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基于单片机AVR与FPGA的正弦信号发生器设计摘要：在电子和通信产品中往往需要高精度的正弦信号，而传统的正弦信号发生器往往在低频输出时的频率的稳定度和精度等指标都不高。文中介绍了Micro Linear公司的一款单片正弦信号发生芯片ML2035，它可以在几乎不需要其它外围器件的条件下，产生从直流到25kHz的正弦信号,并利用此芯片完成了简易正弦信号发生器电路的设计。 关键词：信号发生器，信号源，正弦信号，ML2035, DDS 目录1. 绪论2. 技术概述3. 需求分析阶段 功能模块图 数据流图 E-R图 业务流程图4. 设计阶段（程序流程图）5. 详细设计阶段（运行的截图）6. 安装调试阶段7. 设计体会1.绪论信号发生器的概念信号发生器（signal generator）产生所需参数的电测试信号仪器。按其信号波形分为四大 类：①正弦信号发生器。主要用于测量电路和系统的频率特性、非线性失真、增益及灵敏度等。按其不同性能和用途还可细分为低频（20赫至10兆赫）信号发生器、高频（100千赫至300兆赫）信号发生器、微波信号发生器、扫频和程控信号发生器、频率合成式信号发生器等。②函数（波形）信号发生器。能产生某些特定的周期性时间函数波形（正弦波、方波、三角波、锯齿波和脉冲波等）信号，频率范围可从几个微赫到几十兆赫。除供通信、仪表和自动控制系统测试用外，还广泛用于其他非电测量领域。③脉冲信号发生器。能产生宽度、幅度和重复频率可调的矩形脉冲的发生器，可用以测试线性系统的瞬态响应，或用作模拟信号来测试雷达、多路通信和其他脉冲数字系统的性能。④随机信号发生器。通常又分为噪声信号发生器和伪随机信号发生器两类。噪声信号发生器主要用途为：在待测系统中引入一个随机信号，以模拟实际工作条件中的噪声而测定系统性能；外加一个已知噪声信号与系统内部噪声比较以测定噪声系数；用随机信号代替正弦或脉冲信号，以测定系统动态特性等。当用噪声信号进行相关函数测量时，若平均测量时间不够长，会出现统计性误差，可用伪随机信号来解决。正弦信号发生器作为电子技术领域中最基本的电子仪器，广泛应用于航空航天测控、通信系统、电子对抗、电子测量、科研等各个领域中[1～2]。随着电子信息技术的发展，对其性能的要求也越来越高，如要求频率稳定性高、转换速度快，具有调幅、调频、调相等功能，另外还经常需要两路正弦信号不仅具有相同的频率，同时要有确定的相位差。要实现两路信号具有确定的相位差，通常有两种实现方法：—‘种是采用移相器实现，如阻容移相网络、电感移相器、感应分压器移相器等。这种方法有许多不足之处，如移相精度受元件特性的影响大、移相精度差、移相操作不方便、移相角受负载和时间等因素的影响而漂移等；另一种是采用数字移相技术，这是目前移相技术的潮流[3]。数字移相技术的核心是先将模拟信号或移相角数字化，移相后再还原成模拟信号。本文采用直接数字频率合成技术设计了双通道正弦信号发生器，可以输出两路频率相同、相位差可调的正弦信号。两通道还可以独立使用，分别进行调频、调幅及调相。该信号发生器具有频率稳定度高及调频、调相迅速的优点。 正弦信号源是一种广泛应用的信号源,对它的要求也随着技术的发展越来越高。传统的正弦信号发生器往往在低频输出时的频率的稳定度和精度等指标都不高 。我们知道为了获得高频率稳定度的信号源，往往采用锁相环实现，但这种方法电路复杂、体积庞大。近年来，DDS技术由于具有容易产生频率快速转换、分辨率高、相位可控的信号,这在电子测量、雷达系统、调频通信、电子对抗等领域得到了十分广泛的应用 。然而，如果选用通常的Analog公司的系列DDS芯片研制低频正弦信号发生器，往往需要外部微处理器，因此电路较复杂，并且频率稳定度不佳。为此，本文将讨论基于ML2035设计简易的正弦信号发生器，它具有外围元器件少，电路实现简单，可以不需要外部微处理器的特点。2.技术概述1 直接数字频率合成器的基本原理频率合成是指对一个标准信号频率经过一系列算术运算，产生具有相同精度和稳定度的大量离散频率的技术。频率合成有多种实现方法，其中直接数字频率合成技术与传统频率合成技术相比具有难以比拟的优点，如频率切换速度快、分辨率高、频率和相位易于控制等[4～5]因此得到越来越广泛的应用，成为当今现代电子系统及设备中频率源设计的首选。直接数字频率合成器由参考时钟、相位累加器、正弦查询表和D／A转换器组成，如图1所示。 直接数字频率合成技术是根据相位间隔对正弦信号进行取样、量化、编码，然后储存在EPROM中构成一个正弦查询表。频率合成时，相位累加器在参考时钟的作用下对时钟脉冲进行计数，同时将累加器输出的累加相位与频率控制字K预置的相位增量相加，以相加后的吉果形成正弦查询表的地址；取出表中与该相位对应的单元中的幅度量化正弦函数值，经D／A转换器输出模拟信号，再经低通滤波器平滑得到符合要求的模拟信号。相位累加器的最大计数长度与正弦查询表中所存储的相位分隔点数相同，由于相位累加器的相位增量不同，将导致一周期内的取样点数不同，在取样频率(由参考时钟频率决定)不变的情况下，输出信号的频率也相应变化。如果设定累加器的初始相位，则可以对输出信号进行相位控制。 由采样原理可知，如果使用两个相同的频率合成器，并使其参考时钟相同，同时设定相同的频率控制字、不同的初始相位，那么在原理上就具备了实现输出两路具有一定相位差的同频信号的可能性。AD9852是ADI公司生产的高集成度的频率、相位、幅度可调的直接数字频率合成器，内部集成了高性能D／A转换器、高速比较器、程序寄存器、参考时钟倍频器及可实现各种运算的高性能的数字控制单元，并且可以实现全数字编程控制。AD9852的输出信号频率控制字为48位，使输出频率调节分辨率达到1μHz，输出信号的频率范围可从直流到150MHz，相位调节控制字为14位，相调节分辨率为0．022°，幅值调节控制字为12位。ML2035是Micro Linear公司的一款单片正弦信号发生芯片，它可以在几乎不需要其它外围器件的条件下，产生直流到25kHz的正弦信号，并且它的输出正弦信号频率可以由16比特的串行比特字控制 。因此，ML2035可以广泛地应用于需要价格低、精度高的正弦信号发生器的无线通信或调制解调等领域。ML2035的主要特点如下： 输出正弦信号频率为直流到25kHz； 具有低增益误差和低谐波畸变性能； 具有3线SPI兼容性串行微处理器接口，并具有数据锁存功能； 具有不需要外围器件的全集成解决方案功能；频率分辨率可达 （当输入时钟频率为 时）； 自带 的内部晶振； 具有同步和异步的数据加载功能。 