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1、对于一阶齐次线性微分方程：
其通解形式为：
其中C为常数，由函数的初始条件决定。
2、对于一阶非齐次线性微分方程：
其对应齐次方程:
解为：
令C=u(x)，得:
带入原方程得：
对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：
扩展资料
主要思想：
数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。
利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。
参考资料来源：百度百科-一阶线性微分方程
随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用摘要: 根据泄洪过程中库水位过程的随机微分方程,利用数值解方法,模拟了随机干扰下的库水位及其波动状况.采用相应公式计算了洪水漫越坝顶事件的概率以及库水位过程在不同时刻的样本均值.并通过比较在同样强度的随机干扰下库水位的高低状况,确定出各种泄洪方案的优劣,从而对防洪工作具有重要的指导意义.关键词: 随机微分方程;数值解;欧拉法;泄洪风险1 引 言收稿日期:2005-06-27基金项目:国家自然科学基金(60474037);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-415) 对于洪水,风暴潮等自然灾害事件,风险分析是一种极为有效的工具[1].由于洪水过程具有很多种不确定性因素,随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析.近年来,这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程[2—4];Sen以一阶马尔科夫过程为工具对具有线性相关结构的水文系列风险进行计算[5].特别地,随机微分方程被引入防洪风险分析,由此建立了水库调洪演算的随机数学模型[6,7].由于随机微分方程本身的复杂性,除了一些线性的或者特殊结构的方程以外,可求出显示解的随机微分方程很少[8,9].本文中讨论的随机微分方程不具有上述性质,因此无法求出显示解.姜树海根据其解过程的一阶概率密度函数满足Fokker-Plank向前方程,而这一方程又是一偏微分方程,从而利用偏微分方程的有限差分法求出其数值解[6],但这种方法不能求得概率特征,于是JC计算方法被用于近似地算出洪水漫越坝顶的概率[7].不难看出,这种方法由于采用多次转化,误差比较大.本文利用随机微分方程数值解方法,结合实际例子,分析总结了库水位在布朗运动干扰下的随机波动状况;直接求出了洪水漫坝的风险概率和库水位过程在不同时刻的数学期望.并且还对不同的方案进行分析比较,以确定哪种方案的效果更好,从而可对防洪决策过程提供一定的依据.2 调洪过程的随机微分方程调洪过程中入库洪水和出库泄量是随机过程,其库容水位满足随机微分方程[6]:dH(t) =Q-(t) -q-(H,c)G(H)dt+dB(t)G(H)H(t0) =H0(1)H(t)为库水位过程;H0为初始库水位,它是一个随机变量;Q(t)为任意时刻入库洪水量;q(h,c)为相应时刻的泄洪流量;Q-,q-分别为来流和泄洪的均值过程线;c为流量系数等水利参数.G(H) =dW(H)dH,W(H)是水库的库容量,B(t)是一均值为零的Wiener过程,dB(t)/dt是一正态白噪声,B(t)的一维概率密度函数f(B)为:f(B) =12πt·σexp -B22σ2t.由上式可以看出,E[B(t)] = 0,D[B(t)] =σ2t.洪水漫越坝顶的泄洪风险率定义为Pf=Pf[H Z],其中,Z为相应的坝高.3 计算方法由于随机微分方程很少可求出显示解,故其数值解方法得到广泛的研究和应用.相对于常微分方程数值法而言,随机微分方程数值解方法引入了随机增量,它将所考虑的时间区间做有限划分,一步一步地在节点处生成样本轨道的逼近值,其数值解方法主要有:Eu-ler法、Milstein法、Runge-Kutta法等.这里采用Euler法.3.1 随机微分方程解的欧拉逼近法考虑一般随机微分方程:dXt=a(t,Xt)dt+b(t,Xt)dWt(2)其中,t0 t T,初始条件是Xt0=X0.我们对时间区间[t0,T]进行离散化:t0=τ0<τ1<…<τn<…<τN=T. 采用Euler逼近法[8],构造一连续过程Y= {Y(t),t0 t T}满足以下迭代格式:Yn+1=Yn+a(τn,Yn)(τn+1-τn) +b(τn,Yn)(Wτn+1-Wτn)其中,n= 0,1,2,…,N- 1,Y0=X0.将通过逐步迭代得出的有限个离散的随机变量作为原随机微分方程在相应时间节点的近似解.显然,如果扩散项系数为零,则原随机微分方程退化为一般的常微分方程,于是随机微分方程的Euler法就退化为常微分方程的Euler法.就数值方法而言,一般讨论其强收敛性.定义1[8] 对于一个最大步长为δ的离散逼近序列Yδ,它在时刻T强收敛于一个Ito∧过 你好，我有相关论文资料（博士硕士论文、期刊论文等）可以对你提供相关帮助，需要的话请加我，7 6 1 3 9 9 4 5 7（扣扣），谢谢。
