拓扑与数学物理团队成员；研究领域涵盖代数拓扑、代数几何和数学物理等。值得一提的是，郇真的父亲是北京师范大学数学系教授郇中丹。↓ 往下拉，下面的文章更精
机械论文参考文献
在学习和工作中，大家都有写论文的经历，对论文很是熟悉吧，通过论文写作可以提高我们综合运用所学知识的能力。怎么写论文才能避免踩雷呢？以下是我收集整理的机械论文参考文献，仅供参考，大家一起来看看吧。
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