正弦信号的产生 ML2035的基本原理和DDS一样，它内部主要由正弦信号产生、晶振和串行数字接口等部分组成。但是，ML2035的外围电路及其简单，它仅有8个引脚。ML2035的可编程频率发生器的基本原理和直接频率合成器（DDS）的基本原理完全一样。我们知道，DDS芯片一般由频率控制字、相位累加器、正弦查询表、D/ A 转换器和低通滤波器组成。DDS芯片的核心部件是相位累加器,它由N 位加法器与N 位相位寄存器构成,它类似一个简单的计数器。每来一个时钟脉冲,相位寄存器的输出就增加一个步 的相位增量值,加法器将频率控制数据与累加寄存器输出的累加相位数据相加,把相加结果送至累加寄存器的数据输入端。相位累加器进入线性相位累加,累加至满量程时产生一次计数溢出,这个溢出频率即为DDS的输出频率。正弦查询表是一个可编程只读存储器(PROM),存储的是以相位为地址的一个周期正弦信号的采样编码值,包 含一个周期正弦波的数字幅度信息,每个地址对应于正弦波中 : 范围的一个相位点。将相位寄存器的输出与相位控制字相加得到的数据作为一个地址对正弦查询表进行寻址,查询表把输入的地址相位信息映射成正弦波幅度信号,驱动DAC,输出模拟信号；低通滤波器平滑并滤除不需要的取样分量,以便输出频谱纯净的正弦波信号。 由于ML2035的控制字长为16比特，因此据DDS的原理我们不难得出ML2035的输出频率关系式为 (1) 相应地，ML2035的频率分辨率（亦最小频率）为 (2) 3.需求分析阶段一、 设计任务 设计制作一个波形发生器，该波形发生器能产生正弦波、方波、三角波和由用户编辑的 特定形状波形。 二、 设计要求 1. 基本要求 具有产生正弦波、方波、三角波三种周期性的波形。 用键盘输入编辑生成上述三种波形（同周期）的线性组合波形，以及由基波及其谐波（ 5次以下）线性组合的波形。 具有波形存储功能。 输出波形的频率为100Hz～20KHz（非正弦波频率按10次谐波计算）：重复频率可调，频 率步进间隔≤100Hz。 输出波形幅度范围0～5V（峰-峰值），可按步进（峰-峰值）调整。 具有显示输出波形的类型、重复频率（周期）和幅度的功能。 2.发挥部分 输出波形频率范围扩展至100Hz～200KHz。 用键盘或其他输入装置产生任意波形。 增加稳幅输出功能，当负载变化时，输出电压幅度变化不大于±3%（负载电压变化范围 ：100Ω～∞）。 具有掉电存储功能，可存储掉电前用户编辑的波形和设置。 可产生单次或多次（1000次以下）特定波形（如产生一个半周期三角波输出）。 其它（如增加频谱分析、失真度分析、频率扩展＞200KHz、扫频输出等功能）。 三、方案设计和论证： 根据题目的要求，我们一共提出了三种设计方案，分别介绍如下： 1、 方案一 采用低温漂、低失真、高线性单片压控函数发生器ICL8038，产生频率受控可变的正弦波 ，可实现数控频率调整。通过D/A和5G353进行输出信号幅度的控制。输出信号的频率、 幅度参数由4x4位键盘输入，结果输出采用6位LED显示，用户设置信息的存储由24C01完 成。系统结构框图如图1所示。 2、 方案二 由2M晶振产生的信号，经8253分频后，产生100Hz的方波信号。由锁相环CD4046和8253进 行N分频，输出信号送入正弦波产生电路和三角波产生电路，其中正弦波采用查表方式产 生。计数器的输出作为地址信号，并将存储器2817的波形数据读出，送DAC0832进行D/A 转换，输出各种电压波形，并经过组合，可以得到各种波形。输出信号的幅度由0852进 行调节。系统显示界面采用16字x1行液晶，信号参数由4x4位键盘输入，用户设置信息的 存储由24C01完成。 3、 方案三 以4M石英晶振作为参考源，通过F374，F283以及LS164组成的精密相位累加器，通过高速 D/A变换器和ROM产生正弦波形，这个数字正弦波经过一个模拟滤波器后，得到最终的模 拟信号波形。通过高速D/A产生数字正弦数字波形和三角数字波形，数字正弦波通过带通 滤波器后得到一个对应的模拟正弦波信号，最后该模拟正弦波与一门限进行比较得到方 波时钟信号。通过相位累加器来实现多种波形的同相位输出，并可以连续地改变频率。 输出信号幅度由TLC7524进行数字控制。用户设置信息的存储由24C01完成。 以下为三种基本方案的具体电路实现： 方案一 单片压控函数发生器ICL8038产生频率为100Hz～20KHz的正弦波，其频率由DAC0832和5G 353进行控制。由于ICL8038自身的限制，输出频率稳定度只有10-3（RC振荡器）。而且 由于压控的非线性，频率步进的步长控制比较困难。输出信号的幅度数控由DAC0832和5 G353完成。幅度数码由单片机通过P0口输入。要求幅度数据为8位/ 100mV。用户设置信 息的存储由24C01完成。 微控制器由8051最小系统，键盘/显示接口芯片8279，16位键盘，6位LED数码显示器以及 相应译码、驱动电路及“自动扫描/手动设置”选择开关等组成。 方案二 基本信号产生：晶振频率为2M，经8253进行分频后，产生100HZ的方波信号，则分频比为 ： M=fALE/100=2X104 其中FALE=2M 一般石英晶体振荡器的频率稳定性优于10-5，故输出信号的频率稳定性指标得以保证。 频率合成：CD4046和8253组成的锁相环中，fo=100N 其中8253的定时器做4046的N分频， 则占空比电路的输入脉冲信号频率也是N。 利用可编程定时器/计数器8253的三个定时器，正好可以承担上述2x104分频和锁相环中 而个分频器的任务。其中定时器0分频比设为2x104，定时器2做锁相环N分频。利用8253 做分频器，应使其工作于方式3。 波形变换采用查表方式，把正弦波一个周期的波形按时间平均划分为100个点，各点的电 压数据放在存储器2817中，通过DA0832实时查询输出。 输出信号的幅度数控由DAC0832完成，幅度数码由单片机通过P1口输入，要求幅度数据为 8位/ 100mV。当输出幅度为3V时，DAC输入数值应为240。 微控制器系统由89C51最小系统，4x4位键盘输入，字符型液晶显示器以及相应的译码、 驱动电路构成。液晶显示采用菜单显示方式，显示直观，操作方便，人机界面非常友好 . 用户设置信息的存储由24C01完成 方案三 以4M石英晶振作为参考源，通过F273，F283以及LS164组成的精密相位累加器和数字信号 处理，通过高速D/A变换器DAC0800和2817 E2ROM产生正弦波形，三角波形和任意波形。 