就跟一次方程一样很简单
问题能否具体点？
这个论文呀，是发挥你的长处的时候了，加油啊
随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用摘要: 根据泄洪过程中库水位过程的随机微分方程,利用数值解方法,模拟了随机干扰下的库水位及其波动状况.采用相应公式计算了洪水漫越坝顶事件的概率以及库水位过程在不同时刻的样本均值.并通过比较在同样强度的随机干扰下库水位的高低状况,确定出各种泄洪方案的优劣,从而对防洪工作具有重要的指导意义.关键词: 随机微分方程;数值解;欧拉法;泄洪风险1 引 言收稿日期:2005-06-27基金项目:国家自然科学基金(60474037);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-415) 对于洪水,风暴潮等自然灾害事件,风险分析是一种极为有效的工具[1].由于洪水过程具有很多种不确定性因素,随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析.近年来,这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程[2—4];Sen以一阶马尔科夫过程为工具对具有线性相关结构的水文系列风险进行计算[5].特别地,随机微分方程被引入防洪风险分析,由此建立了水库调洪演算的随机数学模型[6,7].由于随机微分方程本身的复杂性,除了一些线性的或者特殊结构的方程以外,可求出显示解的随机微分方程很少[8,9].本文中讨论的随机微分方程不具有上述性质,因此无法求出显示解.姜树海根据其解过程的一阶概率密度函数满足Fokker-Plank向前方程,而这一方程又是一偏微分方程,从而利用偏微分方程的有限差分法求出其数值解[6],但这种方法不能求得概率特征,于是JC计算方法被用于近似地算出洪水漫越坝顶的概率[7].不难看出,这种方法由于采用多次转化,误差比较大.本文利用随机微分方程数值解方法,结合实际例子,分析总结了库水位在布朗运动干扰下的随机波动状况;直接求出了洪水漫坝的风险概率和库水位过程在不同时刻的数学期望.并且还对不同的方案进行分析比较,以确定哪种方案的效果更好,从而可对防洪决策过程提供一定的依据.2 调洪过程的随机微分方程调洪过程中入库洪水和出库泄量是随机过程,其库容水位满足随机微分方程[6]:dH(t) =Q-(t) -q-(H,c)G(H)dt+dB(t)G(H)H(t0) =H0(1)H(t)为库水位过程;H0为初始库水位,它是一个随机变量;Q(t)为任意时刻入库洪水量;q(h,c)为相应时刻的泄洪流量;Q-,q-分别为来流和泄洪的均值过程线;c为流量系数等水利参数.G(H) =dW(H)dH,W(H)是水库的库容量,B(t)是一均值为零的Wiener过程,dB(t)/dt是一正态白噪声,B(t)的一维概率密度函数f(B)为:f(B) =12πt·σexp -B22σ2t.由上式可以看出,E[B(t)] = 0,D[B(t)] =σ2t.洪水漫越坝顶的泄洪风险率定义为Pf=Pf[H Z],其中,Z为相应的坝高.3 计算方法由于随机微分方程很少可求出显示解,故其数值解方法得到广泛的研究和应用.相对于常微分方程数值法而言,随机微分方程数值解方法引入了随机增量,它将所考虑的时间区间做有限划分,一步一步地在节点处生成样本轨道的逼近值,其数值解方法主要有:Eu-ler法、Milstein法、Runge-Kutta法等.这里采用Euler法.3.1 随机微分方程解的欧拉逼近法考虑一般随机微分方程:dXt=a(t,Xt)dt+b(t,Xt)dWt(2)其中,t0 t T,初始条件是Xt0=X0.我们对时间区间[t0,T]进行离散化:t0=τ0<τ1<…<τn<…<τN=T. 采用Euler逼近法[8],构造一连续过程Y= {Y(t),t0 t T}满足以下迭代格式:Yn+1=Yn+a(τn,Yn)(τn+1-τn) +b(τn,Yn)(Wτn+1-Wτn)其中,n= 0,1,2,…,N- 1,Y0=X0.将通过逐步迭代得出的有限个离散的随机变量作为原随机微分方程在相应时间节点的近似解.显然,如果扩散项系数为零,则原随机微分方程退化为一般的常微分方程,于是随机微分方程的Euler法就退化为常微分方程的Euler法.就数值方法而言,一般讨论其强收敛性.定义1[8] 对于一个最大步长为δ的离散逼近序列Yδ,它在时刻T强收敛于一个Ito∧过 你好，我有相关论文资料（博士硕士论文、期刊论文等）可以对你提供相关帮助，需要的话请加我，7 6 1 3 9 9 4 5 7（扣扣），谢谢。
