dsp论文读书笔记

Our system's main functions are to compress the sound signals so as to achieve efficent digital recording. It can be applied in telephone message,voice response and etc. Though the time is longer when using tape recording, it is unconvenient to look up and save. Digital recording can overcome these defects. It not only looks up rapidly and also convenient to edit the recorded informations. What is more convenient is that the digital recorded informations can be stored in computer hard disk and CD for longer preservation. But,the defect is that it need much room for long time recording. Our system applied TRL8019 Ethernet and MC14LC5480 voice Processing Chip through DSP to process.

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此篇论文中在早年，描述了一种实时地从音乐的声音信号中识别出和弦的方式。它的主要思路，是将连续的声信号输入，转换成音乐中的十二平均律，对应到钢琴中一个八度的键当中，识别出和弦的每一个音。

首先我们将输入的声音信号获取进来，转换成一个离散傅立叶变换(DFT)的一个声谱图，之后我们将这个声谱图转换成一个音级轮廓图PCP(Pitch Class Profile)。然后再根据准备好的和弦模版与PCP进行模式匹配，最终得到根音以及最后的和弦类型。

首先，此算法将输入声音信号流转换为一个DFT图，假设f s 为采样频率，x(n)为N个采样点中的第n个输入声信号片段。那么DFT谱图的公式如下，其中k = 0,1,2...N-1，而我们的X(0)，X(1)...X(N/2 - 1)表达了我们的整个频谱。

X(k)表达了f s * (k/N)频率波的正弦系数。 我们的问题中关注到，它所能表达的频率与采样的点数是相关的。这从道理上来说是合理的，采样的点越丰富(越详细)，我们能描述越细致的频率。

我们在看到傅立叶变换原理时，会想到的方法可能是构造正余弦函数的线性和，并设计很多参数，最后通过一些手段将参数求出来。

其实这样的思路本质上是没有什么问题的，我们的目标也正是将函数拆解成若干正余弦函数的组合。有科学家发现，所有的周期函数，都可以使用sin和cos函数的加减组合而成。

那么下面的问题是，如果我们原函数的周期是T，那么如何保证组合出来的函数周期也为T呢？

假如sin(x)的周期是2π，那么sin(2x)的周期也为2π(虽然最小周期是π)。更一般的，如果f(x)的周期为T，那么下式的周期也为T。所以对这些函数的加减，可以保证组成的函数一定周期也为T。

接下来，对三角函数振幅进行一些调整，再对三角函数进行加加减减

最终我们构造的逼近和大概是这样的，这个式子表达的是，无穷多种频率的正余弦波线性的组合。

假设我们的函数可以进行以下分解

如果转到复平面去，那么它应该是这个欧拉公式所构造式子的虚部

很显然，根据刚才的说法e it + e i2t 所表达的是两个向量的和

更一般地，我们可以写出函数向量的表达式

并且函数向量的点积是这么定义的

根据函数点积的定义，我们可以自己计算得出下式

那么如何求得对应函数向量的坐标呢？ 假设w = a u + b v （w、u、v都是向量，其中u和v是正交的） 那么基u的坐标a可以用以下公式求得：

sin(x)这个向量函数的坐标应该为

现在回顾以下我们之前的假设

我们可以改写成这样（ 所有频率不同的正余弦向量函数在共同的周期内一定正交 ）

我们可以得到另一种形式的f(x)

其中

我们可以得到离散形式下的 f(x) ，它表达了P种不同频率的波叠加而成的函数，其中ω是所有频率波中的单位频率，它决定了波叠加的效果， ω=2π/N 。

当 n=1,2,3...P 时，使

由于单位频率为 2π/N 时，有一个这样的特殊条件：

其中C n 在n=0时，表达的是直流分量，n=1...P的范围内（即1...(N-1)/2），可以表达所有的系数，n=P+1..N上的系数只是一个对称。 故而，一般情况下，我们需要求出前半部分的系数即可

现在再来回顾一下我们的公式，相信已经很容易理解了。 这里与论文中叙述一致，我们仅需要求出X(k)(k = 0 ... N / 2 - 1)的值即可。这里的X(k)与C n 表达的等价

实际上，C n 是对应频率的波在复平面内的点坐标，利用这个我们可以求出对应频率波的振幅。

DFT之后对应频谱的某点C n 或者X(k)可以用复数a+bi表示。那么这个复数的模就是Ak=√(a * a+b * b)，那么振幅A为

对于n=0点的信号，它的振幅为0，通常作为一个整体偏移的作用存在，称为直流分量，幅度即为A1/N。

最后我们注意一点，由于DFT结果的对称性， 通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。 （由奈奎斯特理论可得，可还原的信号量频率必小于采样频率的二分之一。）

对于X(k)，我们可以继续推导出PCP，它12维向量表示钢琴中八度里的12个半调音级。 设p = 0,1,2...11，那么我们定义 式(1) PCP(p)如下：

在论文里，选择了27组和弦，论文使用上述过程，进行手工调整得到了模版PCP。

论文中给出了两种方式对匹配性能进行评估：

1、进行pcp平滑化 2、和弦转变感知 3、PCP预处理 4、消除M(l)中无关紧要的区域 5、使用DFT窗口 6、静音检测 7、噪音检测

引用