正弦信号频率计算：在相位累加器中，每来一个时钟脉冲，它的内容就更新一次。在每 次更新时，相位增量寄存器的相位增量M就加到相位累加器中的相位累加值上。假设相位 增量寄存器的M为00...01，相位累加器的初值为00...00。这时在每个时钟周期，相位累 加器都要加上00...01。本设计累加器位宽n是24位，相位累加器就需要224个时钟周期才 能恢复初值。 相位累加器的输出作为正弦查找表、三角波查找表和用户自定义波形查找表（均为 E2PROM2817）的查找地址。查找表中的每个地址代表一个周期的波形的一个相位点，每 个相位点对应一个量化振幅值。因此，这个查找表相当于一个相位／振幅变换器，它将 相位累加器的相位信息映射成数字振幅信息，这个数字振幅值就作为D/A变换器的输入。 设计n=24, M=1, 这个相应的输出信号频率等于时钟频率除以224。如果M=2，输出 频率就增加1倍。对于一个n-bit的相位累加器来说，就有2n个可能的相位点，相位增量 寄存器中控制字M就是在每个时钟周期被加到相位累加器上的值。假设时钟频率为fc，那 么输出信号的频率就为： f0 = M*fc / 224 数字正弦波经过一个模拟滤波器后，得到最终的模拟信号波形。通过高速DAC产生数字正 弦数字波形和三角数字波形，数字正弦波通过带通滤波器后得到一个对应的模拟正弦波 信号，最后该模拟正弦波与一门限进行比较得到方波时钟信号。 输出信号的幅度数控由TLC7524数控衰减器完成，幅度数码由单片机通过总线寻址方式输 入，幅度为8位/100mV。当输出幅度为5V时，DAC输入值为400。 微控制器系统由89C52最小系统，4x4位键盘输入，字符型液晶显示器以及相应的译码、 驱动电路构成。液晶显示采用菜单显示方式，显示直观，操作方便，人机界面非常友好 。用户设置信息的存储由24C01完成 4、 方案比较 下面对三种方案的性能特点和实现的难易等作一些具体分析与比较。 1）方案一结构比较简单，但由于ICL8038自身的限制，采用了RC振荡器，故输出频率稳 定度只能达到10-3数量级。方案二采用石英晶体振荡器和数字锁相环技术，而一般石英 晶体振荡器的频率稳定性优于10-5，故输出信号的频率稳定性指标得以保证。方案三同 样采用石英晶体振荡器、精密的相位累加器，频率稳定性指标同样优于10-5。达到题目 的要求。 2）方案一由于压控振荡器F/V的线性范围有限，频率步进的步长控制比较困难，难以保 证1000倍的频率覆盖系数。方案二采用集成锁相环4046，配合8253很容易做到1000倍的 线性频率覆盖系数。方案三使用精密相位累加器和高速DAC，同样可以实现1000倍的线性 频率覆盖。 3）方案一的控制显示系统比较简单，六位LED的显示系统制作比较简单，但难以显示系 统输出信号的详细信息，使用时操作难度比较大，人机界面比较难懂。方案二和方案三 采用16字符x1行的液晶，菜单式操作方法，要求有比较高的硬件制作水平和软件编程技 术，但可以详细的显示波形，占空比，信号幅度等信息。人机界面友好，操作方便。而 且通过软件编程控制使系统输出信号的频率、波形预置变的非常简单。 4）方案一中，为获得1Hz的分辨率，必须采用高精度的DAC，不容易达到比较高的精度。 方案二中用单片机对8253可编程定时器进行控制，配合集成锁相环频率合成器4046可以 比较容易的提供1Hz分辨率。方案三采用精密相位累加器，具有相当好的频率分辨率，频 率的可控范围达 fc/2n=222/224= 5）方案一的ICL8038可以产生比较准确的波形。方案二通过实时查询输出正弦波，虽然 我们对每一个波形只采用了100个点，但在要求较高的场合，可以通过对每个波形取更多 个点的方法来提高波形精度。具有很好的升级扩展性能。方案三中E2PROM中存储了1024 个波形点，可以提供非常精确的波形。在200KHz的时候，仍然能够对每个波形提供8个点 ，通过滤波器后，同样会具有良好的波形。 6）方案一和方案二的频率变换时间主要是它的反馈环处理时间和压控振荡器的响应时间 ，通常大于1ms。而方案三的频率变换时间主要是数字处理延迟，通常为几十个ns。 7）方案一由于采用RC振荡器，不可避免具有比较大的相位噪声。方案二的相位噪声是它 的参考时钟—石英晶体振荡器—的噪声的两倍。而方案三由于数字正弦信号的相位与时 间成线形关系，整片电路输出的相位噪声比它的参考时钟源的相位噪声小。 从以上的方案比较可以看出，方案三结构比较复杂，但具有输出频率稳定性高、频率输 出线性度好、频率分辨率高、波形准确、频率变换时间小、相位噪声小、人机界面友好 ，易于控制等优点，性能优良。是本次设计的理想设计方案。而相对来说，方案一结构 很简单，制作容易，但是输出信号有频率线性度差、频率稳定度低、频率分辨率低、频 率变换时间比较长，相位噪声大以及人机界面不友好等缺点。方案二电路也比较简单， 但在频率分辨率、频率变换时间、相位噪声等方面都比第三种方案差。总之，方案一和 方案二都具有各自的比较大的弱点，难以达到理想的设计要求。故不宜采用。 经过比较，我们决定采用方案三的电路设计进行制作。 串行数字接口 ML2035的控制可以通过芯片的串行数字接口实现，数字接口部分主要由移位寄存器和数据锁存器组成。SID引脚上的16 bits 数据字在时钟SCK的上升沿时被送入16 bits的移位寄存器。需要注意的是，应该先送最低位，最后送最高位。然后在LAI的下降沿触发下，送入移位寄存器的数据被锁存进数据锁存器。为了确保数据的有效锁存，LAI的下降沿应该发生在SCI为“低”电平期间。同理，在SID数据移入移位寄存器期间，LAI应该保持“低”电平。 电源方式 ML2035具有电源“休眠”功能，这样可以有效提高电源的使用效率，这对于便携式产品是极其有利的。当希望ML2035保持“休眠”时，可以向移位寄存器输入全“0”，并向LATI加载“1”使其保持高电平。在这种情况下，ML2035的功耗可以降到 mW以下，而输出正弦信号的幅度降到0 V。需要提及的是，在电路设计中应该对ML2035的电源输入端进行电源去耦处理，在电路设计中可以采用如图1所示的电源去耦处理方案。 图1 ML2035的电源去耦处理方法简易正弦信号发生器设计 由DDS的基本原理可以知道，由于ML2035频率分辨能力有限，输出的正弦信号将有可能出现误差。对于不同的 考时钟，将产生不同程度的频率误差，表1例举了ML2035在常见的晶振下的频率控制字和频率误差情况。 