微分方程在力学中的应用是非常广泛的。但是你的问题问得太不着边际了，很难回答。微分方程分为常微分方程和偏微分方程。一般来说，后者应用更为广泛。常系数常微分方程通常用来解一些最简单、最基本的动力学问题，例如速度、加速度、弹簧受力分析等等。例如：F=m*d(ds/dt)/dt就是牛顿第二定律。这些方程一般都可以解出。最常见的非常系数常微分方程有贝赛尔方程、薛定鄂方程以及非线性薛定鄂方程等，这些方程一般应用在边界条件为圆柱或圆球形状的波的振动描述上。偏微分方程是分析波动、二维受力分析等常见的方程了。如果你要写论文，可以考虑以下两方面的应用：1 牛顿定律分析2 波动分析
天文科普，拉格朗日点，你知道是什么吗
随机环境中经济增长模型研究广义生产函数假设下的经济增长模型分析考虑市场预期的供求关系模型基于Matlab的离散事件模拟用风险预算进行资产配置有向图上的PAR贯序模拟系统单圈图的一般Randic指标的极值问题模糊数学在公平评奖问题中的应用模糊矩阵在环境评估中的初步应用模糊评判在电脑中的初步应用数学家的数学思想Riemann积分定义的网收敛表述微积分思想在不等式证明中的应用用有限的尺度标量无限的过程-略论极限ε语言在微积分及现代数学中的位置及意义微积分思想在几何问题中的应用齐次平衡法求KdV-Burgers方程的Backlund变换Painleve分析法判定MKdV-Burgers方程的可积性直接法求KdV-Burgers方程的对称及精确解行波求解KdV-Burgers方程因子有向图的矩阵刻划简单图上的lit-only sigma-game半正则图及其线图的特征多项式与谱分数有向图的代数表示WWW网络的拓扑分析作者合作网络等的拓扑分析古诺模型价格歧视用数学软件做计算微分方程的计算器用数学软件做矩阵计算的计算器弹簧－质点系统的反问题用线性代数理论做隐含语义搜索对矩阵若当标准型理论中变换阵求法的探讨对矩阵分解理论的探讨对矩阵不等式理论的探讨(1)对矩阵不等式理论的探讨(2)函数连续性概念及其在现代数学理论中的延伸从有限维空间到无限维空间Banach空间中脉冲泛函微分方程解的存在性高阶脉冲微分方程的振动性具有积分边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性分数阶微分方程的正则摄动一个形态形成模型的摄动解一个免疫系统常微分方程模型的渐近解前列腺肿瘤连续性激素抑制治疗的数学模型前列腺肿瘤间歇性激素抑制治疗的数学模型病毒动力学数学模型肿瘤浸润数学模型耗散热方程初边值问题解的正则性耗散波方程初边值问题解的正则性耗散Schrodinger方程初边值问题解的正则性非线性发展方程解得稳定性消费需求的鲁棒调节生产函数的计量分析企业的成本形态分析的研究分数阶Logistic方程的数值计算分数阶捕食与被捕食模型的数值计算AIDS传播模型的全局性分析HIV感染模型的全局性分析风险度量方法的比较及其应用具有区间值损益的未定权益定价分析模糊规划及其在金融分析中的应用长依赖型金融市场股票价格与长相依性分数布朗运动下的外汇期权定价不确定性与资产定价加油站点的分布与出租车行业的关系
这个论文呀，是发挥你的长处的时候了，加油啊
现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。 要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。 （2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。 （3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ （4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ 【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。 语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0) 例如函数： function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % a column vector dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); 设置选项： options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]); 求解得： [t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); 画出解函数曲线图形： plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')
