n元等价关系的若干研究论文

等价关系和等价划分一一对应的,因此问题可转化为含n个元素有多少个等价划分,也就是这n个元素有多少种分组的方法. B(n)就表示这个n个元素有多少种分组的方法. 现在增加一个元素,有如下一些情况 1、增加的这个元素单独为一组,其余n个元素有B(n)种分法 2、增加的元素,与n个元素中任意一个元素为一组,有C(1,n)种组合,其余n-1个元素有B(n-1)种分法,一共就有C(1,n)B(n-1)种分法. 3、增加的元素,与n个元素中任意两个元素为一组,有C(2,n)种组合,其余n-2个元素有B(n-2)种分法,一共就有C(2,n)B(n-2)种分法. ... i、增加的元素,与n个元素中任意i个元素为一组,有C(i,n)种组合,其余n-i个元素有B(n-i)种分法,一共就有C(i,n)B(n-i)种分法. ... n、增加的元素,与n个元素全部为一组 因此n+1个元素所有情况的分法 B(n+1)=B(n)+C(1,n)B(n-1)+...C(i,n)B(n-i)+...1 =C(n,n)B(n)+C(n-1,n)B(n-1)+...+C(n-i,n)B(n-i)+...C(0,n)B(0) (B(0)=1,并利用C(i,n)=C(n-i,n)) =∑[k=0到n]C(k n)B(k)

a到b再到a，所以顶点a上有环。同样地，b到a再到b，所以顶点b上也有环。其余用到2条边的路径是ac：a到b再到c，bd：b到c再到d。

工业工程在国内企业，尤其是大型企业的应用研究，作为一个具有很强的理论和实际意义的课题，被推到前所未有的显要位置。下面是我为大家整理的工业工程系研究 毕业 论文，供大家参考。

任务导向工业工程实践研究

1实践过程

小组成员进入企业生产现场实地观察、观测、搜集与企业相关的文档资料，并多次与企业相关部门负责人讨论，通过与企业生产现场6S管理的标准做对比(例如生产现场作业地面和容器货架的标准要求：地面物品摆放时应有定位、标识，地面应无污染、无积水、无油污、无卫生死角、无杂物、主干通道畅通，标志线清晰、区域划分合理，区域线与标识清晰无剥落、安全警示区划分清晰并有明显的警示标志、容器、货架本身标识明确，无过期及残余标识等、容器、货架无破损及严重变形等)，发现生产现场生产线工位器具定置以及生产线功能区域划分等方面存在很大的问题，因此企业生产现场成为我们的重要目标，经过反复研究最终我们把调查对象锁定在生产现场的中层领导和生产现场基层工作人员。

基层工作人员调查

根据对企业负责人的访谈，我们发现生产现场存在问题具有代表性的有以下几个部门，机加车间、装配车间、连杆车间、动力处和物流处。我们小组分别针对这几个重点部门，并且运用工业工程基础、精益生产、统计学的相关知识，设计了6S管理问题调查问卷。对调查问卷做出以下要求：问卷设计的方面有整理、整顿、清扫、素养、办公室清洁和安全。对于整理方面，主要从作业场所、休息区和物品摆放情况展开;整顿方面，从物品的定位、标识问题进行调查;清扫重点从作业场所、设备完好情况、通道线、周转车、周转器具和动力总成出库、零部件入库进行;素养，主要从工作人员的着装、个人行为习惯、休息室的环境和工作人员食堂就餐环境就行调查;办公室清洁从工作室的固定物品摆放情况、文件资料的摆放以及室内的卫生等进行;而安全问题主要从工作人员的 安全 教育 知识掌握情况进行调查。问卷设计内容，一部分是属于被调查者能够直接回答比较浅显的内容;另一部分是需要被调查者经过仔细思考才能得到的内容，这部分的问卷设计就是符合5W2H的应用 方法 。之后分别对五个典型部门的生产现场基层工作人员进行问卷调查，成功发放调查问卷，并对问卷进行统计汇总，与企业生产现场6S管理的标准做对比。