表1 使用常见标准晶振时ML2035所需频率控制字和频率误差情况 本文拟采用ML2035设计一简易的频率为1000Hz的高精度无频率误差的正弦信号发生器，由于低于的晶振通常价格较高且体积较大，故这里选用的晶振。由式（1）可以得知需要的频率控制字为1280，因此需要的16 bits控制位为1111 D，这样输出正弦信号的频率误差将在理论上达到。图2便是实现该简易正弦信号发生器的电路原理图，这里74HC4060计数器的功能是振荡器和计时器，而74HC4002是高速CMOS 四与非门器件。为了实现ML2035的输出正弦信号频率为1000Hz，必须使在前8个脉冲移入8比特0，然后在接下来的后8个脉冲移入1111 1010。 图2 基于ML2035的1000Hz正弦信号发生器电路原理图三，软件篇AVR要完成的功能：1,处理通信2,计算要产生的信号所需的参数3,SPI通信，输出数据到FPGA，从FPGA取数据4,根据所取的数据计算出所测的信号的参数对于通信与算法，在这里也没什么好讲的，讲一下SPI通信吧，我没有使用AVR的SPI外设，我用普通I/O ,,,,,,,,,,,,,,,,
64. 局域网规划与设计(字数:18340,页数:41 )65. 基于AT89S52的无线测温报警器设计与实现(字数:10667,页数:36 )66. LDPC编码算法研究(字数:17120,页数:36 )67. 基于红外线技术的遥控开关的实现(字数:12064,页数:40 )68. 智能教师点名器(字数:11758,页数:43 )69. 大型企业网络拓扑的设计及配置(字数:14719,页数:39 )70. 基于的串口通信设计和实现(字数:10996,页数:38 )71. 企业网络拓扑的设计与构建(字数:12535,页数:37 )72. 基于AT89C51的程控宽带放大器设计(字数:14991,页数:45 )73. LED点阵屏的设计与实现(字数:9576,页数:42 )74. 农村无线通信网络优化(字数:18413,页数:38 )
1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。2、目录：目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。5、论文正文：（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论。主体部分包括以下内容：a.提出-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证与步骤；d.结论。6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）：作者--标题--出版物信息所列参考文献的要求是：（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。
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书名：浅论点集拓扑、曲面和微分拓扑 (平装)
作者：杨忠道
出版社：湖南教育出版社
出版年份：1998年11月
页数：122 页
内容简介：
微分拓扑学是当代数学的光辉篇章之一，本书向读者介绍这门高深的数学。着重在说明大意，不拘泥于严格证明，使读者能借助例子去领会其内容，是一本风格独特的数学书。读者对象主要是具有微积分基本知识的数学爱好者。
写什么？怎样写？”这是每个学写小论文的同学都会碰到的问题。一篇好论文的产生，对于它的作者来说是一次创造性的劳动。创造性的劳动对劳动者的要求是很高的。其创作的素材、水平，乃至创作的灵感……，绝不是轻易可以得到的，它们需要作者在自己的学习与生活实践中，去进行长期的积累与思考。从我校征集的论文来看，作者中有的是在平时十分注意对课本知识进行归纳整理、拓展延伸，学习中有许多意想不到的收获；有的是从课外阅读中得到收获与启发后，获得灵感、得以选题；……更有甚者是，有的作者在生活中发现问题注意观察、探究，并与自己的数学学习相联系，对观察、探究的结果进行思考、归纳、总结，升华为理论，写出了令人叫绝的好论文。综观获奖论文的小作者们，他们大多是数学学习的有心人。好论文的作者不仅要有较好的数学感悟，还要有良好的文学修养、综合素养。
拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。[编辑] 分支学科点集拓扑学又称为一般拓扑学 组合拓扑学 代数拓扑学 微分拓扑学 几何拓扑学 拓扑学拓扑学是数学中一个重要的、基础的分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)；现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象与方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就拓扑已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。现在，前者演化为一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支.在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。什么是拓扑学？拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。拓扑学起初叫形势分析学，这是G．W．莱布尼茨1679年提出的名词。拓扑学这个词(中文是音译)是J．B．利斯廷1847年提出的，源自希腊文位置、形势与学问。1851年起，B．黎曼在复变函数的研究中提出，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究。组合拓扑学的奠基人是H．庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题。他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动了G．康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念。如：聚点、开集、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的概念。