1500字太夸张了，给你一下提示吧！ 1、运用微分方程或微分方程组，可以描述经济系统的动态运行规律。2、运用微分方程，可以分析经济系统的均衡与稳定性。3、在微分方程中加入控制变量，将经济学问题转化为最优控制问题，可以分析经济系统的最优控制策略。目前比较常用的微分方程在经济学中的应用有：（1）最早的哈罗德-多马经济增长模型、索罗模型等均属于微分方程（或转化为差分方程）模型。（2）后来的经济增长的世代交替模型等也是运用的微分方程。（3）技术扩散的巴斯模型，以及分析竞争洛克塔-瓦塔利亚模型也是微分方程模型。（4）亚瑟的路径依赖与锁定模型是随机微分方程。（5）布莱克-斯科尔斯期权定价模型，源于随机微分方程和变分法。（6）各种进化博弈模型中的复制动态方程是微分方程。
解：∵dy/dx+py=q ==>dy+(py-q)dx=0 ∴μdy+μ(py-q)dx=0 ∵μ是原微分方程的积分因子的充要条件是：μ关于x的偏导数=(py-q)关于y的偏导数 经检验，只有答案（A）中的μ才满足上述条件 ∴应该选择答案（A）。
我猜你是问 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 存在解析解的充要条件由全微分性质，若存在连续函数 T(x,y)，满足 dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy ，其充要条件为：∂M(x,y)/∂y=∂N(x,y)/∂x
1、倒向随机微分方程数值方法与非线性期望在金融中的应用：g-定价机制及风险度量2、分形市场中两类衍生证券定价问题的研究3、在机制转换金融市场中投资者的最优消费和投资行为分析4、商业银行金融风险程度的模糊综合评价5、金融保险中的若干模型与分析6、金融印鉴真伪识别新方法研究7、基于区间分析的金融市场风险管理VaR计算方法研究8、分形理论及其在金融市场分析中的应用9、离散时间随机区间值收益市场下的定价分析10、金融学理论及其未来发展趋势--转向整合11、微分方程数值解法及在数学建模中的应用12、金融模糊模型与方法13、模糊数学在储蓄机构设置中的应用14、金融市场中的时间变换方法及其应用15、从数学走进生活的创新教育16、为何经济学无法预测金融危机17、金融资产的离散过程动态风险度量研究18、论金融衍生工具及在我国商业银行信贷风险管理中的应用19、基于VAR模型的江苏省金融发展与经济增长关系研究20、货币危机预警模型研究21、在银行和金融业数据分析中应用数学规划模型22、随机过程理论在期权定价中的应用23、金融保险中的几类风险模型24、数学金融学中的期权定价问题25、金融资产收益相关性及持续性研究26、同伦分析方法在非线性力学和数学生物学中的应用27、存货质押融资的供应链金融服务研究28、金融机构资产负债管理模型及在泉州银行的应用29、社保基金投资资本市场：理论探讨、金融创新与投资运营30、量子方案的金融资产投资最优组合选择31、房价调控的数学模型分析32、基于小波分析的金融数据频域分析33、非线性数学期望下的随机微分方程及其应用34、竞争性电力市场中的金融工程理论与实证研究35、小波理论及其在经济金融数据处理中的应用36、四种金融投资风险介绍37、扩展的欧式期权定价模型研究38、基于可疑金融交易识别的离群模式挖掘研究39、华尔街的数学革命40、辽宁城乡金融发展差异对城乡经济增长影响的实证研究41、衍生金融工具风险监控问题探析42、金融危机之信用失衡43、基于西部金融中心建设目标的成都金融人才需求预测研究44、基于小波变换的金融时间序列奇异点识别模型与研究45、我国区域金融中心发展路径与模式研究46、我国农村金融供给不足问题的探讨47、金融发展对江西经济增长的影响48、基于金融自由度的香港人民币离岸市场反洗钱研究49、商业银行信贷市场的非对称信息博弈及基于Agent的SWARM仿真50、金融危机背景下企业并购投资决策体系研究
■ 有些微分方程求不出函数解(解析解)，只能求数值解，MMA软件的函数命令 tt＝NDSolve[微分方程]，然后 ▲赋值ⅹ＝2，求出 y＝？ ▲赋值 x＝3，求出 y＝？ ··· 赋值ⅹ＝n，求出 y＝？，这些就是微分方程的数值解。虽然解不出未知函数y(ⅹ)表达式，但MMA可画出它的函数图像，很复杂的图像都能画出来。也碰到过特例，从(ⅹ0)向左图像就没了，对y(x)赋值后发现，x≤xo时，函数值y(ⅹ)变成复数了，包括( 1、ⅰ )二个维度，MMA当然无法画图了。多数工程技术出现的微分方程组，总求不出函数解析式，所以数值解的意义和作用不言而喻。■ 从数值分析来看，偏微分方程及微分方程数值解常用二种方法。① 差分法~原理是用《差商》替代微商(导数)。②有限元法~原理是泛函变分法。将微分方程边值问题→泛函求极值问题→线性代数方程求解。MMA求解数值解时在各种方法中选择最优法。