企业相关负责人调查

对现场工作人员展开问卷调查的同时，我们小组成员对机加车间、装配车间、连杆车间、动力处和物流处五个典型部门相关负责人进行了交谈。通过交谈，了解企业生产现场管理中存在的问题：上级任务下达的及时性、基层工作人员完成作业的有效性之间存在的矛盾，生产现场管理政策执行力度不到位，管理制度不完善、检查部门之间的互检性差、作业现场无效劳动人员普遍存在，生产无计划以及物料浪费严重等。并依据企业相关文件资料介绍，更深层次的发现问题，以便提出高质量的解决对策。

2 总结

本次调研达到了6S管理改善管理的目的，企业在实施改进 措施 时取得了一定的效果。这次实践提高了学生的 社会实践 能力，增强了运用知识解决实际问题的能力，有利于对理论知识的转化和拓展。

神经人因实验工业工程论文

一神经人因实验在工业工程学科中的应用

Kim等将影响生产系统的因素主要分为四大类，即人的因素、技术因素、结构因素和任务因素，并认为其中人的因素处于系统中四大因素之首的地位。当今的生产系统要能在新的复杂环境下进行有效决策和响应，应当对人的因素投入更多新的研究技术。这其中就包括神经人因实验的技术。神经人因实验以其能深入人的大脑思维和身体的生理反应层面所表现出的优势在工业工程领域备受瞩目。目前，各国学者在尝试运用神经人因实验来研究工业工程学科中的各项主题，神经人因学的提出者Parasuraman将神经人因实验的发展方向主要归纳为:多任务下脑力负荷的研究、个体认知差异的研究等。工业工程学科的实验教学与研究正由过去主要运用传统的行为学的研究方法向主要运用现代的神经人因实验的研究方法转变。

1神经人因实验在多任务脑力负荷研究中的应用

脑力负荷，是指工作者为达到作业标准而付出的注意力大小，其影响因素包括工作任务量的大小、工作时间要求、工作者素质和能力要求、工作者工作意愿以及工作环境和由环境引发的工作情绪等。在当今高度现代化的生产中，生产人员从过去大部分需要自己手工操作机器设备到现在更多地是监控自动化系统的运行。分布式的大型生产系统要求监控者管理更多的机器设备，各种工作任务以并行的方式将各种信息传送给高级的人机交互集成系统，人机交互集成系统将信息融合后以各种通道的方式呈现给监控者。在这种分布式的多任务并行处理的生产模式中，监控者需要监控大量的机器设备，感知和分析各种类型的数据信息，其脑力负荷较过去成倍增长，传统的行为学实验已经难以对多任务下的平行加工进行研究，而神经人因实验恰能对由过去经典的聚焦型注意转向分散型注意的多任务下脑力负荷进行有效测量。神经人因实验针对工作者在多任务监控过程中涉及到的对多种工作信息的自动感知、选择性注意以及敏捷操控，能够有效度量同时应对多项工作任务的脑力负荷。近年来，在工业工程的人的因素研究领域中，北京航空航天大学的人机与环境工程系运用神经人因实验系统地开展了多模式飞行模拟任务下飞行员的脑力负荷测量与评价。实验人员使用脑电的事件相关电位实验技术，选取听觉失匹配负波脑电成分为实验指标，采用oddball的神经人因实验范式，将听觉失匹配理论用于飞行员的脑力负荷评价中，在9种模式的飞行模拟任务条件下进行飞行员的脑力负荷测量，通过让被试者完成模拟飞行任务的同时，测试非注意条件下飞行员的听觉失匹配指标，得到脑力负荷与脑电的听觉失匹配负波同向变化的规律，为飞机座舱显示界面的设计提供了依据。除了航空领域，神经人因实验也能应用于道路交通、船舶航行、高危行业工作人员的脑力负荷度量。