把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限，这终于导致了抽象空间的观念。拓扑问题的一些初等例子：柯尼斯堡七桥问题(一笔划问题)。一个散步者怎样才能走遍七座桥而每座桥只经过一次?这个18世纪的智力游戏，被L．欧拉简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，然后他证明了这是根本办不到的。一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。欧拉的多面体公式与曲面的分类。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数 、棱数 、面数 之间总有 这个关系。由此可证明正多面体只有五种。如果多面体不是凸的而呈框形（图33），则不管框的形状如何，总有 。这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。在连续变形下，凸体的表面可以变成球面，框的表面可以变成环面（轮胎面）。这两者都不能通过连续变形互变（图34）。在连续变形下封门曲面有多少种不同类型？怎样鉴别他们？这曾是19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。纽结问题。空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变（如图35中两个三叶结能否互变）。同时给出严格证明，那远不是件容易的事了。布线问题（嵌入问题）。一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉？做印制电路时自然会碰到这个问题。图36左面的图，把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。但图37中两个图却无论怎样移动都不能布在平面上。1930年K•库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有这两个图之一。以上这些例子说明，几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。这些性质与长度、角度无关，它们所表现的是图形整体结构方面的特征。这种性质就是图形的所谓拓扑性质。拓扑学的由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。什么是拓扑学？ 拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。拓扑学的由来 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。 在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。 什么是拓扑学？ 拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。 拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。 举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。 拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。左图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。 在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。 应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。 拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。参考资料： 应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。 直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。 我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。参考资料：BAIDU百科
让我们从简单的开始。我们知道地球的形状，它近似一个球形；银河系是棒螺旋形的，也就是带旋臂的圆盘形状；那可观测宇宙呢？是球形吗？看起来确实如此，因为它正在向外扩张。那么在我们可以观测到的范围之外的整个宇宙呢？ 答案是，我们不知道，但我们可以猜想。它可能是有限的或无限的，有边界或没有边界，有曲率或没有曲率。我们所知道的是，它似乎在扩张。但扩张到哪里？我们不知道。但是我们可以推测一下。 宇宙过去的形状，现在的形状，以及将来可能的形状，我们很难凭经验来辨别。爱因斯坦在某种程度上帮助了我们，他向我们展示了物质和能量实际上可能与四维——时间——相互作用。在这种相互作用中，时空可能因质量（能量）的存在而发生扭曲。就我们所知，我们生活在一个四维宇宙中，这个宇宙易受变形的影响，比如拉伸、扭曲和弯曲。这就是拓扑学发明的由来。 让我们来看看最基本的。我们都知道，平面上的圆是二维圆盘的一维周长（嵌在二维空间中的一维等价物是一条直线）。增加一个维度，我们也能直观地知道，一个三维球的二维表面叫做球面（嵌在三维空间中的二维等价物是一个面）。然而，再增加一个维度，我们的直觉已经完全失效了。嵌在四维空间中的物体的三维等价物是什么？在四维欧几里得空间中，四维球的三维边界在数学上被称为三维球面（ glome）。我们无法在大脑中形成三维球面的直观印象。 在数学中，这三个物体（圆、球、三维球面）是密切相关的，被称为一维球、二维球和三维球。n维球是一维球在任意维空间中的推广。在拓扑学中，n维球被视为n维流形，这些流形是在每个点附近局部类似欧几里德（平坦）空间的拓扑空间。更准确地说应该是： 关于流形的概念，作家西尔维亚·纳萨尔在她的《美丽心灵》一书中提供了一个很好的描述： 约翰·斯蒂威尔在他的著作《论拓扑》中声称，在亨利庞加莱之前，只有一个拓扑概念被定义。这一概念是由欧拉多面体公式V - E + F = χ给出的著名欧拉数（χ），其中V代表顶点，E代表边，F代表面。