极限的运算技巧毕业论文论

上一期我们介绍了极限定义的正确理解以及利用极限定义进行证明的题。可以参考 「微积分」如何理解极限定义？四道题轻松掌握极限定义理解与应用 这一期我们讲极限计算的方法之一： 洛必达法则求极限 。 大家都知道，两个无穷小量之比或两个无穷大量之比在给定的极限过程中，随着这些无穷小量或无穷大量类型的不同，可以有完全不同的变化状态。因此不能对这样的比的极限作一般性的结论。通常称这种类型的极限为“未定式”。值得注意的是，这里“未定”两字只是意味着关于它的极限不能确定出一般的结论，而并不是在具体情况下的极限总是不确定的. 洛必达法则就是这种未定式的一种定值的方法. 用洛必达法则求极限，其特点是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。该法整齐划一，具有很大的一般性，是求解0/0型或无穷/无穷型未定式的使用最广泛的有效方法。 但洛必达法则并不是“万能”的，  下面介绍利用该法则求极限的几种方法与技巧，其中最常用的方法与技巧是把 求极限的多种方法与技巧综合运用 。只有这样，才能使运算简捷，达到运用自如的境地。 本期主要内容： 一、重要极限+洛必达法则求极限 二、无穷小等价代换法+洛必达法则求极限 三、及时分离非零极限的因式+洛必达法则求极限 四、先变量代换+洛必达法则求极限 五、恒等变形+洛必达法则求极限 六、∞-∞、0·∞转化成0/0与∞/∞+洛必达法则求极限 七、幂指函数先取对数+洛必达法则求极限 八、0/0与∞/∞的数列极限+间接使用洛必达法则 九、多次使用洛必达 十、利用带佩亚诺余项的麦克劳林公式（泰勒公式）快速光速求极限 十一、洛必达法则越算越繁？不适用——寻求他法 以下十一道例题分别对应上述方法：（为了方便不再打字，直接从本人笔记本截图） 需要注意的是求极限的方法太多，而洛必达法则仅仅是其中的一种，而且洛必达法则由于其局限性有时也需要结合其他方法共同求极限。后期我们会推出夹逼准则求极限、递推关系求数列极限、等价无穷小计算极限、直接代入法等等方法，欢迎持续关注。建议收藏再看，欢迎将原文分享给同学。 同步自原作者头条号：航小北爱解题

毕业论文的开题报告一般会涉及到题目的研究背景及研究意义等。该公式一般适用于*/∞型数列极限和0/0型数列极限的计算和证明问题。

数列求极限的方法总结如下：

由定义求极限。

极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。

利用函数的连续性求极限。

此方法简单易行，但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数,及f(x)在x处无定义的情况。

利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限。

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的,因此,利用极限四则运算法则求函数极限时,必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。

满足条件者,方能利用极限四则运算法则进行求之,不满足条件者,不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是,并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限,而是需将函数进行恒等变形,使其符合条件后,再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时,通常运用一些简单技巧如折项,分子分母同乘某一因子,变量替换,分子分母有理化等等。

利用两边夹定理求极限。

定理如果 XsZsY,而lim=limy=,则limZ=A。

两边夹定理运用的关键：适当选取两边的函数（或数列),并且使其极限为同一值。

注意：在运用两边夹定理要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值否则不能用此方法求极限。

利用单调有界原理求极限。

单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题:一个是数列的单调性,第二个是数列的有界性。

求极限时,在等式的两边同时取极限,通过解方程求出合理的极限值，利用单调有界原理求极限有两个难点:一是证明数列的单调性,二是证明数列的有界性,在证明数列的单调性和数列的有界性时,我们通常都采用数学归纳法。

利用等价无穷小代换求极限。

在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合,不失为一种行之有效的方法,但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时,只能代换分子、分母中的乘积因子,而不能代换其中的加减法因子。

于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上,在利用等价无穷小代换的方法求极限时,必须把分子(或分母)看作一个整体,用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。

利用泰勒展式求极限.

运用等价无穷小代换方法求某些极限,往往可以减少计算量,使问题得以简化,但一般说来,这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限,而对两个无穷小量非乘或非除的极限,对于一些未能定函数极限形态的关系式,不能用必达法则及等价无穷小代换方法,须用泰公式去求极限。