二阶常微分方程论文开题报告

二阶常系数线性微分方程一般形式y'' +p y' + qy = f(x)①

(下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)

一、二阶常系数齐次线性方程

其一般形式y'' + py' + qy = 0  ②

即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解：y = C1y1(x) + C2y2(x)

接着只需求解出y1(x)和y2(x)的解就ok了。

可以将②式写成 (也可理解将y的n次导看成r的n次方)（r^2 + p*r + q）e^rx = 0  => （r^2 + p*r + q） = 0】③，接着就是求解方程③(称为特征方程)的根r1、r2，

该特征方程求根可以分成三种情况去讨论：

- 4q > 0 ，③式有两个不相等的根r1、r2，即y = C1*e^r1x + C2*e^r2x

- 4q = 0 ，③式有两个相等的根r,即y = C1*e^rx + C2*xe^rx

- 4q < 0 ，③式有一对共轭复根(无实数根),即y=e^αx (C1*cosβx + C2*sinβx)

其中α = -(b/2a) ,β = (√-△) / 2a  .】 (注: a,b为特征方程项系数 ,△为p^2 - 4q)

二、二阶常系数非齐次线性方程

其一般形式y'' +p y' + qy = f(x)     即f(x) ≠0

该方程的通解为y = Y(x) + y* (Y(x) 为②式,即齐次方程的通解;y*为 ①式的特解)

第一步，求②式(齐次方程)通解，(参照上面一的方法)

第二步，求①式特解。根据①式根据f(x)类型分成两种求解方式 :(x) = P(x) * e^(λx)

特解: y* = x^k * Pm(x) * e^λx】④(Pm(x) 为与P(x)同次的多项式，k是根据λ 不是③式的根(特征根)、单根、重复根依次取值为0,1,2)

(x) = e^λx * [ Pl(x)cosωx + Qn(x)sinωx]

特解: y* = x^k * eλx [Pl(x)cosω+Ql(x)sinωx]】  ⑤

( l=max(l,n),k是根据λ+iω不是③式的根(特征根)、单根依次取值为0,1 ; i是虚数)

最后将特解带入原方程式①中，即可解得Pm(x)的具体方程式 。y = Y(x) + y* 就求出来了。

无一般解法,特殊情况除外(线性常系数微分方程,可化为线性常系数微分方程的方程尤拉方程,某些方程可有幂级数解法).

x(x-1)y''+(3x-2)y'+y=2x 等价于 [x(x-1)y' + (x-1)y]' =2x x(x-1)y' + (x-1)y = x^2 +C0 化为一阶线性微分方程 y' +(1/x)y = (x^2 +C0)/[x(x-1)] 套用公式 e^(∫1/xdx) =x y = (1/x)∫(x^2 +C0)/[x(x-1)]*x dx = (1/x)∫(x^2 +C0)/(x-1) dx 其中(x^2 +C0)/(x-1) = (x+1) + (C0+1)/(x-1) =(x+1) + C1/(x-1) y= (1/x)[(x+1)^2/2 +C1*ln(x-1) +C2]

clear all clc f=@(t,x)([x(2);-x(2)+100*x(1)+1+200*cos(*t)]); [t,X]=ode45(f,[0 1],[1 ]); plot(X(:,1),X(:,2)) 画出来的不是周期图，检查一下方程

odefun=@(t,x)[x(2);3*x(2)-2*x(1)+1]; [t,y]=ode45(odefun,[0:],[1 0]); plot(t,y) [t y] 结果 y()= y= dsolve('D2y-3*Dy+2*y=1','Dy(0)=0','y(0)=1'); >> y

y =

exp(t) - exp(2*t)/2 + 1/2

>> feval(@(t)exp(t) - exp(2*t)/2 + 1/2,) ans =

1、引言常微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,而又称为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。人们对二阶及以上微分方程(包括线性、常系数、隐性)的研究,产生了许多理论成果。如胡爱莲[1],屈英[2],汪涛[3]等。对于变系数的常微分方程尤其是高阶常微分方程,一般没有确定的解法,通常的方法就是“降阶法”,即通过变换将高阶常微分方程的求解问题转换为较低阶的常微分方程来求解(见文献[4-5])。本文通过一个具体的例子,说明一类二阶可降阶的常微分方程的几种解法。2、特殊的二阶常微分方程的解法即:(18)解法三:根据高等数学在数学软体Matlab中的应用[6],从而得到启发,应用Matlab来求解此类方程。故在开启的命令视窗输入下述命令:>>symsty;>>y=dsolve('D2y=1+Dy^2')y=1/2*log(1+tan(t+C1)^2)+C2上述结果只要作如下的变形就与解法一、解法二的结果是一致的。

用dsolve（）函式，就可以解决。 dsolve('3*D2x+500*Dx+2000*x','Dx(0)=','x(0)=') ans = (565^(1/2)*exp(t*((10*565^(1/2))/3 - 250/3))*(2*565^(1/2) + 65))/22600 + (565^(1/2)*(2*565^(1/2) - 65))/(22600*exp(t*((10*565^(1/2))/3 + 250/3))) %x(t)

将x = u(t+s)代入得到等式: u"(t+s) = F(u(t+s),u'(t+s),t). 换元t = T-s得: u"(T) = F(u(T),u'(T),T-s). 上式是恒等式, 也即: u'(t) = F(u(t),u'(t),t-s). 而将x = u(t)代入方程得到: u"(t) = F(u(t),u'(t),t). 于是有F(u(t),u'(t),t-s) = F(u(t),u'(t),t), 对任意实数t, s与方程的任意解u成立. 当F连续, 对任意实数X, Y, 方程存在满足u(0) = X, u'(0) = Y的解. 代入得F(X,Y,-s) = F(X,Y,0)对任意实数s成立. 因此X, Y给定时, F(X,Y,-s)是与s无关的常数, F与第三个分量无关. 另外如果条件只是存在一个解x = u(t)使x = u(t+s)也是该方程的解, 则结论不能成立. 例如x" = xt, 有解x = 0.

用三要素法试试，屡试不爽的呵

matlab里面常使用龙格库塔方法求解常微分方程组，命令是ode45，还有其他一些函式，但是最常用的是ode45，lz可以help一下，很简单的，另外给你一个文件，讲的还是比较详细，希望可以帮到你 :.

∵x''+x=0的特征方程是r^2+1=0，则r=±i（复数根） ∴此方程的通解是x=C1cost+C2sint (C1,C2是常数)。