球面和凸多面体的欧拉数都是2，如柏拉图固体。1863年，在对这种表面的拓扑分类的研究中，莫比乌斯指出，R³中的所有闭合曲面，即可定向曲面，都是根据其欧拉数进行分类的。 高斯以及黎曼等人也对拓补学的发展做出了一定的贡献，但直到贝蒂在研究任意维度的概念方面取得了实质性进展，拓补学 才逐渐发展成一门独立的、系统的学科。 贝蒂定义了后来被称为贝蒂数的数字P₀，P₁，P₂…。在代数拓扑中，第k个贝蒂数是指拓补表面上k维孔的数量，或者用另一种说法，“在不把一个表面分成两部分的情况下所能切割的最大次数”。对于0维，1维和2维的单纯复形（指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象），贝蒂数的定义如下： 例如，一个环面有一个相连的表面分量，所以 P₀ = 1；两个“圆”孔（一个赤道孔和一个子午孔），所以P₁ = 2；还有一个封闭在表面内的空腔，所以 P₂ = 1。 米尔诺用亏格0、1和2的三个图形的简单草图来介绍流形和拓扑结构。 在庞加莱之前，正如米尔诺和斯蒂威尔所争论的那样，唯一定义得很好的拓扑概念确实是闭合曲面的理论，也就是所谓的维2流形。它们的性质是紧密的，没有边界。闭曲面的分类定理表明，任何连通的闭曲面与这三个族中的某个成员是同胚的： 亨利庞加莱是第一个试图进行类似研究的人，就像对1维流形和2维流形所做的那样，他研究三维流行是否可以被证明是同胚的。 亨利庞加莱于1854年4月29日出生在法国。他的父亲是医学教授，他的母亲是一位家庭主妇。他的天赋最早被一位数学老师所发现，这位老师称他为“数学怪兽”。除了数学之外，他还擅长写作文。1871年，他从大学毕业，获得文学和科学学士学位，并加入父亲的前线，参加普法战争，在救护队服役。 战争结束后，1873年庞加莱进入巴黎综合理工学院，他在查尔斯·埃尔米特手下学习数学，在22岁时发表了他的第一篇论文，题为“表面指标性质的新证明”。1875年，除了学习数学之外，他还进入了矿业学院，并于1879年毕业，获得了工程师学位。他立即利用了他的新学位，加入了美国陆军地雷部队。与此同时，他正在索邦大学攻读数学博士学位，研究微分方程。 博士毕业后，庞加莱继续从事采矿工程师的工作，从1881年到1885年，负责北方铁路的发展。同时，他也开始在他的母校索邦大学教授数学，并继续进行研究，发展了一个新的数学分支，名为“微分方程的定性理论”。除此之外，还有他后来在拓扑学上的研究，在其职业生涯中庞加莱还从事过复变解析函数、阿贝尔函数、代数几何、双曲几何、数论、三体问题、丢番图方程、电磁学、相对论、哲学和群论的理论研究。 庞加莱在19世纪90年代开始从事现在被认为是拓扑学和代数拓扑学基础的工作。“拓扑”一词的灵感来自于戈特弗里德·莱布尼茨在其1672-76年的著作中提到的这个词。 拓扑学是研究几何物体在连续变形下的特性，如拉伸、扭曲、弯曲，但不撕裂。 在他关于拓扑学的第一篇论文中，庞加莱开始着手于拓扑学的第一本真正的入门书《拓补分析》。他引用了贝蒂数。他提出，贝蒂数是否足以确定流形的拓扑分类？为此，他引入了基本群π₁的概念。一个基本群体可以用以下方式来理解： 接下来，他描述了一组三维流形，并说明其中某些流形具有相同的贝蒂数，但属于不同的基本群。由此，他提出，如果基本群是拓扑不变的，仅凭贝蒂数无法区分三维流形。 后来的庞加莱猜想（1904）实际上在1895年并不存在。根据斯蒂威尔的说法，庞加莱认为这是显而易见的，即所有单连通的n维闭流形都是同胚的n维球。也就是说，所有这样的流形如果在n维中变形为一个球体的形状，将保持它们的拓扑性质。毕竟，自黎曼时代以来，对于一维和二维流形，同样的结果是已知的。 拓扑分析，相反地，是对贝蒂数进行修正和补充，以寻找一个更坚实的基础，基于他自己三年前的论证。本文通过几种途径来实现这一目标。正如研究中经常出现的情况一样，他首先介绍了为什么这项工作是有价值的，他说：“n维几何是一个真实的对象，现在没有人怀疑这一点。”超维空间中的图形和普通空间中的图形一样，都容易被精确的定义，即使我们无法想象它们，但我们可以研究它们。 在拓扑分析的众多重大发现中，庞加莱为后来被称为同调论的理论奠定了基础，这是一种将一系列代数结构（如交换群或模块）与其他数学对象（如拓扑空间）联系起来的方法。他建立了一个计算贝蒂数的系统，假设每个流形都可以分解成与单形同胚的“包”，写出他称为同胚的线性方程，并通过线性代数计算相应的贝蒂数，从而达到这个目的。 利用他的新同调理论，庞加莱下一步通过考虑“包”分解的对偶，提供了n维流形的贝蒂数的庞加莱对偶性定理。对偶定理指出，从“两端”距离相同的贝蒂数，即上维和下维，是相等的。特别是，对于一个3维流形，二维的贝蒂数等于一维的贝蒂数。 在同一篇论文的后面，庞加莱还将欧拉多面体公式推广到任意维数，并将其与他的同调理论联系起来。他还给出了新的基本群的例子，证明了π₁是比贝蒂数更强的不变式，因为它识别的八面体的相对面与3维球具有相同的贝蒂数，但又是不同的基本群。从他的发现中可以看出，对于0维、1维和2维流形，贝蒂数足以区分它们，但对于三维流形，基本群就变得很重要了。 回顾过去，由于庞加莱对同调理论和基础群的建立，《拓扑分析》被视为代数拓扑的起源。对于同调理论，其建立的重要性在于它揭示了产生贝蒂数的代数结构。基本群的发现突出了用贝蒂数来指示流形性质的能力的不足。 这是由庞加莱在他1904年的《拓扑分析》补编的末尾所作的猜想，他认为三维流形的表征是同胚于3维球面的。准确地说，庞加莱猜想表明： 这个猜想认为，如果流形内的每一条简单的闭合曲线，如环路，都可以变形（收紧）为一个点，那么它一定是一个三维球体。不幸的是，我们不能有效地可视化三维流形，下面的图中显示了类似的2形流形，其中有蓝色和绿色的环。正如我们所看到的，在球体上的任何环都可以被收缩，并通过滑动它们而离开表面。然而，在环面上，虽然蓝色环可以被收紧和滑脱，但绿色环不能，除非切割环面。因此，环面与球面不是同胚的。 正如你现在可能已经发现的，庞加莱的猜想和宇宙形状之间的联系是非常明显的。简单地说，如果宇宙是一个单连通、封闭的3维流形，它与球体是同胚的。这意味着，尽管宇宙可能确实是一个3维环面的形状，如果是这样，我们知道它永远不可能扩展成3维球的形状，反之亦然。