2神经人因实验在个体认知差异研究中的应用

工业工程学科的主要任务是要对生产及服务系统中的人、机器、物料、环境和信息进行整体设计、评价和优化，在这些过程中，个体认知差异在感觉、动作和情绪过程中形成对各项任务的胜任力和局限性，由此产生的人的不同行为作用于技术系统和环境系统，最终影响整个系统的工作绩效。Karwowski从“人—技术—环境”3个系统之间的关系出发，认为人的不同行为是整个系统工作的核心，因此个体认知的差异是工业工程研究的重点。由于过去受实验技术条件的限制，对于人体认知的差异只能从外在行为学观察的角度进行实验。随着对被试的无损伤的神经测量技术的进步，神经人因实验现在能在大脑思维的层面从人的内在生理数据采集出发，进行基于人的生理与心理分析的个体认知差异实验。近年来，众多学者开始引入神经人因实验的技术，针对个体认知差异开展工作过程中个体和群体的心理与行为反应规律的研究。浙江大学神经工业工程团队通过采用神经人因实验中的事件相关电位技术，进行工作人员对安全标志信号词的感知和评价的神经过程实验。研究发现:人对安全标志信号词的处理过程分为早期感知和信息评价两个阶段，安全标志信号词的主观风险感知存在差异，不同的安全标志信号词能够传递不同的风险信息，人对安全标志信号词的认识会受到情绪的影响。这些研究结果为安全管理中的安全培训、安全标志信号词的设计及使用提供了依据。神经人因实验将在 系统安全 、产品可用性、职业安全等领域的个体认知差异研究方面有着广泛的应用前景。

二神经人因实验实例神经人因实验的过程

一般分为实验前的实验设计、实验实施和实验后的数据处理和分析。相较于以往的工业工程实验，神经人因实验的不同之处在于:在实验前的设计阶段，要根据实验目的选取合适的神经实验技术，比如事件相关电位技术、生物反馈技术、眼动技术、功能性核磁共振技术、脑磁技术、近红外脑成像技术等。在明确了具体的神经实验技术后，采用相应的实验范式设计实验，比如go-nogo范式、oddball范式、等概率范式、n-back范式等。在实验过程中，需要严格按照神经实验的国际规范开展神经人因实验。实验后要根据神经实验的统计分析方法进行神经测试数据的统计分析，在此基础上进行讨论并得出神经人因实验的结论。下面以笔者开展的一例关于船舶数字化界面测试的神经人因实验来展现神经人因实验的一般过程和方法。该实验使用真实的海洋工程船拖缆机的自动化控制界面作为刺激材料，通过模拟拖缆机的现实工况，让被试者在执行监控拖缆机卷筒转速变化任务的同时，感知自动化控制界面中的事故报警信号的变化，通过认知神经实验测试应急人员对事故报警信号的反应能力，从大脑思维的层面直接揭示船舶操作人员在事故信号变化下的应急反应机理。

1实验前准备

参考神经人因实验中关于视觉失匹配的论文，实验被试的数量分布在8～12名。本实验选择12名健康人员参加实验(6位男性，6位女性，年龄24～30岁，平均年龄岁，均为右利手)，所有被试者实验前24h内未曾服用镇静催眠药物或者精神活性类物质。均向每位参加实验人员支付了被试费(20元/h)。每位被试均具有正常的视觉敏锐度和正常的色彩分辨力。本实验遵守《赫尔辛基宣言》，每位被试在实验前均签署了实验信息的知情同意书。被试在充分理解实验内容和进行练习后进行正式实验。实验刺激材料由E-Prime0软件编写和呈现，刺激材料采用的是海洋工程船拖缆机的自动化控制界面，显示于19寸液晶 显示器 中央。所有刺激材料的大小、亮度、对比度等指标一致。在实验刺激材料中，界面中央的数字表示拖缆机在正常工作情况下的卷筒速度为，界面两侧的图形符号代表拖缆机的系统压力报警信号，正常状态下为绿色，形成实验的标准刺激。异常报警时为红色，形成实验的偏差刺激。界面中的报警信号有5种类型的变化，分别为颜色、持续时间、朝向、形状和大小的不同变化。5种类型刺激融入一个完整的oddball实验范式中，在同一实验环境下测试这5种类型刺激变化下被试者的视觉失匹配指标。