有个未知数u怎么用数值来做啊
要:常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题，实际生活中很多问题的数学模型都是微分方程。但在许多情况下，首先找到问题的解析解，然后再进行相关的计算往往非常困难，有时甚至是行不通的，基于此理由，我们可以避免求解析解而直接求相应的数值解。本论文就是对目前已有的常微分方程的数值方法进行研究，并大胆地提出一种新的数值方法——欧拉-牛顿法。 关键词：常微分方程 解析解 数值解 研究 新的数值方法 欧拉-牛顿法 0 引言 在生产实践和科学研究过程中，我们经常会遇到求解常微分方程的定解问题，虽然我们已经知道不少类型的常微分方程的解法。但工程技术人员在工程和科学研究中所关心的往往只是常微分方程的近似数值解，而非从事数学研究的技术人员所注重的“过程”。采用常规的人工推导、求解无疑是效率非常低下的，而且工程上的常微分方程往往结构非常复杂，要给出一般方程解的表达式也是非常困难的。实际上到目前为止，我们只能对有限的几种特殊类型的方程求精确解，这远不能满足工程需要，对那些不能用初等函数来表达的方程就只能去求其近似的数值解，而且这样还可以借助于运算速度快的计算机来进行辅助求解，大大提高求解的速度和精度。我们考虑一阶常微分方程初值问题在区间[a，b]上的解，其中f(x，y)为x，y的已知函数，y0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y(x)。数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n+1个节点,这里差hi=xi+1-xi，i=0，1，…，n称为由xi到xi+1的步长。这些hi可以不相等，但一般取成相等的，这时，在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分,泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是上述初值问题在节点xn上的数值解。一般说来，不同的离散化导致不同的方法。本文在对目前已有的常微分方程的数值方法进行深入研究的基础上，对改进的欧拉方法进行再次改进并提出一种新的数值方法（本文命名为欧拉-牛顿法），并能够以具体实例来验证方法的有效性和实用性。 1 欧拉—牛顿法 改进的欧拉方法的公式是 先研究求的近似值，其中是步长。对于递推格式 由此所确定的可以看成是下面关于的（非线性）函数 在y=yk-1附近的零点。虽然上面(2)式定义的F(y)还与k以及xk-1，xk,yk-1有关，但这个问题还可以在求数值解时予以考虑，对于理论分析来说则无需顾及。如果我们直接利用牛顿法求F(y)在y=yk-1附近的零点，当然可以利用yk-1作为z的初值z0，利用 由于zi-1到zi的区间很小，所以在每一个小区间内设已知方程F(z)=0有近似根zi-1，将函数F(z)在点zi-1展开，有 于是方程F(z)=0可近似地表示为： 这是个线性方程，记其根为zi，则有 从而得到欧拉—牛顿法的递推格式为： f(x，y)关于y的偏导数的绝对值通常特别大，由此可以得出 的值也特别大，再加之初始解yk-1已经很靠近F(y)的零点，所以采用牛顿法求F(y)在y=yk-1附近的零点实现了问题与方法之间的完美结合。事实上，在一般情况下利用(4)式迭代一次即可得到满意的结果。考虑到f(x，y)的凸凹性可能会对迭代格式(4)产生一定的影响，所以保险起见，也可以利用(4)式迭代两次，至少可以增强算法的稳定性。 例1．求解下述初值问题 上面(5)式的理论解为 表中符号说明：X[k]是x的值；Y[k]是对应每一个x的y精确值（理论值）；YX[k]是利用欧拉-牛顿法计算出的y近似值；E[k]是y精确值和近似值之间的误差。利用欧拉—牛顿法求解的计算结果的精度至少达到了小数点后13位，甚至有的达到了小数点后15位，表1中y精确值和计算值之间的误差E[k]的值非常的小，几乎达到了零值，即用欧拉—牛顿法得到的结果几乎达到了人们所企盼的结果，它很明显地优越于改进的欧拉方法，所以实例证明欧拉—牛顿法还是值得推广的。 2 总结 对于求一般的常微分方程初值问题的数值解来说，已经有很多的方法。在实际应用中，我们当然希望能够结合具体问题的特点，充分利用不同方法的差异，选择一种更为合适的方法，力争得到尽可能好的结果。对于求解实际问题来说，我们通常并不能立即得出所得到的结果到底有几位有效数字。虽然可以通过理论分析来估计误差，但这样做一是劳神费力，二是所得到的结果也未必靠的住，这中间不确定的因素太多。在现代计算机条件下，采用基于试验的方法一般比理论分析的结果更为直观，更为具体。在这个基础上再辅之以理论分析，结论当然更可靠一些。求解一阶常微分方程的新的数值求解方法（欧拉—牛顿法）是改进的欧拉方法和牛顿法的完美结合，从而为求解一阶常微分方程的数值解提供了方便，并且结果的精度也比较高。