仿佛来自虚空 --献给代数几何教皇Grothendieck 是他， 在战乱饥荒中颠沛流离 。 是他， 在战俘集中营念完中学 。 是他， 在法国最不入流的大学读完本科 。 是他， 中学时独立发现了勒贝格测度与积分， 虽然40年前已被提出， 但他数学的天赋展露无遗 ， 预示着一颗新星即将升起 。1953 ，博士毕业 ， 论文关于拓扑向量空间 ， 在泛函分析中确立大师地位 。 1957， “东北论文” ， 重写了同调代数的基础 ， 一封给Serre的信 ， 黎曼-罗赫定理的深远推广 。1958 ，一个新的起点， 概形与拓扑斯 ， 奠定了现代代数几何的基础 ， 与关于空间的新观念 。 60年代 ， 英雄岁月 ， 菲尔兹， 一个具有统治地位的学派 ， Motive、平展上同调与范畴 ， 由祭司荣升教皇。 1970 ， 因不满军方资助， 愤然辞职 ， 从此远离了学术界 ， 作为和平主义者的他 ， 成立一个组织 ， 它的名字叫生存 ， 致力于生态保护与人类的生存与发展 。1973，以教授身份， 被聘为母校蒙彼利尔大学教授 ， 专注于教学 。 80年代 ， “通过Galois理论的长征”， 一千多页的手稿 ， 勾画了一个新领域的蓝图， 这就是远阿贝尔几何 ， 是数学狂热的想象力的极好体现。 作为一个代数几何的新领域 ， 为一些经典难题的解决奠定理论基础， 其中包括著名的ABC猜想 。1988 ，从大学退休 。 1990， 在焚烧了100000多张手稿后 ， 隐居于比利牛斯山 ， 几乎断绝了与外界的联系。 ，在法国南部的一个小镇 ， 孤独的离去 。 伟大的数学家 ， 伟大的心灵 ， 亚历山大-格洛腾迪克 ， 您的数学成就 ， 在20世纪的数学长河中 ， 留下了深深的印迹 。 您一生的传奇 ， 就仿佛来自虚空。愿您的灵魂安息 ，任务的时代对您来说 ， 已经结束， 留下的唯有轻盈……
写什么？怎样写？”这是每个学写小论文的同学都会碰到的问题。一篇好论文的产生，对于它的作者来说是一次创造性的劳动。创造性的劳动对劳动者的要求是很高的。其创作的素材、水平，乃至创作的灵感……，绝不是轻易可以得到的，它们需要作者在自己的学习与生活实践中，去进行长期的积累与思考。从我校征集的论文来看，作者中有的是在平时十分注意对课本知识进行归纳整理、拓展延伸，学习中有许多意想不到的收获；有的是从课外阅读中得到收获与启发后，获得灵感、得以选题；……更有甚者是，有的作者在生活中发现问题注意观察、探究，并与自己的数学学习相联系，对观察、探究的结果进行思考、归纳、总结，升华为理论，写出了令人叫绝的好论文。综观获奖论文的小作者们，他们大多是数学学习的有心人。好论文的作者不仅要有较好的数学感悟，还要有良好的文学修养、综合素养。
真的很难的，在很大程度上，研究拓扑学是需要天赋的！拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。最著名的研究成果有七孔桥问题、欧拉定理和四色问题！
本人在浙江大学数学系学习过三年之后，接触过分析，代数，几何，拓扑各个领域的数学知识。本篇文章希望以自己学习数学的经历和经验，谈一谈自己对数学的理解。
说是理解也谈不上，我试图通过这篇文章回答下面两个问题。如果有错误，欢迎大家指正：
我想先来回答第一个问题，对于数学在做什么，每个人都有自己的理解，而我对数学的理解，就是所有的数学都在做这样一件事——“表示”。什么叫做表示呢？就是说数学是用 数学符号 来 表示 这个世界的。为了解释这一点，我们先来看下面一个最简单的例子： 对于这样一个简单的算术式。倘若直接从“数学”的角度去理解，似乎让人感觉不知从何入手，不知道有什么意义。但是，只要我们赋予他现实的意义，那么一切都变得明朗起来了。因为幼儿园的小孩子都会说：“我有一个苹果，你有一个苹果，我们一共有两个!”.而数学的语言就可以用“1 + 1 = 2”来解释这样一个事实！
那么紧随其后就会有第二个问题：为什么要这么做！ 答：因为省事 。我们先扯点无关的：
就像上面提到的“1 + 1 = 2 ”, 这个等式，我们可以理解为：我有一个苹果，再拿来一个，我就有两个了。但是这里的苹果也可以换成香蕉，橘子，等等。我们就用数学的语言表示出了这样一类问题。 那在表示过程中我们需要注意哪些问题呢？
补充：为了方便下面内容的理解，不了解映射，双射概念的小伙伴可以先把集合等价理解成两个集合之间存在一一对应。比如我们班和隔壁班都有55名同学，就一定能建立一种一一对应。但是要是我们班有55个同学，而隔壁班只有50个，那就没有办法找到一一对应了。
补充：本篇文章意在为非数学系的同学普及一些数学知识，从更直观的层面理解代数，拓扑，等价。难免有叙述不严谨的地方。希望了解更多的同学可以自行寻找严谨的教材阅读。 我这里也推荐几本还不错的教材。
打击你一下，我觉得拓扑学对于初一的孩子来说太难了……不过要是真想写，还是可以写一些东西的。以初一的知识很难接触到拓扑学的核心内容，所以你可以写的就只有比较直观的那些东西了最开始可以写写拓扑学的历史：七桥问题等等的……接下来介绍拓扑学中认为两个物体等价的条件：可以通过拉伸互相转变。重点在于不能粘接，不能打洞。在这种意义下，拓扑学认为圆柱面和环带是一样的，球体和正方体是一样的，烟斗和茶杯是一样的囧。。。还有拓扑学中必不可少的东西：墨笔乌斯带……如果你知识比较丰富的话还可能知道克莱因瓶。还可以讲讲拓扑学的分类：点集拓扑，代数拓扑，微分拓扑，几何拓扑……论文的最后可以写写拓扑学和你们所学的东西的关系啥的。也可以写写拓扑学里现在还未解决的问题，展望一下拓扑学的发展……这就比较困难了单独和我谈谈吧，我可以帮你构思一下比较具体的提纲以上内容均由本人亲自输入，未经本人允许不得拷贝byFizban_Yang
浏阳市第一中学校园网设计与实现 摘 要随着信息时代的来临，信息网络在我国正处于飞速发展的阶段。学校作为教育的前沿重地，为我国未来信息化人才提供重要的学习环境。因此，校园网络的规模和应用水平将是体现学校教学环境和科研力量的重要组成部分。本文首先就浏阳第一中学校园网设计建设的相关知识技术要求作了必要的介绍，然后基于工程建设实际，重点对校园网建设的需求分析、主干网组网技术、网络拓朴结构、方案总体设计等方面进行了比较详细的分析与描述，并给出具体的实施方案和设备选型。关键词 Intranet技术,校园网,设计,综合布线系统目 录第1章校园网建设背景 学校背景 校园网建设的必要性 8第2章校园网需求分析 校园网面临的问题 校园网应提供的功能 校园网应满足的要求 校园网对网络设备的要求 校园网主建筑群应用分析 校园网络中心 办公子网 教学楼子网 宿舍楼子网 14第3章校园网设计原则 15第4章校园网设计目标 16第5章校园网总体设计方案 网络技术选型 网络设备选型 传输介质选型 校园网建设方案与特点 校园网软件的使用 网络采用的协议 校园机房操作系统 主要网络设备的规格性能 校园网络拓扑图 25第6章校园网布线方案 校园网的组成 综合布线设计目标 校园网主干 校园网水平和终端 校园网终端数量需求 综合布线过程（科技楼） 30第7章施工组织与验收 施工前期准备 施工过程管理 工程测试 工程验收 初步验收阶段 试运行阶段 最终验收阶段 保修运行阶段 竣工技术资料文件 验收标准 设备验收标准 系统验收标准 36第8章工程预算报价 37第9章总结 38参考文献 38附录1 设备信息参数 39