2实验过程

实验在隔音、光线事宜和电磁屏蔽的房间中进行，被试者取舒适坐位，距离显示器1m。被试者被要求注视屏幕中的拖缆机控制界面。界面中央为拖缆机在工作情况下的卷筒速度，正常状态下为，超过允许的速度范围后，要求被试者尽快和尽可能准确地进行相应的反应动作，规则为:当速度由增大为时按键盘“Z”键，当速度由减小为时按键盘“/”键。这一工作任务代表拖缆机的监控者对卷筒工作速度的实时调整。在实验的过程中，被试者被要求专心完成拖缆机卷筒速度的监控工作，忽视界面两侧系统压力报警信号的变化。界面中央数字的变化与两侧报警信号的变化无关联性。通过这一设定，形成对报警信号的非注意，真正做到对任务不相关的刺激材料变化的视觉失匹配的检测。实验包括3个块(Block)，每个块开始的前15个刺激为标准刺激，以形成一个记忆模板。每个块之间有一个休息过程，中间休息的过程由屏幕中的休息提示呈现，被试休息好后，按空格键继续。整个实验用于记录和分析的标准刺激有450个，每种类型的偏差刺激各有90个。整个实验大约用时18min。

3实验后数据处理和分析

使用脑电分析软件对实验数据进行离线分析。首先对原始脑电数据进行DC校正，然后进行脑电预览，拒绝具有明显漂移或杂质的脑电数据。接着去除眼电对 其它 导联数据的影响。然后进行脑电分段，分析时程为刺激后400ms，基线为刺激前100ms。接着进行基线校正，然后去除伪迹，波幅大于±100μV者被视为伪迹去除。接着分别对标准刺激和各类偏差刺激的脑电进行分类叠加平均，然后进行20Hz无相移低通数字滤波，最后将偏差刺激与标准刺激相减，得到视觉失匹配脑电波形(时间窗口:150～200ms)。统计分析时采用统计软件对视觉失匹配数据采用重复测量方差分析，因素分别为视觉失匹配类型(颜色、朝向、持续时间、形状、大小)×大脑半球(左、右)。可采用Greenhouse-Geisser法进行校正。分别列出了五种视觉失匹配的均值、标准误差和95%置信区间。描述性统计结果显示，视觉失匹配脑电波幅由大到小排列依次为:朝向偏差引起的失匹配、形状偏差引起的失匹配、颜色偏差引起的失匹配、持续时间偏差引起的失匹配和大小偏差引起的失匹配。根据球形检验(Mauchly’sTestofSphericity)的统计结果，Mauchly的W=，Sig.=，表示各组间的方差矩阵接近相等，故接受球形假设，应接受“SphericityAssumed”的分析结果:各类型视觉失匹配脑电数据的重复测量结果之间的差异显著(F=193，p<);大脑左右半球间的差异不显著(F=336，p>);“视觉失匹配类型”与“大脑半球”的交互作用差异不显著(F=，p>)。根据实验的重复测量方差分析结果和脑电图(见图1)，五种类型的视觉失匹配的主效应差异显著。实验结果说明采用oddball实验范式在同一个刺激序列中，不同类型的自动化控制界面的报警信号分别成功诱发出相应的视觉失匹配脑电波;各种类型的视觉失匹配之间的差异显著，视觉失匹配脑电波幅由大到小排列依次为:朝向偏差引起的失匹配、形状偏差引起的失匹配、颜色偏差引起的失匹配、持续时间偏差引起的失匹配和大小偏差引起的失匹配。2D脑电电位分布图可看出，视觉失匹配在人脑的颞枕区最为明显。根据实验结果，可以指导设计人员在设计自动化控制界面时，优先选用视觉失匹配强的信号作为自动化控制界面的安全报警信号，以提高安全报警信号的感知效果，从而提升人—机系统的应急反应能力。

三结语

神经人因实验以其能深入探究生产作业中人的生理和心理的技术优势而在第三代工业工程的实验教学中占据重要地位。相较于以往工业工程以行为观察和问卷调查为主要手段的实验技术，神经人因实验不仅能有效将人的认知过程与行为过程相分离，避免认知与行为两者在实验测度上互相混淆，而且能研究工作中的人的内隐行为，解除人类内部认知过程的黑箱，通过神经人因实验揭示生产信息加工中各环节内隐行为的认知机理。因此，神经认知实验借助最新的神经测量技术手段和设备，突破过去工业工程实验教学的局限，满足第三代工业工程的教学与研究要求。随着当今生产自动化的程度日益提高，人机系统中的人的因素逐渐成为系统优化的瓶颈，随之而来的是人的注意力分散、警戒水平下降、人误概率增加等一系列问题凸现。神经人因实验能有效进行多任务下脑力负荷、个体认知差异等研究，揭示上述问题形成的机理，提供测度和评价指标，为改进和优化薄弱的人的因素提供客观依据。神经人因实验有其自身独特的研究方法和过程。本文通过一例具体的关于船舶数字化界面测试的神经人因实验展现了该类实验的实验范式选择、实验数据采集与分析等一般过程和方法。