校园网络搭建毕业论文
维护校园网网络安全需要从网络的搭建及网络安全设计方面着手,通过各种技术手段,对校园网网络进行搭建,通过物理、数据等方面的设计对网络安全进行完善是解决上策，现在我就整理了一份，校园网搭建的毕业论文，希望对大家有所帮助。
一、学校需求分析
随着计算机、通信和多媒体技术的发展，使得网络上的应用更加丰富。同时在多媒体教育和管理等方面的需求，对校园网络也提出进一步的要求。因此需要一个高速的、具有先进性的、可扩展的校园计算机网络以适应当前网络技术发展的趋势并满足学校各方面应用的需要。信息技术的普及教育已经越来越受到人们关注。学校领导、广大师生们已经充分认识到这一点，学校未来的教育方法和手段，将是构筑在教育信息化发展战略之上，通过加大信息网络教育的投入，开展网络化教学，开展教育信息服务和远程教育服务等将成为未来建设的具体内容。
调研情况
学校有几栋建筑需纳入局域网，其中原有计算机教室将并入整个校园网络。根据校方要求，总的信息点将达到 3000个左右。信息节点的分布比较分散。将涉及到图书馆、实验楼、教学楼、宿舍楼、食堂等。主控室可设在教学楼的一层，图书馆、实验楼和教学楼为信息点密集区。
需求功能
校园网最终必须是一个集计算机网络技术、多项信息管理、办公自动化和信息发布等功能于一体的综合信息平台，并能够有效促进现有的管理体制和管理方法，提高学校办公质量和效率，以促进学校整体教学水平的提高。
二、设计特点
根据校园网络项目，我们应该充分考虑学校的实际情况，注重设备选型的性能价格比，采用成熟可靠的技术，为学校设计成一个技术先进、灵活可用、性能优秀、可升级扩展的校园网络。考虑到学校的中长期发展规划，在网络结构、网络应用、网络管理、系统性能以及远程教学等各个方面能够适应未来的'发展，最大程度地保护学校的投资。学校借助校园网的建设，可充分利用丰富的网上应用系统及教学资源，发挥网络资源共享、信息快捷、无地理限制等优势，真正把现代化管理、教育技术融入学校的日常教育与办公管理当中。学校校园网具体功能和特点如下：
技术先进
采用千兆以太网技术，具有高带宽1000Mbps 速率的主干，100Mbps 到桌面，运行目前的各种应用系统绰绰有余，还可轻松应付将来一段时间内的应用要求，且易于升级和扩展，最大限度的保护用户投资；
网络设备选型为国际知名产品，性能稳定可靠、技术先进、产品系列全及完善的服务保证；
采用支持网络管理的交换设备，足不出户即可管理配置整个网络。
网络互联：
提供国际互联网ISDN 专线接入（或DDN），实现与各公共网的连接；
可扩容的远程拨号接入/拨出，共享资源、发布信息等。应用系统及教学资源丰富；
有综合网络办公系统及各个应用管理系统，实现办公自动化，管理信息化；
有以WEB数据库为中心的综合信息平台，可进行消息发布，招生广告、形象宣传、课业辅导、教案参考展示、资料查询、邮件服务及远程教学等。
三、校园网布局结构
校园比较大，建筑楼群多、布局比较分散。因此在设计校园网主干结构时既要考虑到目前实际应用有所侧重，又要兼顾未来的发展需求。主干网以中控室为中心，设几个主干交换节点，包括中控室、实验楼、图书馆、教学楼、宿舍楼。中心交换机和主干交换机采用千兆光纤交换机。中控室至图书馆、校园网的主干即中控室与教学楼、实验楼、图书馆、宿舍楼之间全部采用8芯室外光缆；楼内选用进口6芯室内光缆和5类线。
根据学校的实际应用，配服务器7台，用途如下：
① 主服务器2台：装有Solaris操作系统，负责整个校园网的管理，教育资源管理等。其中一台服务器装有DNS服务，负责整个校园网中各个域名的解析。另一台服务器装有电子邮件系统，负责整个校园网中各个用户的邮件管理。
②WWW服务器1台：装有Linux操作系统，负责远程服务管理及WEB站点的管理。WEB服务器采用现在比较流行的APACHE服务器，用PHP语言进行开发，连接MYSQL数据库，形成了完整的动态网站。
③电子阅览服务器1台：多媒体资料的阅览、查询及文件管理等；
④教师备课服务器1台：教师备课、课件制作、资料查询等文件管理以及Proxy服务等。
⑤光盘服务器1台：负责多媒体光盘及视频点播服务。
⑥图书管理服务器1台：负责图书资料管理。
在充分考虑学校未来的应用，整个校园的信息节点设计为3000个左右。交换机总数约 50台左右，其中主干交换机5台，配有千兆光纤接口。原有计算机机房通过各自的交换机接入最近的主交换节点，并配成多媒体教学网。INTERNET接入采用路由器接ISDN方案，也可选用DDN专线。可保证多用户群的数据浏览和下载。
四、网络拓扑图
光纤以太网技术是现在两大主流通信技术的融合和发展，即以太网和光网络。它集中了以太网和光网络的优点，如以太网应用普遍、价格低廉、组网灵活、管理简单，光网络可靠性高、容量大。光以太网的高速率、大容量消除了存在于局域网和广域网之间的带宽瓶颈，将成为未来融合话音、数据和视频的单一网络结构。光纤以太网产品可以借助以太网设备采用以太网数据包格式实现WAN通信业务。目前，光纤以太网可以实现10Mbps、100Mbps以及1Gbps等标准以太网速度。
光纤以太网设备是以第2层LAN交换机、第3层LAN交换机，SONET设备和DWDM为基础。一些公司推出专为出了光纤以太网交换机，这种交换机具有多种特性，可以尽量确保服务质量（如实现数据包分类和拥塞管理等）。这种产品均可能要求下列关键技术和性能：高可靠性、高端口密度、服务质量保证等功能。
光纤以太网业务与其他宽带接入相比更为经济高效，但到目前为止它的使用只限于办公大楼或楼群内已铺设光纤的地方。使用以太网的这种新方法的战略价值不仅仅限于廉价的接入。它既可用于接入网，也可用于服务供应商网络中的本地骨干网。它可以只用在第2 层，也可以作为实现第3层业务的有效途径。它可以支持IP、IPX以及其他传统协议。此外，由于在本质上它仍属于LAN，因此可用来帮助服务供应商管理企业LAN及企业LAN和其他网之间的互连。