本科生培养模式下工业工程论文

1国内外工业工程本科生培养模式对比

国外工业工程专业本科生培养模式

美国佐治亚理工学院在1924年建立了工业与系统工程系。他们认为，在当今信息社会中，传统的工业工程专业技术已经不能满足现代制造业和服务信息系统等企业的分析、设计和改善等多方面需求，只有借助计算机技术才能更好地发展工业工程技术。通过调整工业工程本科生的培养模式，更好地为社会提供具有复杂系统的监测控制和优化能力的工业工程师。该校重点培养学生的专业技术，开设众多具有特色的专业课程，其中包括:基础统计方法学、工程经济学、质量工程、随机制造与服务系统、仿真系统、供应链建模概论、工业工程建模、工程优化、健康系统概念、人机集成系统设计、物流学、技术预测与评价、机器人与自动化数据采集应用等课程。英国诺丁汉大学的工业工程专业主要开设制造工程和管理专业有关课程，他们致力于培养制造和管理工程师，使之能够通过生产和管理等措施达到降低生产成本、改进产品质量和提高生产率的目标，从而保持并提高企业的竞争力。第一学年主要安排制造工程和管理的基础课程以及分析方法的课程。第二学年制造工程领域的课程包括基于制造的设计模块，自动化模块和制造过程模块;管理领域的课程主要有工业关系模块，质量工程模块以及商业会计模块。在第三学年，学校安排了广泛的选修课程，使学生可以根据各自的 兴趣 爱好 选择所修课程。而在第四学年，诺丁汉大学加强了实践教学，通过与众多企业建立合作关系，为学生安排与本专业相关的实践活动，对实际研究项目进行调研、分析和答辩，进一步培养学生应用专业理论知识解决实际问题的能力。

国内工业工程专业本科生培养模式

上海交通大学的工业工程专业设置在工科院系，学生具有扎实的专业技术，有较好的工科基础，不仅掌握工程专业技术还掌握计算机、管理和工业工程专门技术，是社会急需的既懂技术又擅长管理的复合型专业技术人才，主要研究方向包括:

(1)生产与服务系统工程;

(2)现代物流工程;

(3)生产与服务系统规划、设计与控制;

(4)质量与可靠性工程。但是，学校安排的实践课程和去企业实习课程少，学生动手实践能力不足。天津大学工业工程专业隶属于管理学院，这种模式的专业基础为管理学、管理经济学、系统工程学、运筹学和一门工程学科(以机械工程为主)。本科毕业生需掌握工作研究、生产计划与控制、先进制造系统、物流工程、质量管理与控制、工程经济学、成本控制、人因工程和管理信息系统等工业工程专业知识和技能，成绩合格毕业授予管理学学士学位。其专业培养目标是旨在培养具有管理学、经济学和系统工程理论与方法的坚实基础，懂得自然科学和社会科学的基本理论，拥有扎实的专业工程技术。

主修课程:管理学、 市场营销 学、运筹学、应用统计学、经济学、企业 财务管理 、会计学、管理信息系统、经济法、工程经济学、系统分析、机械设计基础、现代制造技术、基础工业工程、质量管理、成本控制、生产计划与控制、精益生产、物流工程、可靠性工程、人机工程学、实验设计、制造系统仿真、工业工程应用与实践等。由此可见，学校基础课程比例高，而专业工程类课程比例较少。

由上述典型高校工业工程培养模式可知，我国高校工业工程专业的课程设置中管理类课程所占比重较高，而国外高校的工业工程专业课程安排大多以工程学科内容为主，管理类内容为辅。从专业实践能力来看，美国高校的工业工程专业更注重培养学生的实践动手能力。许多学校都安排了与机械有关的工厂实习和实际项目研究等方面的学习，使学生有机会获得生产第一线的基础 经验 ，不仅为以后工作打下了良好的基础，也使学生对所学专业内容有了具体的认识，对以后学习工作都有很大帮助。学习最终是为了投入实践，我国的工业工程专业也应该进一步加强学生实践能力的培养，真正做到理论与实践相结合，为国家和社会培养出优秀的工业工程专业人才。

2对国内高校的几点教学建议

根据各大高校的调查研究，我国现存教学方案存在以下不足: 教学方法 古板;教学实践环节薄弱;课程结构不合理;学生学习目标不明确。针对以上不足，现提出以下改革建议:(1)大力推行以学生为主体的启发式教学，改变学生思维模式。在国外经济发达国家，实行以学生为中心的启发式教学，以启发学生的思维为核心，促进他们生动活泼地学习，而我国采取的是以教师为中心的灌输式教学。启发式教学的特点是调动学生的主动性，启发学生独立思考，发展学生的 逻辑思维 能力。美国本科教育采取启发式互动教学方法，教师提问，学生分组讨论。只有每个学生都积极地进行讨论，才能真正参加到学习过程中。他们把学生在课堂上的活跃度作为平时考核很重要的一部分;

(2)将课程设计作为考核科目，锻炼动手能力。首先，手的操作不仅可以促进视觉、触觉、感知能力的发展，还可以增加身体协调性。其次，通过动手设计，可以掌握其产品原理和方法，对理论的理解更加深刻。再次，通过具体的实践操作把知识从课堂延伸到具体研究项目的执行、完成，为未来的学习、工作做好准备;

(3)实施开放式教学，完善课程结构。开放式教学的核心是学生自主探究，主动参与学习到过程中，突出展现了学生的主观能动性。教师在教学过程中不只是注重学习内容，重要的是从学生的实际需求和兴趣爱好出发，让学生选择所学内容，培养积极价值观。目前，开放式教学主要采用案例教学、项目教学和模拟教学等多种开放性的教学方法。案例教学法，一般来源于真实的生活环境，通过相似的组织结构、人员关系与时间，运用同样的资源约束、竞争压力、数据和信息，从总体战略的角度出发，培养学生的政策观点和解决实际问题的能力。

项目教学法，由学校和企业合作组成小组，深入实践第一线，在解决实际问题的同时，学习如何运用已有的知识，在实际操作中获取解决问题的能力。模拟教学法是计算机虚拟现实技术的使用，通过模拟企业实际的情况以及所面临的市场环境的复杂流动，来制定相应的营销策略，以培养学生解决问题的能力。在国外，一些知名大学几乎没有统一教材，学生也没有统一的课本。

教师总是想方设法地挑选最新的、最有发展前途的、就业率最好的内容来进行教学。毫无疑问，不局限于教材、注重实践能力培养的开放式教学更容易培养出适合社会需要的人才;(4)加大工厂实习力度，明确学习目标。注重理论教育的高校，很多学生不知道所学习的知识到底可以用在何处，以致最后渐渐失去了兴趣，没有了学习目标和学习动力。学校可以结合学生的就业，有针对性地选择典型的行业和企业，尝试建立校外实习基地。在学习过程中引导学生对企业生产经营中存在的实际问题进行分析，提出改革方案，实现校企共赢。

3结语

通过对国内外高校工业工程本科专业人才培养模式的对比研究，从而了解到国内外在工业工程专业人才培养上存在课程设计、培养目标等方面的差异，找出我国高校现存的工业工程专业人才培养模式的不足之处。从而调整现有工业工程专业的培养计划，不断优化培养方案，为制定和完善符合现代工业工程发展的专业人才培养模式提供参考。

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假设，N阶矩阵A和N阶矩阵B的乘积矩阵为C，即记作：C=A*B；其运算过程如下：

令A矩阵的第i行记作：ai，B矩阵第j列记作：bj，C矩阵第i行j列记作：cij

则cij=(ai1*b1j)+(ai2*b2j)+……+(ain*bnj)；

(其中，ai1表示矩阵A的第i行第1列的元素的值，以此类推）；

因此，那个M^2的矩阵第一行第一列的元素值为：

0*0+1*1+0*0+0*0=1，以此类推就得到那个结果了。

扩展资料：

离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一；

它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。

那么这能否从数学上进行证明呢？100多年后的1976年，肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）使用计算机辅助计算，用了1200个小时和100亿次的判断，终于证明了四色定理，轰动世界，这就是离散数学与计算机科学相互协作的结果。